Simulazione 8 - PROBLEMA 2
Simulazione 8 - Problema 2 - Esame di Stato 2026
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Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni \(f\) e \(g\) definite, per tutti gli \(x\) reali, da:
\[f(x) = x^3 - 16x \qquad \text{e} \qquad g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\]1)
Si studino le funzioni \(f\) e \(g\) e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano \(Oxy\). Si considerino i punti del grafico di \(g\) a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell'intervallo \([-10; 10]\) e se ne indichino le coordinate.
Soluzione del punto 1
Analisi della funzione \(f(x) = x^3 - 16x\)
La prima funzione è una cubica simmetrica rispetto all'origine, definita su tutto \(\mathbb{R}\), con limiti \(+\infty\) e \(-\infty\) rispettivamente a \(+\infty\) e \(-\infty\).
Intersezioni con l'asse \(x\):
\[x^3 - 16x = 0 \implies x(x^2 - 16) = 0 \implies x = 0, \quad x = -4, \quad x = 4\]Le intersezioni con l'asse \(x\) sono in \(x=0\), \(-4\), \(4\).
Studio della derivata prima:
\[f'(x) = 3x^2 - 16\]Dallo studio della derivata prima si trovano il massimo ed il minimo relativi che sono rispettivamente:
\[M = \left(-\frac{4}{\sqrt{3}}; \, \frac{128\sqrt{3}}{9}\right) \qquad m = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}; \, -\frac{128\sqrt{3}}{9}\right)\]Infatti:
- \(-\frac{4}{\sqrt{3}} \approx -2.31 \implies f(-2.31) \approx 24.63\)
- \(\frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31 \implies f(2.31) \approx -24.63\)
Studio della derivata seconda:
\[f''(x) = 6x\]Si ha un flesso nell'origine, con concavità verso l'alto per \(x>0\) (e verso il basso per \(x<0\)).
Grafico della funzione \(f(x) = x^3 - 16x\)
![Grafico della cubica f(x) nell'intervallo [-10, 10]](p2-punto1a.png "Grafico della funzione f(x)")
Analisi della funzione \(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)
La seconda funzione, \(g(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\), è una funzione sinusoidale di periodo:
\[T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4\]I punti del grafico di \(g\) a tangente orizzontale, nell'intervallo \([-10;10]\), sono i punti per cui:
\[\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = \pm 1\]- Quelli con ordinata uguale a \(1\) hanno ascisse \(x = -7, \, -3, \, 1, \, 5, \, 9\).
- Quelli con ordinata uguale a \(-1\) hanno ascisse \(x = -9, \, -5, \, -1, \, 3, \, 7\).
Grafico della funzione \(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)
![Grafico della sinusoide g(x) nell'intervallo [-10, 10]](p2-punto1b.png "Grafico della funzione g(x)")
Grafico simultaneo di \(f(x)\) e \(g(x)\)
![Grafico combinato della cubica f(x) e della sinusoide g(x) nell'intervallo [-10, 10]](p2-punto1c.png "Grafico simultaneo delle funzioni f(x) e g(x)")
2)
L'architetto rappresenta la superficie libera dell'acqua nella piscina con la regione \(R\) delimitata dai grafici di \(f\) e di \(g\) sull'intervallo \([0; 4]\). Si calcoli l'area di \(R\).
Soluzione del punto 2
L'area della regione \(R\) richiesta si ottiene calcolando l'integrale definito nell'intervallo \([0;4]\):
\[\int_{0}^{4} (g(x) - f(x)) \, dx\]Oppure più semplicemente, come si osserva dalla figura, notando che nell'intervallo \([0;4]\) l'integrale della sinusoide si annulla per simmetria dei suoi lobi positivi e negativi, l'area totale corrisponde a:
\[-\int_{0}^{4} f(x) \, dx = -\int_{0}^{4} (x^3 - 16x) \, dx\]Calcoliamo esplicitamente l'integrale:
\[-\int_{0}^{4} (x^3 - 16x) \, dx = -\left[ \frac{x^4}{4} - 8x^2 \right]_{0}^{4} =\] \[=-\left( \frac{256}{4} - 8(16) \right) = -(64 - 128) = 64\]![Grafico dell'area della regione R compresa tra le due curve nell'intervallo [0, 4]](p2-punto2.png "Regione R")
L'area della regione \(R\) è pari a: \[\boldsymbol{\text{Area} = 64}\]
3)
Ai bordi della piscina, nei punti di intersezione del contorno di \(R\) con le rette \(y = -15\) e \(y = -5\), l'architetto progetta di collocare dei fari per illuminare la superficie dell'acqua. Si calcolino le ascisse di tali punti (è sufficiente un'approssimazione a meno di \(10^{-1}\)).
Soluzione del punto 3
Intersezioni con la retta \(y = -15\)
Le intersezioni si ottengono risolvendo il sistema:
\[\begin{cases} y = x^3 - 16x \\ y = -15 \end{cases}\]Che conduce all'equazione:
\[x^3 - 16x + 15 = 0\]Quest'ultima si abbassa di grado verificando la radice immediata \(x=1\) mediante la regola di Ruffini:
\[(x - 1)(x^2 + x - 15) = 0\]Le soluzioni esatte sono:
\[x = 1 \qquad \text{e} \qquad x = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{2}\]Valutando numericamente per verificare l'accettabilità nell'intervallo \([-4; 4]\):
- \(x_1 = 1\) (accettabile)
- \(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{2} \approx 3{,}4\) (accettabile nell'intervallo dato)
- \(x_3 = \frac{-1 - \sqrt{61}}{2} \approx -4{,}4\) (non accettabile nell'intervallo dato)
Intersezioni con \(y = -15\): \(\quad P_1 = (1; -15)\) e \(P_2 \approx (3{,}4; -15)\)
Intersezioni con la retta \(y = -5\)
Le intersezioni si ottengono risolvendo il sistema:
\[\begin{cases} y = x^3 - 16x \\ y = -5 \end{cases}\]Che conduce all'equazione:
\[x^3 - 16x + 5 = 0\]Le soluzioni di questa equazione non possono essere calcolate con radici intere immediate. Poniamo \(p(x) = x^3 - 16x + 5\) e localizziamo le radici per via grafica, confrontando le curve di equazione \(y = x^3\) e \(y = 16x - 5\).
Confronto grafico per la risoluzione di \(x^3 - 16x + 5 = 0\)
Dal confronto grafico si scopre che le due soluzioni richieste nell'intervallo sono nei sottointervalli \([0;1]\) e \([3;4]\). Le cerchiamo separatamente approfondendo i due metodi di approssimazione numerica utilizzati.
Radice in \([0; 1]\) — Metodo di bisezione
Il metodo di bisezione è applicabile perché la funzione polinomiale \(p(x)\) è continua e i valori calcolati agli estremi dell'intervallo sono di segno opposto (condizione del teorema degli zeri):
\[p(0) = 5 > 0 \qquad p(1) = 1 - 16 + 5 = -10 < 0\]Procediamo dimezzando l'intervallo ad ogni passo e valutando il segno della funzione nel punto medio \(m\):
| Passo | \(a\) | \(b\) | \(m\) | \(p(m)\) | Segno | Nuovo intervallo |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 0,5 | \(-2{,}875\) | \(- \) | \([0; 0{,}5]\) |
| 2 | 0 | 0,5 | 0,25 | \(1{,}016\) | \(+\) | \([0{,}25; 0{,}5]\) |
| 3 | 0,25 | 0,5 | 0,375 | \(-0{,}947\) | \(- \) | \([0{,}25; 0{,}375]\) |
| 4 | 0,25 | 0,375 | 0,3125 | \(0{,}031\) | \(+\) | \([0{,}3125; 0{,}375]\) |
Dopo 4 iterazioni l'ampiezza del sottointervallo è pari a \(0{,}0625 < 0{,}1\). La radice cercata, approssimata a meno di un decimo (\(1/10\)), risulta quindi essere:
\[x_1 \approx 0{,}3\]Radice in \([3; 4]\) — Metodo delle tangenti (Newton)
Condizioni di applicabilità: Il metodo converge sicuramente nell'intervallo \([3; 4]\) poiché valgono le seguenti proprietà per \(p(x)\):
- La funzione è continua e derivabile nell'intervallo considerato.
- Agli estremi assume segni opposti: \(p(3) = -16 < 0\) e \(p(4) = 5 > 0\).
- La derivata prima \(p'(x) = 3x^2 - 16\) nell'intervallo \([3; 4]\) è strettamente positiva (\(p'(3)=11\) e \(p'(4)=32\)), per cui la funzione è strettamente monotona crescente.
- La derivata seconda \(p''(x) = 6x\) nell'intervallo \([3; 4]\) mantiene segno costante positivo, garantendo una concavità costante rivolta verso l'alto.
Essendo \(p''(x) > 0\), si sceglie come punto di partenza l'estremo dell'intervallo in cui la funzione ha lo stesso segno della derivata seconda, ovvero \(x_0 = 4\) (dove \(p(4) = 5 > 0\)).
Applichiamo la relazione iterativa \(x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p'(x_n)}\):
| Iterazione | \(x_n\) | \(p(x_n)\) | \(p'(x_n)\) | \(x_{n+1}\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 4 | 5 | 32 | \(4 - \frac{5}{32} \approx 3{,}844\) |
| 1 | 3,844 | \(\approx 0{,}317\) | \(\approx 27{,}34\) | \(3{,}844 - \frac{0{,}317}{27{,}34} \approx 3{,}832\) |
Il valore converge rapidamente e, approssimato a meno di \(1/10\), fornisce la seconda radice:
\[x_2 \approx 3{,}8\]
Intersezioni con \(y = -5\): \(\quad Q_1 \approx (0{,}3; -5)\) e \(Q_2 \approx (3{,}8; -5)\)
4)
In ogni punto di \(R\) a distanza \(x\) dall'asse \(y\), la misura della profondità dell'acqua nella piscina è data da \(h(x) = 5 - x\). Quale sarà il volume d'acqua nella piscina? Quanti litri d'acqua saranno necessari per riempire la piscina se tutte le misure sono espresse in metri?
Soluzione del punto 4
Il volume richiesto si calcola mediante l'integrale definito nell'intervallo \([0;4]\):
\[V = \int_{0}^{4} (g(x) - f(x)) \cdot h(x) \, dx\]poiché può essere visto come somma di infiniti rettangoli di dimensioni \((g(x)-f(x))\) e raggio d'azione rispetto all'asse di rotazione \(h(x) = 5 - x\). L'integrale da calcolare è quindi il seguente:
\[V = \int_{0}^{4} \left[ \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) - (x^3 - 16x) \right] (5 - x) \, dx\]Scomponiamo l'integrale nei due blocchi fondamentali per facilitare il calcolo:
\[V = \int_{0}^{4} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)(5 - x) \, dx - \int_{0}^{4} (x^3 - 16x)(5 - x) \, dx\]1) Calcolo del primo integrale (per parti):
Consideriamo \(\int_{0}^{4} (5 - x)\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \, dx\). Poniamo \(f(x) = 5 - x \implies f'(x) = -1\) e \(g'(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \implies g(x) = -\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\):
\[= \left[ -(5 - x)\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} \frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \, dx\] \[= \left[ -(5 - x)\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) - \frac{4}{\pi^2}\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right]_{0}^{4}\]Sostituendo gli estremi di integrazione \(4\) e \(0\):
\[= \left( -1 \cdot \frac{2}{\pi} \cdot 1 - 0 \right) - \left( -5 \cdot \frac{2}{\pi} \cdot 1 - 0 \right) = -\frac{2}{\pi} + \frac{10}{\pi} = \frac{8}{\pi}\]2) Calcolo del secondo integrale (polinomiale):
Sviluppiamo il prodotto all'interno del secondo blocco:
\[\int_{0}^{4} (5x^3 - x^4 - 80x + 16x^2) \, dx = \left[ \frac{5}{4}x^4 - \frac{x^5}{5} - 40x^2 + \frac{16}{3}x^3 \right]_{0}^{4}\]Sostituendo l'estremo \(4\):
\[= \frac{5}{4}(256) - \frac{1024}{5} - 40(16) + \frac{16}{3}(64) = 320 - \frac{1024}{5} - 640 + \frac{1024}{3}\] \[= -320 + \frac{-3072 + 5120}{15} = -320 + \frac{2048}{15} = \frac{-4800 + 2048}{15} = -\frac{2752}{15}\]Calcolo del Volume complessivo:
Uniamo i risultati dei due blocchi ricordando il segno meno davanti al secondo integrale:
\[V = \frac{8}{\pi} - \left( -\frac{2752}{15} \right) = \frac{8}{\pi} + \frac{2752}{15}\]Valutando numericamente:
\[V \approx 2{,}546 + 183{,}467 = 186{,}013 \, \text{m}^3\]Esprimendo il volume in litri (sapendo che \(1 \, \text{m}^3 = 1000 \text{ litri}\)):
\[V \approx 186{,}013 \cdot 1000 = 186013 \text{ litri}\]Il volume della vasca è pari a: \[\boldsymbol{V = \frac{8}{\pi} + \frac{2752}{15} \approx 186{,}013 \, \text{m}^3 = 186013 \text{ litri}}\]