Simulazione 8 – Problema 1 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del punto a

Punti comuni a tutte le curve del fascio — Metodo 1 (algebrico)

Partendo dall'equazione del fascio e applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri (con \(y > 0\)):

\[\ln y = \frac{x^2+ax}{x^2+a} \implies x^2 + ax = x^2 \ln y + a \ln y\]

Raccogliendo rispetto a \(x^2\) e al parametro \(a\):

\[x^2(1 - \ln y) + a(x - \ln y) = 0\]

Affinché questa uguaglianza valga per qualsiasi \(a > 0\), i due coefficienti devono annullarsi contemporaneamente:

\[\begin{cases} x^2(1 - \ln y) = 0 \\ x - \ln y = 0 \end{cases}\]

Dalla seconda equazione: \(\ln y = x\). Sostituendo nella prima:

\[x^2(1 - x) = 0 \implies x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = 1\]

• \(x = 0 \implies y = e^0 = 1\) → punto \(A(0;\,1)\).
• \(x = 1 \implies y = e^1 = e\) → punto \(B(1;\,e)\).

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Metodo 2 (derivazione rispetto al parametro)

L'esponente \(u(x_0) = \dfrac{x_0^2 + a x_0}{x_0^2 + a}\) è costante in \(a\) quando la sua derivata rispetto ad \(a\) si annulla:

\[\frac{d}{da}\left(\frac{x_0^2 + a x_0}{x_0^2 + a}\right) = \frac{x_0^2(x_0 - 1)}{(x_0^2 + a)^2} = 0\]

• Per \(x_0 = 0\): esponente \(= 0\), quindi \(y_0 = 1\) → \(A(0;\,1)\).
• Per \(x_0 = 1\): esponente \(= \dfrac{1+a}{1+a} = 1\), quindi \(y_0 = e\) → \(B(1;\,e)\).

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Retta tangente comune in \(A\)

Poniamo \(u(x) = \dfrac{x^2 + ax}{x^2 + a}\), così che \(f(x) = e^{u(x)}\) e \(f'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)\). La derivata dell'esponente è:

\[u'(x) = \frac{(2x+a)(x^2+a) - (x^2+ax)(2x)}{(x^2+a)^2} = \frac{a(-x^2 + 2x + a)}{(x^2+a)^2}\]

Valutiamo in \(x = 0\):

\[u'(0) = \frac{a \cdot a}{a^2} = 1\]

Poiché \(f(0) = 1\) e \(f'(0) = e^0 \cdot 1 = 1\) indipendentemente da \(a\), tutte le curve condividono la stessa tangente in \(A\).

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Soluzione del punto b

Valore di \(a\) per cui \(x = 3\) è punto stazionario

Un punto stazionario si ha quando \(f'(x) = 0\), cioè quando \(u'(x) = 0\) (poiché \(e^{u(x)} > 0\) sempre). Il numeratore di \(u'(x)\) è \(a(-x^2 + 2x + a)\). Imponiamo il suo annullamento in \(x = 3\):

\[-(3)^2 + 2(3) + a = 0 \implies -9 + 6 + a = 0 \implies a = 3\]

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Studio della funzione per \(a = 3\)

Con \(a = 3\) la funzione diventa:

\[f(x) = e^{\,\dfrac{x^2 + 3x}{x^2 + 3}}\]

Dominio: \(x^2 + 3 > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\). Dominio: \(\mathbb{R}\).

Segno e intersezioni: \(f(x) > 0\) sempre. Intersezione con l'asse \(y\): \(f(0) = e^0 = 1\), punto \(A(0;\,1)\).

Limiti e asintoti:

\[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 3x}{x^2 + 3} = 1 \implies \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = e\]

Asintoto orizzontale completo: \(y = e\).

Derivata prima:

\[u'(x) = \frac{3(-x^2 + 2x + 3)}{(x^2+3)^2}, \qquad f'(x) = e^{\,\frac{x^2+3x}{x^2+3}} \cdot \frac{3(-x^2 + 2x + 3)}{(x^2+3)^2}\]

Il segno dipende dal trinomio \(p(x) = -x^2 + 2x + 3\). Le radici sono:

\[-x^2 + 2x + 3 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 3\]

• Per \(x < -1\): \(f'(x) < 0\) → funzione decrescente.
• Per \(-1 < x < 3\): \(f'(x) > 0\) → funzione crescente.
• Per \(x > 3\): \(f'(x) < 0\) → funzione decrescente.

• Minimo assoluto in \(x = -1\): \(f(-1) = e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \approx 0{,}61\).
• Massimo assoluto in \(x = 3\): \(f(3) = e^{3/2} = e\sqrt{e} \approx 4{,}48\).

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Quanti punti di flesso?

La curva parte asintoticamente da \(y = e\), scende al minimo in \(x = -1\), sale al massimo in \(x = 3\) e torna asintoticamente a \(y = e\). La concavità deve cambiare orientamento:

1. Nel tratto decrescente iniziale: la curva deve passare da concavità verso il basso a concavità verso l'alto prima di \(x = -1\).
2. Nel tratto crescente tra \(x = -1\) e \(x = 3\): la concavità deve mutare da verso l'alto a verso il basso.
3. Nel tratto decrescente finale: la curva deve tornare a concavità verso l'alto per raccordarsi all'asintoto.

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Soluzione del punto c

Pendenza della retta \(s\) in \(B = (1;\,e)\)

Con \(a = 3\), la derivata prima della funzione è:

\[f'(x) = e^{\,\dfrac{x^2 + 3x}{x^2 + 3}} \cdot \frac{3(-x^2 + 2x + 3)}{(x^2+3)^2}\]

Sostituendo \(x = 1\):

\[m_s = f'(1) = e^{\,\frac{4}{4}} \cdot \frac{3(-1 + 2 + 3)}{16} = e \cdot \frac{12}{16} = \frac{3}{4}e\]

L'equazione della retta \(s\) tangente in \(B = (1;\,e)\):

\[s:\; y - e = \frac{3}{4}e(x - 1) \implies y = \frac{3}{4}ex + \frac{1}{4}e\]

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Angolo acuto tra \(s\) e \(t\)

Le pendenze sono \(m_s = \dfrac{3}{4}e \approx 2{,}039\) e \(m_t = 1\). Usiamo la formula:

\[\tan\alpha = \left|\frac{m_s - m_t}{1 + m_s \cdot m_t}\right| = \frac{3e - 4}{3e + 4}\]

Calcoliamo numericamente (\(e \approx 2{,}71828\)):

\[\tan\alpha \approx \frac{8{,}1548 - 4}{8{,}1548 + 4} = \frac{4{,}1548}{12{,}1548} \approx 0{,}3418\] \[\alpha = \arctan(0{,}3418) \approx 18{,}87^\circ \approx 18^\circ\,52'\] ↑ Nascondi soluzione

Soluzione del punto d

Deduzione delle caratteristiche di \(g(x)\) dal grafico di \(f(x)\)

La funzione \(g(x) = \ln f(x)\) è una funzione composta in cui \(f(x)\) fa da argomento al logaritmo naturale. Poiché il logaritmo è una funzione strettamente crescente, possiamo dedurre l'andamento di \(g(x)\) direttamente dall'analisi del grafico di \(f(x)\):

• Dominio: Il logaritmo richiede argomento strettamente positivo. Dal grafico, \(f(x) > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\). Pertanto il dominio di \(g(x)\) è \(\mathbb{R}\).
• Zeri e segno: \(\ln(f(x)) = 0\) quando \(f(x) = 1\). Gli zeri di \(g(x)\) corrispondono alle intersezioni del grafico di \(f(x)\) con la retta orizzontale \(y = 1\), che si trovano in \(x = 0\) (punto \(A\)) e in \(x = -3\).
  • Nell'intervallo \((-3;\,0)\): \(f(x) < 1\), quindi \(g(x) < 0\) (grafico sotto l'asse \(x\)).
  • Per \(x < -3\) e \(x > 0\): \(f(x) > 1\), quindi \(g(x) > 0\) (grafico sopra l'asse \(x\)).
• Asintoto orizzontale: Il grafico di \(f(x)\) tende a \(y = e\) per \(x \to \pm\infty\). Applicando il logaritmo: \(\ln(e) = 1\). La curva \(g(x)\) ammette la retta \(\boldsymbol{y = 1}\) come asintoto orizzontale completo.
• Monotonia e punti stazionari: Il logaritmo conserva la monotonia della funzione interna:
  • \(g(x)\) decresce dove \(f(x)\) decresce: per \(x < -1\) e per \(x > 3\).
  • \(g(x)\) cresce dove \(f(x)\) cresce: per \(-1 < x < 3\).
  • Minimo assoluto in \(x = -1\): \(g(-1) = \ln\!\left(e^{-1/2}\right) = -\dfrac{1}{2} \approx -0{,}5\).
  • Massimo assoluto in \(x = 3\): \(g(3) = \ln\!\left(e^{3/2}\right) = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\).

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Espressione analitica di \(g(x)\)

Sostituendo l'espressione di \(f(x)\) per \(a = 3\), il logaritmo naturale semplifica l'esponenziale:

\[g(x) = \ln\!\left(e^{\,\dfrac{x^2+3x}{x^2+3}}\right) = \frac{x^2 + 3x}{x^2 + 3}\]

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Retta tangente \(r\) al grafico di \(g(x)\) in \(x = 0\)

Calcoliamo l'ordinata del punto di tangenza: \(g(0) = 0\). La pendenza è il valore di \(g'(0)\). Derivando l'espressione razionale:

\[g'(x) = \frac{(2x+3)(x^2+3) - (x^2+3x)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{3(-x^2 + 2x + 3)}{(x^2+3)^2}\]

Valutando in \(x = 0\):

\[g'(0) = \frac{3 \cdot 3}{3^2} = \frac{9}{9} = 1\]

La retta tangente \(r\) passante per l'origine con pendenza \(1\) è:

\[r:\; y = x\]

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Area della regione finita di piano

Determiniamo i punti di intersezione tra \(g(x)\) e la retta \(r: y = x\):

\[\frac{x^2 + 3x}{x^2 + 3} = x \implies x^2 + 3x = x^3 + 3x \implies x^2 - x^3 = 0\] \[\implies x^2(1 - x) = 0\]

Le soluzioni sono \(x = 0\) (punto di tangenza, con molteplicità doppia) e \(x = 1\). La regione finita è racchiusa nell'intervallo \([0;\,1]\).

Per \(0 < x < 1\): \(g(x) - x = \dfrac{x^2(1-x)}{x^2+3} > 0\), quindi il grafico di \(g(x)\) sta sopra la retta \(r\). L'area è:

\[\text{Area} = \int_0^1 \left(\frac{x^2 + 3x}{x^2 + 3} - x\right) dx = \int_0^1 \frac{x^2 - x^3}{x^2 + 3}\,dx\]

Eseguiamo la divisione algebrica dell'integrando:

\[\frac{-x^3 + x^2}{x^2 + 3} = -x + 1 + \frac{3x - 3}{x^2 + 3}\]

Spezziamo in tre contributi:

\[\text{Area} = \int_0^1 (-x + 1)\,dx + \int_0^1 \frac{3x}{x^2 + 3}\,dx - \int_0^1 \frac{3}{x^2 + 3}\,dx\]

• Primo termine (polinomiale): \[\int_0^1 (-x+1)\,dx = \left[-\frac{x^2}{2}+x\right]_0^1 = \frac{1}{2}\]
• Secondo termine (logaritmico): moltiplichiamo e dividiamo per \(2\) per isolare la derivata del denominatore: \[\frac{3}{2}\int_0^1 \frac{2x}{x^2+3}\,dx = \frac{3}{2}\Big[\ln(x^2+3)\Big]_0^1 = \frac{3}{2}(\ln 4 - \ln 3) =\] \[=\frac{3}{2}\ln\frac{4}{3}\]
• Terzo termine (arcotangente): \[\int_0^1 \frac{3}{x^2+3}\,dx = \frac{3}{\sqrt{3}}\left[\arctan\frac{x}{\sqrt{3}}\right]_0^1 = \sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{\pi\sqrt{3}}{6}\]

Riunendo i tre contributi:

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