Simulazione 7 - Questionario - Esame di Stato 2026

Soluzione del Quesito 1

Osserviamo che la funzione \(f(x) = e^{-x^2}\) è pari e positiva ed il suo grafico è del tipo:

Segno di \(u\)

Essendo la funzione \(f(x) = e^{-x^2}\)pari e positiva. Per simmetria del suo grafico rispetto all'asse \(y\):

\[\int_{-\infty}^{0} e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0{,}886 < 1\]

Poiché \(\displaystyle\int_{-\infty}^{u} e^{-x^2}\,dx = 1 > \frac{\sqrt{\pi}}{2}\), l'estremo superiore \(u\) deve trovarsi a destra di \(0\):

Calcolo di \(A\)

La funzione integranda \(g(x) = x^7 e^{-x^2}\) è dispari (prodotto di una funzione dispari \(x^7\) per una funzione pari \(e^{-x^2}\)). L'integrale su un intervallo simmetrico \([-u, u]\) di una funzione dispari è sempre nullo:

\[A = \int_{-u}^{u} x^7 e^{-x^2}\,dx = 0\]

Calcolo di \(B\)

Poiché \(e^{-x^2}\) è pari, sfruttiamo la simmetria:

\[ B = \int_{-u}^{u} e^{-x^2}\,dx = 2\int_{0}^{u} e^{-x^2}\,dx = 2\left(\int_{-\infty}^{u} e^{-x^2}\,dx - \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2}\,dx\right) =\] \[=2\!\left(1 - \frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) \]

Calcolo di \(C\)

Eseguiamo la sostituzione \(t = \sqrt{5}\,x\), da cui \(dt = \sqrt{5}\,dx\), cioè \(dx = \dfrac{dt}{\sqrt{5}}\). Quando \(x \to \pm\infty\) anche \(t \to \pm\infty\):

\[ C = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-5x^2}\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} \frac{dt}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\,dt = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\pi} \]

Soluzione del Quesito 2

Posizioniamo il centro della sfera nell'origine. La circonferenza di sezione ha equazione \(x^2 + y^2 = r^2\). Il liquido occupa la parte inferiore della sfera fino all'altezza \(h\), quindi la variabile \(x\) va da \(-r\) a \(h - r\).

Il volume si ottiene ruotando l'arco della circonferenza \(y^2 = r^2 - x^2\) attorno all'asse \(x\):

\[ V = \pi \int_{-r}^{h-r} y^2\,dx = \pi \int_{-r}^{h-r} (r^2 - x^2)\,dx \] \[ = \pi \left[r^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-r}^{h-r} \]

Calcoliamo i valori agli estremi:

• In \(x = h - r\): \[r^2(h-r) - \frac{(h-r)^3}{3}\]
• In \(x = -r\): \[r^2(-r) - \frac{(-r)^3}{3} = -r^3 + \frac{r^3}{3} = -\frac{2r^3}{3}\]

La differenza, dopo lo sviluppo algebrico di \((h-r)^3 = h^3 - 3h^2r + 3hr^2 - r^3\), è:

\[ V = \pi\left[r^2(h-r) - \frac{h^3 - 3h^2r + 3hr^2 - r^3}{3} + \frac{2r^3}{3}\right] \] \[ = \pi\left[r^2 h - r^3 - \frac{h^3}{3} + h^2 r - hr^2 + \frac{r^3}{3} + \frac{2r^3}{3}\right] \] \[ = \pi\left[r^2 h - hr^2 + h^2 r - r^3 + r^3 - \frac{h^3}{3}\right] \]

Soluzione del Quesito 3

Si tratta di una distribuzione binomiale con:

• \(n = 10\) (numero di domande)
• \(p = \dfrac{1}{4}\) (probabilità di rispondere correttamente a caso)
• \(q = \dfrac{3}{4}\) (probabilità di rispondere erroneamente)

La probabilità di ottenere esattamente \(k\) risposte corrette è:

\[P(X = k) = \binom{10}{k}\left(\frac{1}{4}\right)^k\!\left(\frac{3}{4}\right)^{10-k}\]

Dobbiamo calcolare la probabilità di avere almeno 8 successi, ovvero \(P(X \ge 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)\):

\[ P(X=8) = \binom{10}{8}\!\left(\frac{1}{4}\right)^8\!\!\left(\frac{3}{4}\right)^2 = 45 \cdot \frac{9}{4^{10}}= \frac{405}{4^{10}} \] \[ P(X=9) = \binom{10}{9}\!\left(\frac{1}{4}\right)^9\!\!\left(\frac{3}{4}\right)^1 = 10 \cdot \frac{3}{4^{10}} = \frac{30}{4^{10}} \] \[ P(X=10) = \binom{10}{10}\!\left(\frac{1}{4}\right)^{10} = \frac{1}{4^{10}} \] \[ P(X \ge 8) = \frac{405 + 30 + 1}{4^{10}} = \frac{436}{4^{10}} \]

Soluzione del Quesito 4

Punto di tangenza

Il punto di tangenza \(T\) si trova sull'intersezione tra il piano \(\Pi\) e la retta \(r\) passante per il centro \(K\) e perpendicolare al piano. I parametri direttori di \(r\) sono i coefficienti del piano: \((2,\,-2,\,1)\). L'equazione parametrica di \(r\) è:

\[ \begin{cases} x = -2 + 2t \\ y = -1 - 2t \\ z = 2 + t \end{cases} \]

Sostituiamo nel piano per trovare \(t\):

\[2(-2+2t) - 2(-1-2t) + (2+t) - 9 = 0\] \[-4 + 4t + 2 + 4t + 2 + t - 9 = 0 \implies 9t - 9 = 0 \implies t = 1\]

Le coordinate di \(T\) sono:

\[T = (-2+2,\; -1-2,\; 2+1) = (0;\,-3;\,3)\]

Raggio della sfera

Il raggio è la distanza tra il centro \(K\) e il punto di tangenza \(T\):

\[r = \overline{KT} = \sqrt{(-2-0)^2 + (-1+3)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\]

Soluzione del Quesito 5

Percorsi totali da O ad A

Per raggiungere A la pedina deve fare 7 mosse a destra e 7 in alto (14 mosse in totale). Il numero di percorsi possibili è il numero di permutazioni con ripetizione:

\[\text{percorsi totali} = \frac{14!}{7!\,7!} = 3432\]

Percorsi favorevoli (passanti per B)

La casella B si raggiunge con 3 mosse a destra e 5 in alto (8 mosse). I percorsi da O a B sono:

\[\text{percorsi O} \to B = \frac{8!}{3!\,5!} = 56\]

Da B ad A restano 4 mosse a destra e 2 in alto (6 mosse). I percorsi da B ad A sono:

\[\text{percorsi B} \to A = \frac{6!}{4!\,2!} = 15\]

I percorsi favorevoli totali sono:

\[56 \cdot 15 = 840\]

Probabilità richiesta

\[p = \frac{840}{3432} = \frac{35}{143} \approx 0{,}2448 \approx 24{,}5\%\]

Soluzione del Quesito 6

Calcolo della primitiva

Integriamo per parti due volte. Scegliamo \(u = 2x + x^2\) e \(dv = e^x\,dx\), quindi \(du = (2 + 2x)\,dx\) e \(v = e^x\):

\[ \int e^x(2x+x^2)\,dx = (2x+x^2)e^x - \int (2+2x)e^x\,dx \]

Integriamo nuovamente per parti con \(u = 2+2x\), \(dv = e^x\,dx\):

\[ \int (2+2x)e^x\,dx = (2+2x)e^x - \int 2e^x\,dx = (2+2x)e^x - 2e^x \]

Quindi:

\[ \int e^x(2x+x^2)\,dx = (2x+x^2)e^x - (2+2x)e^x + 2e^x + k = x^2 e^x + k \]

Determinazione della costante

La primitiva deve passare per \((1,\,2e)\):

\[2e = 1^2 \cdot e^1 + k \implies 2e = e + k \implies k = e\]

Soluzione del Quesito 7

Parametri direttori di \(r_2\)

Scriviamo \(r_2\) in forma parametrica: dalla seconda equazione \(y = 2x\); poniamo \(x = h\), quindi \(y = 2h\); dalla prima \(z = 3 - x - y = 3 - 3h\). Quindi:

\[r_2:\;\begin{cases} x = h \\ y = 2h \\ z = 3 - 3h \end{cases}\]

I parametri direttori sono \(\mathbf{v_1} = (1,\,2,\,1)\) per \(r_1\) e \(\mathbf{v_2} = (1,\,2,\,-3)\) per \(r_2\).

Vettore normale al piano

Il piano deve essere parallelo a entrambe le rette, quindi la sua normale \(\mathbf{n} = (a,\,b,\,c)\) deve soddisfare:

\[ \begin{cases} a + 2b + c = 0 \\ a + 2b - 3c = 0 \end{cases} \]

Sottraendo la seconda dalla prima: \(4c = 0 \implies c = 0\). Dalla prima: \(a = -2b\). Scegliamo \(b = 1\), quindi \(\mathbf{n} = (-2,\,1,\,0)\).

Equazione del piano

Il piano passa per \(P(1,\,0,\,-2)\) con normale \((-2,\,1,\,0)\):

\[-2(x-1) + 1(y-0) + 0(z+2) = 0\] \[-2x + 2 + y = 0\]

Soluzione del Quesito 8

Ordinata del punto

Calcoliamo \(f(\sqrt{e})\): l'estremo superiore vale \((\sqrt{e})^2 = e\), uguale all'estremo inferiore:

\[f(\sqrt{e}) = \int_{e}^{e} \frac{t}{\ln t}\,dt = 0\]

Il punto di tangenza è quindi \((\sqrt{e},\,0)\).

Coefficiente angolare

Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale applicato alla funzione composta \(g(x) = x^2\):

\[ \text{Se } F(x) = \int_a^{g(x)} f(t)\,dt, \quad \text{allora } F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) \]

Nel nostro caso:

\[f'(x) = \frac{x^2}{\ln(x^2)} \cdot 2x = \frac{2x^3}{2\ln x} = \frac{x^3}{\ln x}\]

Valutiamo in \(x = \sqrt{e}\):

\[f'(\sqrt{e}) = \frac{(\sqrt{e})^3}{\ln(\sqrt{e})} = \frac{e^{3/2}}{1/2} = 2e\sqrt{e} = 2e^{3/2}\]

Equazione della tangente

\[y - 0 = 2e^{3/2}(x - \sqrt{e})\] \[y = 2e\sqrt{e}\cdot x - 2e^2\]