Simulazione 7 - Problema 1 - Esame di Stato 2026

Soluzione del punto a

Espressione analitica di \(f(x)\)

Dal grafico, \(f(x)\) è composta da tre pezzi:

• Primo quarto di circonferenza da \((-4;\,-1)\) a \((-3;\,0)\): centro \(E(-4;\,0)\), raggio \(1\). L'equazione della circonferenza completa è: \[(x+4)^2 + y^2 = 1\] Esplicitando \(y\) e prendendo il ramo inferiore, coerentemente con la posizione dell'arco rispetto all'asse delle ascisse: \[f(x) = -\sqrt{1-(x+4)^2}, \quad x \in [-4;\,-3]\]
• Secondo quarto di circonferenza da \((-3;\,0)\) a \((0;\,3)\): centro \((0;\,0)\), raggio \(3\). L'equazione della circonferenza è: \[x^2 + y^2 = 9\] Esplicitando \(y\) e prendendo il ramo superiore (poiché l'arco è nel semipiano \(y \ge 0\)): \[f(x) = \sqrt{9-x^2}, \quad x \in [-3;\,0]\]
• Segmento lineare da \((0;\,3)\) a \((3;\,-3)\): pendenza \(m = \dfrac{-3-3}{3-0} = -2\). \[f(x) = -2x+3, \quad x \in [0;\,3]\]

In sintesi, la funzione \(f(x)\) definita a tratti è:

\[ f(x) = \begin{cases} -\sqrt{1-(x+4)^2} & x \in [-4;\,-3] \\[6pt] \sqrt{9-x^2} & x \in (-3;\,0] \\[6pt] -2x+3 & x \in (0;\,3] \end{cases} \]

Calcolo di \(g(-3)\)

Per definizione:

\[g(-3) = 2(-3) + \int_0^{-3} f(t)\,dt = -6 - \int_{-3}^0 f(t)\,dt\]

dove nell'ultimo passaggio si è usata la proprietà \(\displaystyle\int_a^b = -\int_b^a\). L'integrale \(\displaystyle\int_{-3}^0 f(t)\,dt = \int_{-3}^0 \sqrt{9-t^2}\,dt\) rappresenta l'area del quarto di cerchio di raggio \(3\) compreso tra \(x = -3\) e \(x = 0\) con \(y \ge 0\):

\[\int_{-3}^0 \sqrt{9-t^2}\,dt = \frac{\pi \cdot 3^2}{4} = \frac{9\pi}{4}\]

Quindi:

Espressione di \(g'(x)\)

Poiché \(f(x)\) è continua su \([-4;\,3]\), per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale la funzione \(\displaystyle F(x) = \int_0^x f(t)\,dt\) è continua su \([-4;\,3]\) e derivabile su \(]-4;\,3[\), con \(F'(x) = f(x)\). Di conseguenza, \(g(x) = 2x + F(x)\) è anch'essa continua su \([-4;\,3]\) e derivabile su \(]-4;\,3[\), con:

\[g'(x) = 2 + f(x)\]

Esplicitando come funzione a tratti si ha:

\[ g'(x) = \begin{cases} 2 - \sqrt{1-(x+4)^2} & x \in [-4;\,-3] \\[6pt] 2 + \sqrt{9-x^2} & x \in (-3;\,0] \\[6pt] 2 + (-2x+3) = -2x+5 & x \in (0;\,3] \end{cases} \]

Calcolo di \(g'(-3)\)

Dal grafico (o dall'espressione analitica), \(f(-3) = 0\). Pertanto:

Soluzione del punto b

Sappiamo che \(g'(x) = 2 + f(x)\). Come mostrato nel punto a), \(g\) è derivabile su \(]-4;\,3[\) con \(g'(x) = 2 + f(x)\). Per il criterio della derivata prima, il massimo assoluto su \([-4;\,3]\) si raggiunge nel punto interno in cui \(g'(x)\) cambia segno da positivo a negativo, ovvero dove \(f(x) = -2\).

Ricerca degli zeri di \(g'(x) = 2 + f(x)\)

• Su \([-4;\,-3]\): \(f(x) = -\sqrt{1-(x+4)^2} \in [-1;\,0]\), quindi \(g'(x) = 2 + f(x) \in [1;\,2] > 0\). Nessuno zero.
• Su \([-3;\,0]\): \(f(x) = \sqrt{9-x^2} \in [0;\,3]\), quindi \(g'(x) \in [2;\,5] > 0\). Nessuno zero.
• Su \([0;\,3]\): \(f(x) = -2x+3\). Poniamo \(g'(x) = 0\): \[2 + (-2x+3) = 0 \implies -2x + 5 = 0 \implies x = \frac{5}{2}\]

Studio del segno di \(g'(x)\) su \([0;\,3]\)

• Per \(0 \le x < \dfrac{5}{2}\): \(f(x) = -2x+3 > -2\), quindi \(g'(x) > 0\). Crescente.
• Per \(\dfrac{5}{2} < x \le 3\): \(f(x) < -2\), quindi \(g'(x) < 0\). Decrescente.

Quindi \(g'(x) > 0\) su tutto \([-4;\,\frac{5}{2})\) e \(g'(x) < 0\) su \((\frac{5}{2};\,3]\): la funzione \(g\) è crescente fino a \(x = \frac{5}{2}\) e poi decrescente.

Soluzione del punto c

I punti di flesso di \(g(x)\) si trovano dove \(g''(x)\) cambia segno. Poiché \(g'(x) = 2 + f(x)\), si ha:

\[ g''(x) = f'(x) \]

Quindi i flessi di \(g\) corrispondono ai punti in cui \(f'(x)\) cambia segno, cioè ai punti in cui cambia la concavità del grafico di \(g\).

Analisi di \(f'(x)\) sui tre tratti

• Su \((-4;\,-3)\): \[ f(x) = -\sqrt{1-(x+4)^2} \] con derivata \[ f'(x)=\frac{x+4}{\sqrt{1-(x+4)^2}}. \] Per \(x\in(-4;\,-3)\) si ha \(x+4\in(0;\,1)\); il numeratore è quindi positivo e anche il denominatore è positivo. Ne segue che \[ f'(x)>0. \] Pertanto \[ g''(x)=f'(x)>0, \] e il grafico di \(g\) è concavo verso l'alto su questo tratto.
• Su \((-3;\,0)\): \[ f(x)=\sqrt{9-x^2}, \] con derivata \[ f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}. \] Poiché \(x\in(-3;\,0)\), si ha \(-x>0\); inoltre il denominatore è positivo. Quindi \[ f'(x)>0, \] e di conseguenza \[ g''(x)>0. \] Anche in questo intervallo il grafico di \(g\) è concavo verso l'alto.
• Su \((0;\,3)\): \[ f(x)=-2x+3, \] quindi \[ f'(x)=-2<0. \] Pertanto \[ g''(x)=-2<0, \] e il grafico di \(g\) è concavo verso il basso.

Cambio di segno di \(g''(x)\)

In \(x=-3\), la derivata del tratto rosso tende a \(+\infty\) per \(x\to-3^-\), mentre la derivata del tratto blu tende anch'essa a \(+\infty\) per \(x\to-3^+\). Inoltre \(g''(x)\) è positiva sia a sinistra sia a destra di \(x=-3\). Non si verifica quindi alcun cambio di segno di \(g''\): \(x=-3\) non è un punto di flesso.

In \(x=0\), invece, \(g''\) passa da positiva (su \((-3;\,0)\)) a negativa (su \((0;\,3)\)). Si verifica quindi un cambio di concavità, per cui \(x=0\) è un punto di flesso.

Inoltre \[ g'(0)=2+f(0)=2+3=5\neq0, \] quindi il flesso è a tangente obliqua.

Calcoliamo l'ordinata del punto di flesso:

\[ g(0)=2\cdot0+\int_0^0 f(t)\,dt=0. \]

Soluzione del punto d

Calcolo del rapporto incrementale

I valori agli estremi sono \(f(-4) = -1\) e \(f(3) = -2(3)+3 = -3\). Il rapporto incrementale è:

\[\frac{f(3) - f(-4)}{3 - (-4)} = \frac{-3 - (-1)}{7} = \frac{-2}{7}\]

Verifica che \(f'(c) = -\dfrac{2}{7}\) non ha soluzioni in \(]-4;\,3[\)

Analizziamo \(f'(x)\) sui tre tratti:

• Su \((-4;\,-3)\): \[ f'(x)=\frac{x+4}{\sqrt{1-(x+4)^2}} \] Per \(x\in(-4;\,-3)\), si ha \(x+4\in(0;\,1)\), quindi il numeratore è positivo; anche il denominatore è positivo. Pertanto la derivata è strettamente positiva. Inoltre \[ \lim_{x\to -4^+}f'(x)=0^+, \qquad \lim_{x\to -3^-}f'(x)=+\infty. \] Di conseguenza \(f'(x)\) assume tutti i valori dell'intervallo \((0;\,+\infty)\) e quindi non può valere \[ -\frac{2}{7}. \] Anche su questo tratto non esistono soluzioni.
• Su \((-3;\,0)\): \[ f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}} \] Per \(x\in(-3;\,0)\), si ha \(-x>0\). La derivata è strettamente positiva, quindi non può valere \[ -\frac{2}{7}. \]
• Su \((0;\,3)\): \[ f'(x)=-2\neq-\frac{2}{7} \] La derivata è costante e pari a \(-2\), quindi non può valere \[ -\frac{2}{7}. \]

Nei punti \(x = -3\) e \(x = 0\), la funzione \(f\) non è derivabile. In particolare, in \(x = -3\) le derivate sinistra e destra tendono entrambe a \(+\infty\), configurando un punto a tangente verticale.

Perché questo non contraddice il Teorema di Lagrange

Il Teorema di Lagrange richiede che \(f\) sia continua su \([-4;\,3]\) e derivabile su \(]-4;\,3[\). Come si vede chiaramente dal grafico, \(f\) non è derivabile in \(x = -3\) e in \(x = 0\), che sono punti interni all'intervallo: le ipotesi del teorema non sono soddisfatte e quindi il teorema non si applica.