Questionario – Simulazione 7

Quesito 1

È noto che $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$.

Stabilire se il numero reale $u$, tale che $\displaystyle\int_{-\infty}^{u} e^{-x^2}\,dx = 1$, è positivo oppure negativo.

Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali, motivando le risposte:

\[ A = \int_{-u}^{u} x^7 e^{-x^2}\,dx \qquad B = \int_{-u}^{u} e^{-x^2}\,dx \qquad C = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-5x^2}\,dx \]

Quesito 1. È noto che l'integrale da meno infinito a più infinito di e meno x al quadrato in di ics è uguale a radice di pi greco. Stabilire se il numero reale u, tale che l'integrale da meno infinito a u di e alla meno x al quadrato in di ics uguale a 1, è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali: A. Integrale da meno u a u di x alla settima per e elevato alla meno icx al quadrato in di ics. B. integrale da meno u a u di e elevato alla meno x 2in di ics. C. Integrale da meno infinito a più infinito di e elevato alla meno cinque ics due in di ics

Soluzione del Quesito 1

Osserviamo che la funzione $f(x) = e^{-x^2}$ è pari e positiva e il suo grafico è del tipo:

$Grafico funzione e^{-x^2}$

Grafico qualitativo di $f(x) = e^{-x^2}$

Segno di $u$

Essendo la funzione $f(x) = e^{-x^2}$ pari e positiva. Per simmetria del suo grafico rispetto all'asse $y$:

\[\int_{-\infty}^{0} e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0{,}886 < 1\]

Poiché $\displaystyle\int_{-\infty}^{u} e^{-x^2}\,dx = 1 > \frac{\sqrt{\pi}}{2}$, l'estremo superiore $u$ deve trovarsi a destra di $0$:

$u > 0$

$Grafico della funzione e^{-x^2} e posizione dell'ascissa u$

Calcolo di $A$

La funzione integranda $g(x) = x^7 e^{-x^2}$ è dispari (prodotto di una funzione dispari $x^7$ per una funzione pari $e^{-x^2}$). L'integrale su un intervallo simmetrico $[-u, u]$ di una funzione dispari è sempre nullo:

\[A = \int_{-u}^{u} x^7 e^{-x^2}\,dx = 0\]

Calcolo di $B$

Poiché $e^{-x^2}$ è pari, sfruttiamo la simmetria:

\[ B = \int_{-u}^{u} e^{-x^2}\,dx = 2\int_{0}^{u} e^{-x^2}\,dx = 2\left(\int_{-\infty}^{u} e^{-x^2}\,dx - \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2}\,dx\right) = 2\!\left(1 - \frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) \]

$B = 2 - \sqrt{\pi}$

Calcolo di $C$

Eseguiamo la sostituzione $t = \sqrt{5}\,x$, da cui $dt = \sqrt{5}\,dx$, cioè $dx = \dfrac{dt}{\sqrt{5}}$. Quando $x \to \pm\infty$ anche $t \to \pm\infty$:

\[ C = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-5x^2}\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} \frac{dt}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\,dt = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\pi} \]

$C = \sqrt{\dfrac{\pi}{5}}$

Quesito 2

Un recipiente sferico con raggio interno $r$ è riempito con un liquido fino all'altezza $h$. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da:

\[ V = \pi \cdot \left(rh^2 - \frac{h^3}{3}\right) \]

Quesito 2. Un recipiente sferico con raggio interno r è riempito con un liquido fino all'altezza h. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da V uguale a pi greco per r h al quadrato meno h al cubo fratto 3.

Soluzione del Quesito 2

Posizioniamo il centro della sfera nell'origine. La circonferenza di sezione ha equazione $x^2 + y^2 = r^2$. Il liquido occupa la parte inferiore della sfera fino all'altezza $h$, quindi la variabile $x$ va da $-r$ a $h - r$.

Il volume si ottiene ruotando l'arco della circonferenza $y^2 = r^2 - x^2$ attorno all'asse $x$:

\[ V = \pi \int_{-r}^{h-r} y^2\,dx = \pi \int_{-r}^{h-r} (r^2 - x^2)\,dx \] \[ = \pi \left[r^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-r}^{h-r} \]

Calcoliamo i valori agli estremi:

In $x = h - r$:

\[ r^2(h - r) - \frac{(h - r)^3}{3} \]

In $x = -r$:

\[ r^2(-r) - \frac{(-r)^3}{3} = -r^3 + \frac{r^3}{3} = -\frac{2r^3}{3} \]

La differenza, dopo lo sviluppo algebrico di $(h - r)^3 = h^3 - 3h^2r + 3hr^2 - r^3$, è:

\[ V = \pi\left[r^2(h - r) - \frac{h^3 - 3h^2r + 3hr^2 - r^3}{3} + \frac{2r^3}{3}\right] \] \[ = \pi\left[r^2 h - r^3 - \frac{h^3}{3} + h^2 r - hr^2 + \frac{r^3}{3} + \frac{2r^3}{3}\right] \] \[ = \pi\left[r^2 h - hr^2 + h^2 r - r^3 + r^3 - \frac{h^3}{3}\right] \] \[ = \pi\left(rh^2 - \frac{h^3}{3}\right) \]

$V = \pi \left(rh^2 - \frac{h^3}{3}\right)$

Quesito 3

Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?

Quesito 3. Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?

Soluzione del Quesito 3

Si tratta di una distribuzione binomiale con:

$n = 10$ (numero totale di domande)
$p = \dfrac{1}{4}$ (probabilità di rispondere correttamente a caso)
$q = \dfrac{3}{4}$ (probabilità di sbagliare)

La probabilità di ottenere esattamente $k$ risposte corrette è:

\[ P(X = k) = \binom{10}{k}\left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{10-k} \]

Dobbiamo calcolare la probabilità di avere almeno 8 successi, ovvero $P(X \ge 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$:

\[ P(X=8) = \binom{10}{8}\left(\frac{1}{4}\right)^8 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 45 \cdot \frac{9}{4^{10}} = \frac{405}{4^{10}} \] \[ P(X=9) = \binom{10}{9}\left(\frac{1}{4}\right)^9 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 10 \cdot \frac{3}{4^{10}} = \frac{30}{4^{10}} \] \[ P(X=10) = \binom{10}{10}\left(\frac{1}{4}\right)^{10} = \frac{1}{4^{10}} \] \[ P(X \ge 8) = \frac{405 + 30 + 1}{4^{10}} = \frac{436}{4^{10}} \]

$P(X \ge 8) = \dfrac{436}{4^{10}} \approx 0{,}000416 \approx 0{,}042\%$

Quesito 4

Una sfera, il cui centro è il punto $K(-2,\,-1,\,2)$, è tangente al piano $\pi$ avente equazione $2x - 2y + z - 9 = 0$. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?

Quesito 4. Una sfera, il cui centro è il punto K di coordinate meno 2, meno 1, 2, è tangente al piano pi greco avente equazione 2x meno 2 ipsilon più z meno 9 uguale a 0. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?

Soluzione del Quesito 4

Determinazione del raggio

Il raggio $r$ della sfera corrisponde alla distanza del centro $K(-2,\,-1,\,2)$ dal piano di tangenza $\Pi$. Utilizziamo la formula della distanza punto-piano:

\[ r = \frac{|a x_K + b y_K + c z_K + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] \[ r = \frac{|2(-2) - 2(-1) + 1(2) - 9|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-4 + 2 + 2 - 9|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-9|}{3} = 3 \]

Determinazione del punto di tangenza

Il punto di tangenza $T$ è l'intersezione tra il piano $\Pi$ e la retta m passante per $K$ e perpendicolare al piano. I vettori direttori della retta coincidono con i coefficienti cartesiani del piano: $(2,\,-2,\,1)$. L'equazione parametrica della retta è:

\[ \begin{cases} x = -2 + 2t \\ y = -1 - 2t \\ z = 2 + t \end{cases} \]

Sostituiamo queste coordinate nell'equazione del piano per trovare il valore del parametro $t$:

\[ 2(-2 + 2t) - 2(-1 - 2t) + (2 + t) - 9 = 0 \] \[ -4 + 4t + 2 + 4t + 2 + t - 9 = 0 \implies 9t - 9 = 0 \implies t = 1 \]

Sostituendo $t = 1$ nelle equazioni della retta m ricaviamo le coordinate del punto $T$:

\[ x = -2 + 2(1) = 0, \quad y = -1 - 2(1) = -3, \quad z = 2 + 1 = 3 \]

Raggio della sfera: $r = 3$
Punto di tangenza: $T(0,\,-3,\,3)$

Quesito 5

Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera. Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa. Scelto casualmente un percorso di 14 mosse che porti la pedina nella casella d'angolo opposta A, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con B?

Rappresentazione della scacchiera con il punto intermedio B e finale A

Quesito 5. Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera. Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa. Scelto casualmente un percorso di 14 mosse che porti la pedina nella casella d'angolo opposta A, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con B?

Soluzione del Quesito 5

Sia $O$ la posizione iniziale in basso a sinistra $(0,0)$. Per raggiungere l'angolo opposto $A$ in 14 mosse, la pedina deve effettuare esattamente 7 spostamenti a destra (D) e 7 spostamenti in alto (A). Il numero di percorsi possibili corrisponde alle permutazioni con ripetizione:

\[ \text{Percorsi totali } (O \to A) = \binom{14}{7} = \frac{14!}{7! \cdot 7!} = 3432 \]

La casella intermedia $B$ si trova dopo 3 spostamenti a destra e 5 in alto (coordinate cartesiane $(3,5)$, per un totale di 8 mosse). Calcoliamo i modi per andare da $O$ a $B$:

\[ \text{Percorsi } (O \to B) = \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = 56 \]

Una volta in $B$, per raggiungere $A$ rimangono 4 mosse a destra e 2 in alto (6 mosse totali):

\[ \text{Percorsi } (B \to A) = \binom{6}{4} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = 15 \]

I percorsi favorevoli passanti per $B$ si ottengono applicando il principio fondamentale del calcolo combinatorio:

\[ \text{Percorsi favorevoli} = 56 \cdot 15 = 840 \]

La probabilità classica è data dal rapporto tra casi favorevoli e casi possibili:

\[ P = \frac{840}{3432} = \frac{35}{143} \approx 0{,}2448 \implies 24{,}48\% \]

$P = \dfrac{35}{143} \approx 24{,}5\%$

Quesito 6

Data la funzione $f(x)$ definita in $\mathbb{R}$, $f(x) = e^x(2x + x^2)$, individuare la primitiva di $f(x)$ il cui grafico passa per il punto $(1,\,2e)$.

Quesito 6. Data la funzione f di x definita in R, f di x uguale a e alla x per, aperta parentesi, 2x più x al quadrato, chiusa parentesi, individuare la primitiva di f di x il cui grafico passa per il punto di coordinate 1, 2e.

Soluzione del Quesito 6

Per determinare l'insieme delle primitive integriamo la funzione per parti ricordando la formula $\int u \, dv = u v - \int v \, du$:

\[ \int e^x (2x + x^2) \, dx \]

Poniamo $u = 2x + x^2 \implies du = (2 + 2x)dx$ e $dv = e^x dx \implies v = e^x$:

\[ = (2x + x^2)e^x - \int e^x (2 + 2x) \, dx \]

Integriamo nuovamente per parti il secondo termine, ponendo $u = 2 + 2x \implies du = 2dx$ e $dv = e^x dx \implies v = e^x$:

\[ = (2x + x^2)e^x - \left[ (2 + 2x)e^x - \int 2e^x \, dx \right] \] \[ = (2x + x^2)e^x - (2 + 2x)e^x + 2e^x + k \]

Raccogliendo a fattor comune $e^x$ e semplificando i monomi simili otteniamo la primitiva generale $F(x)$:

\[ F(x) = e^x(2x + x^2 - 2 - 2x + 2) + k = x^2e^x + k \]

Imponiamo la condizione di passaggio per il punto $(1, 2e)$, ossia $F(1) = 2e$:

\[ 1^2 \cdot e^1 + k = 2e \implies e + k = 2e \implies k = e \]

La primitiva cercata è: $F(x) = x^2e^x + e$

Quesito 7

Date le rette:

\[ r_1:\;\begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = t \end{cases} \qquad r_2:\;\begin{cases} x + y + z - 3 = 0 \\ 2x - y = 0 \end{cases} \]

e il punto $P(1,\,0,\,-2)$, determinare l'equazione del piano passante per $P$ e parallelo alle due rette.

Quesito 7. Date le rette r1 di equazioni parametriche x uguale ti, ipsilon uguale 2 ti, z uguale ti; e r2 definita in forma cartesiana come intersezione dei piani x più ipsilon più z meno 3 uguale 0 e 2x meno ipsilon uguale 0; e dato il punto P di coordinate 1, 0, meno 2, determinare l'equazione del piano passante per P e parallelo alle due rette.

Soluzione del Quesito 7

Parametri direttori di $r_2$

Scriviamo $r_2$ in forma parametrica ricavando le coordinate:

Dalla seconda equazione ricaviamo: $y = 2x$
Poniamo la variabile $x = h$ come parametro, di conseguenza: $y = 2h$
Dalla prima equazione ricaviamo $z$ per sostituzione:
$z = 3 - x - y = 3 - h - 2h = 3 - 3h$

Otteniamo così il sistema parametrico per $r_2$:

\[r_2:\;\begin{cases} x = h \\ y = 2h \\ z = 3 - 3h \end{cases}\]

I parametri direttori (vettori di direzione) sono:

$\mathbf{v_1} = (1,\,2,\,1)$ per la retta $r_1$
$\mathbf{v_2} = (1,\,2,\,-3)$ per la retta $r_2$

Vettore normale al piano

Il piano deve essere parallelo a entrambe le rette, quindi il suo vettore normale $\mathbf{n} = (a,\,b,\,c)$ deve essere perpendicolare ai vettori direttori delle rette e deve soddisfare il seguente sistema:

\[ \begin{cases} a + 2b + c = 0 \\ a + 2b - 3c = 0 \end{cases} \]

Sottraendo membro a membro la seconda equazione dalla prima otteniamo:

\[4c = 0 \implies c = 0\]

Sostituendo $c = 0$ nella prima equazione ricaviamo la relazione tra $a$ e $b$:

\[a = -2b\]

Scegliendo arbitrariamente il valore $b = 1$, otteniamo $a = -2$. Il vettore normale è quindi:

\[\mathbf{n} = (-2,\,1,\,0)\]

Equazione del piano

Il piano cercato passa per il punto $P(1,\,0,\,-2)$ con vettore normale $(-2,\,1,\,0)$. Applichiamo la formula cartesiana:

\[-2(x-1) + 1(y-0) + 0(z+2) = 0\] \[-2x + 2 + y = 0\]

$2x - y - 2 = 0$

Quesito 8

Sia $f$ la funzione così definita nell'intervallo $]1,\,+\infty)$:

\[f(x) = \int_{e}^{x^2} \frac{t}{\ln t}\,dt\]

Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di $f$ nel suo punto di ascissa $\sqrt{e}$.

Quesito 8. Sia f la funzione così definita nell'intervallo aperto da 1 a più infinito: f di x uguale all'integrale da e a x al quadrato di ti fratto logaritmo naturale di ti in di ti. Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa radice quadrata di e.

Soluzione del Quesito 8

L'equazione della retta tangente nel punto di ascissa $x_0 = \sqrt{e}$ ha la forma geometrica:

\[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \]

Calcolo di $f(x_0)$

Sostituiamo $x = \sqrt{e}$ nell'estremo superiore dell'integrale, notando che $(\sqrt{e})^2 = e$:

\[ f(\sqrt{e}) = \int_{e}^{e} \frac{t}{\ln t}\,dt = 0 \]

Il punto di tangenza è quindi $P(\sqrt{e}, \, 0)$.

Calcolo della derivata $f'(x)$

Applichiamo il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale per la derivazione di funzioni integrali composte della forma $F(x) = \int_{a}^{g(x)} h(t)dt \implies F'(x) = h(g(x)) \cdot g'(x)$:

\[ f'(x) = \frac{x^2}{\ln(x^2)} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{x^2}{2\ln x} \cdot 2x = \frac{x^3}{\ln x} \]

Calcolo del coefficiente angolare $m = f'(\sqrt{e})$

\[ m = f'(\sqrt{e}) = \frac{(\sqrt{e})^3}{\ln(\sqrt{e})} = \frac{e\sqrt{e}}{\frac{1}{2}} = 2e\sqrt{e} \]

Equazione della retta

Sostituiamo i valori trovati nell'equazione del fascio:

\[ y - 0 = 2e\sqrt{e}(x - \sqrt{e}) \implies y = 2e\sqrt{e}x - 2e(\sqrt{e})^2 \implies y = 2e\sqrt{e}x - 2e^2 \]

Equazione della retta tangente: $y = 2e\sqrt{e}x - 2e^2$

Simulazione 7 – Questionario – Versione DSA – Esame di Stato 2026