Simulazione 7 - PROBLEMA 2
Simulazione 7 - Problema 2 - Esame di Stato 2026
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Nel piano riferito ad un sistema \(Oxy\) di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole d'equazioni: \(y^2 = 2x\) e \(x^2 = y\).
a)
Si disegnino le due parabole e se ne determinino le coordinate dei fuochi e le equazioni delle rispettive rette direttrici. Si denoti con \(A\) il punto d'intersezione delle due parabole diverso dall'origine \(O\).
Soluzione del punto a
Grafico delle due parabole
Parabola \(y^2 = 2x\)
La parabola \(y^2 = 2x\) è nella forma \(y^2 = 4px\) con \(4p = 2\), quindi \(p = \dfrac{1}{2}\).
- Fuoco: \(F_1 = \left(\dfrac{1}{2};\, 0\right)\)
- Direttrice: \(x = -\dfrac{1}{2}\)
Parabola \(x^2 = y\)
La parabola \(x^2 = y\) è nella forma \(x^2 = 4py\) con \(4p = 1\), quindi \(p = \dfrac{1}{4}\).
- Fuoco: \(F_2 = \left(0;\, \dfrac{1}{4}\right)\)
- Direttrice: \(y = -\dfrac{1}{4}\)
Punto di intersezione \(A\)
Per trovare le intersezioni, sostituiamo \(y = x^2\) nella prima equazione \(y^2 = 2x\):
\[ (x^2)^2 = 2x \implies x^4 = 2x \implies x^4 - 2x = 0 \implies x(x^3 - 2) = 0 \]Le soluzioni sono \(x = 0\) (origine \(O\)) e \(x^3 = 2\), ovvero \(x = \sqrt[3]{2}\).
L'ordinata corrispondente è \(y = x^2 = \left(\sqrt[3]{2}\right)^2 = \sqrt[3]{4}\).
Il punto \(A\), diverso dall'origine, ha coordinate \(\boldsymbol{A = \left(\sqrt[3]{2};\, \sqrt[3]{4}\right)}\).
b)
L'ascissa di \(A\) è \(\sqrt[3]{2}\); si dica a quale problema classico dell'antichità è legato tale numero e, mediante l'applicazione di un metodo iterativo di calcolo, se ne trovi il valore approssimato a meno di \(10^{-2}\).
Soluzione del punto b
Collegamento al problema classico
Il numero \(\sqrt[3]{2}\) è legato al celebre problema della duplicazione del cubo: dato un cubo di lato \(l\), costruire il lato del cubo avente volume doppio. Poiché \(V' = 2V = 2l^3\) e il lato cercato è \(l' = \sqrt[3]{2}\,l\), il problema si riduce a costruire \(\sqrt[3]{2}\).
Insieme alla trisezione dell'angolo e alla quadratura del cerchio, è uno dei tre grandi problemi classici della geometria greca che non possono essere risolti usando soltanto riga e compasso.
Metodo delle tangenti (Newton–Raphson)
Cerchiamo lo zero della funzione \(f(x) = x^3 - 2\) nell'intervallo \([1;\,2]\), poiché \(f(1) = -1 < 0\) e \(f(2) = 6 > 0\).
Verifichiamo le condizioni per scegliere il punto iniziale:
\[ f'(x) = 3x^2 > 0, \qquad f''(x) = 6x > 0 \quad \text{su } [1;\,2] \]Poiché \(f(2) \cdot f''(2) = 6 \cdot 12 > 0\), il segno di \(f\) e di \(f''\) coincidono nell'estremo \(b = 2\): assumiamo quindi \(x_0 = 2\) come punto iniziale (la successione sarà decrescente e convergerà per eccesso).
La formula iterativa del metodo delle tangenti è:
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n^3 - 2}{3x_n^2} \]Iterazione 1:
\[ x_1 = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} = 2 - \frac{6}{12} = 2 - 0{,}5 = 1{,}5 \]Iterazione 2:
\[ x_2 = 1{,}5 - \frac{f(1{,}5)}{f'(1{,}5)} = 1{,}5 - \frac{1{,}375}{6{,}75} \approx 1{,}5 - 0{,}2037\ldots \approx 1{,}296\ldots \]Iterazione 3:
\[ x_3 = 1{,}296\ldots - \frac{f(1{,}296\ldots)}{f'(1{,}296\ldots)} \approx 1{,}260\ldots \]Si verifica che \(|x_3 - x_2| < 10^{-2}\), quindi la successione ha raggiunto la precisione richiesta.
\(\sqrt[3]{2} \approx \boldsymbol{1{,}26}\), approssimato per eccesso a meno di \(10^{-2}\).
c)
Sia \(\mathbf{D}\) la parte di piano delimitata dagli archi delle due parabole di estremi \(O\) e \(A\). Si determini la retta \(r\), parallela all'asse \(x\), che stacca su \(\mathbf{D}\) il segmento di lunghezza massima.
Soluzione del punto c
Impostazione del problema
Consideriamo la retta orizzontale \(r\) di equazione \(y = t\), con \(0 \le t \le y_A = \sqrt[3]{4}\).
La retta \(r\) interseca le due parabole nei punti \(B\) e \(C\):
- Intersezione con \(y^2 = 2x\) (parabola con asse orizzontale, ramo destro): \(x = \dfrac{y^2}{2} = \dfrac{t^2}{2}\), quindi \(B = \left(\dfrac{t^2}{2};\, t\right)\).
- Intersezione con \(x^2 = y\) (parabola con asse verticale): \(x = \sqrt{t}\), quindi \(C = \left(\sqrt{t};\, t\right)\).
Lunghezza del segmento \(BC\)
Poiché \(B\) e \(C\) hanno la stessa ordinata \(t\), la lunghezza del segmento è:
\[ \overline{BC} = \sqrt{t} - \frac{t^2}{2} = f(t), \qquad t \in \left[0;\, \sqrt[3]{4}\right] \]Massimo di \(f(t)\)
Deriviamo e poniamo uguale a zero:
\[ f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} - t = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{t}} = t \implies 1 = 2t\sqrt{t} = 2t^{3/2} \implies t^{3/2} = \frac{1}{2} \] \[ t = \left(\frac{1}{2}\right)^{2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \]Verifichiamo che sia un massimo calcolando la derivata seconda:
\[ f''(t) = -\frac{1}{4}t^{-3/2} - 1 < 0 \quad \text{per ogni } t > 0 \]Quindi \(f''(\bar{t}) < 0\): il punto critico è effettivamente un massimo.
La retta \(r\) che individua il segmento di lunghezza massima ha equazione \[\boldsymbol{y = \sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}}\]
d)
Si consideri il solido \(\mathbf{W}\) ottenuto dalla rotazione di \(\mathbf{D}\) intorno all'asse \(x\). Se si taglia \(\mathbf{W}\) con piani ortogonali all'asse \(x\), quale forma hanno le sezioni ottenute? Si calcoli il volume di \(\mathbf{W}\).
Soluzione del punto d
Forma delle sezioni
Ruotando la regione \(\mathbf{D}\) attorno all'asse \(x\), ogni sezione ortogonale all'asse \(x\) è generata dalla rotazione del segmento \(HK\) (il tratto verticale compreso tra le due parabole alla quota \(x\)) attorno all'asse stesso.
Il punto \(H\) (sulla parabola \(y^2 = 2x\), ramo superiore) ha ordinata \(y_H = \sqrt{2x}\), mentre il punto \(K\) (sulla parabola \(x^2 = y\)) ha ordinata \(y_K = x^2\).
La rotazione genera quindi una corona circolare con raggio esterno \(R = \sqrt{2x}\) e raggio interno \(r = x^2\).
Calcolo del volume
L'area della sezione a corona circolare è:
\[ A(x) = \pi\left(R^2 - r^2\right) = \pi\left(2x - x^4\right) \]Il volume si ottiene integrando tra \(x = 0\) e \(x = \sqrt[3]{2}\):
\[ V = \pi \int_0^{\sqrt[3]{2}} \left(2x - x^4\right) dx = \pi \left[x^2 - \frac{x^5}{5}\right]_0^{\sqrt[3]{2}} \]Calcoliamo i valori all'estremo superiore \(x = \sqrt[3]{2} = 2^{1/3}\):
\[ \left(\sqrt[3]{2}\right)^2 = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}, \qquad \left(\sqrt[3]{2}\right)^5 = 2^{5/3} = \sqrt[3]{32} \]Quindi:
\[ V = \pi \left(\sqrt[3]{4} - \frac{\sqrt[3]{32}}{5}\right) \]
Le sezioni di \(\mathbf{W}\) sono corone circolari.
\[V = \pi\left(\sqrt[3]{4} - \frac{\sqrt[3]{32}}{5}\right) \cong 3\]