Simulazione 7 – Problema 1 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del punto a

Espressione analitica di \(f(x)\)

Dal grafico, \(f(x)\) è composta da tre pezzi:

• Primo quarto di circonferenza da \((-4;\,-1)\) a \((-3;\,0)\):
  centro \((-4;\,0)\), raggio \(1\). Ramo inferiore: \[f(x) = -\sqrt{1-(x+4)^2}, \quad x \in [-4;\,-3]\]
• Secondo quarto di circonferenza da \((-3;\,0)\) a \((0;\,3)\):
  centro \((0;\,0)\), raggio \(3\). Ramo superiore: \[f(x) = \sqrt{9-x^2}, \quad x \in [-3;\,0]\]
• Segmento da \((0;\,3)\) a \((3;\,-3)\):
  pendenza \(m = \dfrac{-3-3}{3-0} = -2\): \[f(x) = -2x+3, \quad x \in [0;\,3]\]

\[ f(x) = \begin{cases} -\sqrt{1-(x+4)^2} & x \in [-4;\,-3] \\[6pt] \sqrt{9-x^2} & x \in (-3;\,0] \\[6pt] -2x+3 & x \in (0;\,3] \end{cases} \]

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Calcolo di \(g(-3)\)

Per definizione:

\[g(-3) = 2(-3) + \int_0^{-3} f(t)\,dt = -6 - \int_{-3}^0 f(t)\,dt\]

dove si è usata la proprietà \(\displaystyle\int_a^b = -\int_b^a\).

L'integrale \(\displaystyle\int_{-3}^0 \sqrt{9-t^2}\,dt\) rappresenta l'area del quarto di cerchio di raggio \(3\) compreso tra \(x=-3\) e \(x=0\) con \(y \ge 0\):

\[\int_{-3}^0 \sqrt{9-t^2}\,dt = \frac{\pi \cdot 3^2}{4} = \frac{9\pi}{4}\]

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Espressione di \(g'(x)\)

Poiché \(f(x)\) è continua su \([-4;\,3]\), per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale la funzione \(\displaystyle F(x) = \int_0^x f(t)\,dt\) è continua su \([-4;\,3]\) e derivabile su \(]-4;\,3[\), con \(F'(x) = f(x)\). Di conseguenza, \(g(x) = 2x + F(x)\) è anch'essa continua su \([-4;\,3]\) e derivabile su \(]-4;\,3[\), con:

\[g'(x) = 2 + f(x)\]

Esplicitando come funzione a tratti:

\[ g'(x) = \begin{cases} 2 - \sqrt{1-(x+4)^2} & x \in [-4;\,-3] \\[6pt] 2 + \sqrt{9-x^2} & x \in (-3;\,0] \\[6pt] -2x+5 & x \in (0;\,3] \end{cases} \]

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Calcolo di \(g'(-3)\)

Dal grafico, \(f(-3) = 0\). Pertanto:

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Soluzione del punto b

Come mostrato nel punto a), \(g\) è derivabile su \(]-4;\,3[\) con \(g'(x) = 2 + f(x)\). Per il criterio della derivata prima, il massimo assoluto su \([-4;\,3]\) si raggiunge nel punto interno in cui \(g'(x)\) cambia segno da positivo a negativo, ovvero dove \(f(x) = -2\).

Ricerca degli zeri di \(g'(x)\)

• Su \([-4;\,-3]\): \(f(x) = -\sqrt{1-(x+4)^2} \in [-1;\,0]\), quindi \(g'(x) \in [1;\,2] > 0\). Nessuno zero.
• Su \([-3;\,0]\): \(f(x) = \sqrt{9-x^2} \in [0;\,3]\), quindi \(g'(x) \in [2;\,5] > 0\). Nessuno zero.
• Su \([0;\,3]\): poniamo \(g'(x) = 0\): \[2 + (-2x+3) = 0 \implies -2x + 5 = 0 \implies x = \frac{5}{2}\]

Studio del segno di \(g'(x)\) su \([0;\,3]\)

• Per \(0 \le x < \dfrac{5}{2}\): \(g'(x) > 0\). Crescente.
• Per \(\dfrac{5}{2} < x \le 3\): \(g'(x) < 0\). Decrescente.

\(g\) è crescente su tutto \(\left[-4;\,\dfrac{5}{2}\right)\) e poi decrescente su \(\left(\dfrac{5}{2};\,3\right]\).

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Soluzione del punto c

I punti di flesso di \(g(x)\) si trovano dove \(g''(x)\) cambia segno. Poiché \(g'(x) = 2 + f(x)\), si ha:

\[g''(x) = f'(x)\]

I flessi di \(g\) corrispondono ai punti in cui \(f'(x)\) cambia segno.

Analisi di \(f'(x)\) sui tre tratti

• Su \((-4;\,-3)\): \[f'(x) = \frac{x+4}{\sqrt{1-(x+4)^2}}\] Per \(x \in (-4;\,-3)\) si ha \(x+4 \in (0;\,1)\): numeratore e denominatore positivi, quindi \(f'(x) > 0\) e \(g''(x) > 0\). Il grafico di \(g\) è concavo verso l'alto.
• Su \((-3;\,0)\): \[f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}\] Per \(x \in (-3;\,0)\) si ha \(-x > 0\): \(f'(x) > 0\) e \(g''(x) > 0\). Il grafico di \(g\) è concavo verso l'alto.
• Su \((0;\,3)\): \[f'(x) = -2 < 0\] Quindi \(g''(x) < 0\). Il grafico di \(g\) è concavo verso il basso.

Cambio di segno di \(g''(x)\)

In \(x = -3\): la derivata del tratto rosso tende a \(+\infty\) per \(x \to -3^-\), e la derivata del tratto blu tende anch'essa a \(+\infty\) per \(x \to -3^+\). Non vi è alcun cambio di segno: nessun flesso in \(x = -3\).

In \(x = 0\): \(g''\) passa da positiva a negativa: cambio di segno. Poiché \(g'(0) = 2 + f(0) = 2 + 3 = 5 \neq 0\), si tratta di un flesso a tangente obliqua.

L'ordinata del punto di flesso:

\[g(0) = 2 \cdot 0 + \int_0^0 f(t)\,dt = 0\] ↑ Nascondi soluzione

Soluzione del punto d

Calcolo del rapporto incrementale

I valori agli estremi sono \(f(-4) = -1\) e \(f(3) = -2(3)+3 = -3\). Il rapporto incrementale è:

\[\frac{f(3) - f(-4)}{3 - (-4)} = \frac{-3 - (-1)}{7} = \frac{-2}{7}\]

Verifica che \(f'(c) = -\dfrac{2}{7}\) non ha soluzioni in \(]-4;\,3[\)

• Su \((-4;\,-3)\): \[f'(x) = \frac{x+4}{\sqrt{1-(x+4)^2}}\] Per \(x \in (-4;\,-3)\) si ha \(x+4 \in (0;\,1)\): la derivata è strettamente positiva. Non può valere \(-\dfrac{2}{7}\).
• Su \((-3;\,0)\): \[f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}\] Per \(x \in (-3;\,0)\) si ha \(-x > 0\): la derivata è strettamente positiva. Non può valere \(-\dfrac{2}{7}\).
• Su \((0;\,3)\): \[f'(x) = -2 \neq -\frac{2}{7}\] La derivata è costante pari a \(-2\). Non può valere \(-\dfrac{2}{7}\).

Nei punti \(x = -3\) e \(x = 0\), la funzione \(f\) non è derivabile. In particolare, in \(x = -3\) le derivate sinistra e destra tendono entrambe a \(+\infty\).

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Perché questo non contraddice il Teorema di Lagrange

Il Teorema di Lagrange richiede che \(f\) sia continua su \([-4;\,3]\) e derivabile su \(]-4;\,3[\). Come si vede chiaramente dal grafico, \(f\) non è derivabile in \(x = -3\) e in \(x = 0\), che sono punti interni all'intervallo: le ipotesi del teorema non sono soddisfatte e quindi il teorema non si applica.

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