Simulazione 8 – Questionario – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del Quesito 1

Consideriamo la sezione della sfera e del cilindro con un piano passante per l'asse del cilindro:

Indicando con \(x\) il diametro di base del cilindro, con \(y\) la sua altezza e con \(R\) il raggio della sfera, si ha il legame geometrico:

\[x^2 + y^2 = 4R^2 \qquad (*)\]

Il volume del cilindro è \(V = \pi \dfrac{x^2}{4}y\). Il massimo si raggiunge quando le potenze \(x^2\) e \(y^2\) (a somma costante) sono proporzionali ai rispettivi esponenti, cioè quando:

\[\frac{x^2}{1} = \frac{y^2}{\frac{1}{2}} \implies x^2 = 2y^2\]

Sostituendo nella \((*)\):

\[2y^2 + y^2 = 4R^2 \implies y = \frac{2}{\sqrt{3}}R \qquad \text{e} \qquad x = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}R\]

Il volume massimo risulta:

\[V_{\text{max}} = \frac{4}{9}\sqrt{3}\,\pi R^3\]

Ponendo \(R = 60\text{ cm} = 6\text{ dm}\):

\[V_{\text{max}} = \frac{4}{9}\sqrt{3}\,\pi\,(6)^3 = 96\sqrt{3}\,\pi\text{ dm}^3 \approx 522{,}37\text{ dm}^3\]

Soluzione del Quesito 2

Il generico punto della curva ha coordinate \(P\!\left(x;\,\sqrt{x}\right)\) con \(x \ge 0\). La distanza da \(A(4;\,0)\) è minima quando lo è il suo quadrato:

\[d^2 = (x-4)^2 + \left(\sqrt{x}\right)^2 = x^2 - 8x + 16 + x = x^2 - 7x + 16\]

Deriviamo rispetto a \(x\) e imponiamo la condizione di stazionarietà:

\[f'(x) = 2x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{2}\]

La funzione decresce in \(\left[0;\,\dfrac{7}{2}\right]\) e cresce per \(x > \dfrac{7}{2}\): il punto è un minimo assoluto. L'ordinata corrispondente è:

\[y = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}\]

Soluzione del Quesito 3

Metodo delle fette orizzontali

L'ordinata massima è \(y_{\max} = 2^3 = 8\). Si sottrae il volume della parte interna dal cilindro circoscritto di raggio \(2\) e altezza \(8\):

\[V = \pi \cdot 2^2 \cdot 8 - \pi\int_{0}^{8}\left(y^{1/3}\right)^2 dy = 32\pi - \pi\int_{0}^{8} y^{2/3}\,dy\] \[V = 32\pi - \pi\left[\frac{3}{5}y^{5/3}\right]_0^8 = 32\pi - \pi\cdot\frac{3}{5}\cdot 32 = 32\pi - \frac{96}{5}\pi =\] \[=\frac{64}{5}\pi\]

Soluzione alternativa: gusci cilindrici

\[V = 2\pi\int_{0}^{2} x \cdot x^3\,dx = 2\pi\int_{0}^{2} x^4\,dx = 2\pi\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 =\] \[=2\pi\cdot\frac{32}{5} = \frac{64}{5}\pi\]

Per una trattazione teorica dettagliata di questo procedimento, si rimanda all'approfondimento sui gusci cilindrici.

Soluzione del Quesito 4

Uguagliamo i coefficienti binomiali con la condizione \(n \ge 4\):

\[\binom{n}{4} = \binom{n}{3} \implies \frac{n!}{4!(n-4)!} = \frac{n!}{3!(n-3)!}\] \[\frac{1}{4(n-4)!} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6(n-3)(n-4)!} \implies\] \[\frac{1}{4} = \frac{1}{n-3} \implies n - 3 = 4\]

In alternativa, usando la proprietà di simmetria \(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}\):

\[\binom{n}{4} = \binom{n}{3} \implies 4 = n - 3 \implies n = 7\]

Soluzione del Quesito 5

La funzione \(y = \cos x\) in \([1;\,2]\) (radianti) interseca l'asse \(x\) in \(x = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\):

• \(\cos x > 0\) in \(\left[1;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\)
• \(\cos x < 0\) in \(\left[\dfrac{\pi}{2};\,2\right]\)

L'area si ottiene spezzando l'integrale:

\[\text{Area} = \int_{1}^{\pi/2}\cos x\,dx - \int_{\pi/2}^{2}\cos x\,dx = \Big[\sin x\Big]_1^{\pi/2} - \Big[\sin x\Big]_{\pi/2}^2\] \[= (1 - \sin 1) - (\sin 2 - 1) = 2 - \sin 1 - \sin 2\]

Con \(\sin 1 \approx 0{,}8415\) e \(\sin 2 \approx 0{,}9093\):

\[\text{Area} \approx 2 - 0{,}8415 - 0{,}9093 \approx 0{,}2492\]

Soluzione del Quesito 6

Il limite è nella forma indeterminata \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) e coincide con la definizione di rapporto incrementale di \(f(x) = \tan x\) nel punto \(x = a\). Quindi:

\[\lim_{x \to a} \frac{\tan x - \tan a}{x - a} = f'(a) = D[\tan x]_{x=a} = \frac{1}{\cos^2 a} =\] \[=1 + \tan^2 a\]

Soluzione alternativa: Regola di De L'Hôpital

Essendo la forma \(\frac{0}{0}\) con numeratore e denominatore derivabili (con derivata del denominatore che non si annulla in un intorno di \(a\),\(a\) escluso), possiamo applicare De L'Hôpital:

\[\lim_{x \to a} \frac{D[\tan x - \tan a]}{D[x - a]} = \lim_{x \to a} \frac{\dfrac{1}{\cos^2 x}}{1} =\] \[=\frac{1}{\cos^2 a}\]

Soluzione del Quesito 7

Consideriamo la funzione polinomiale \(f(x) = x^{2025} + 2025x + 12\), continua su tutto \(\mathbb{R}\).

Esistenza della radice — Teorema degli zeri

Calcoliamo \(f\) agli estremi dell'intervallo \([-1;\,0]\):

\[f(-1) = (-1)^{2025} + 2025(-1) + 12 = -1 - 2025 + 12 =\] \[= -2014 < 0\] \[f(0) = 0 + 0 + 12 = 12 > 0\]

Poiché \(f(-1) \cdot f(0) < 0\) e \(f\) è continua in \([-1;\,0]\), per il teorema degli zeri esiste almeno una radice \(c \in (-1;\,0)\) con \(f(c) = 0\).

Unicità della radice — Studio della derivata

\[f'(x) = 2025\,x^{2024} + 2025 = 2025\!\left(x^{2024} + 1\right)\]

Poiché l'esponente \(2024\) è pari, \(x^{2024} \ge 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\), quindi:

\[f'(x) = 2025\!\left(x^{2024} + 1\right) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\]

La funzione è strettamente crescente su tutto \(\mathbb{R}\), quindi la radice è unica.

Soluzione del Quesito 8

Parte 1 — Ogni punto della retta è equidistante dai tre vertici

Sia \(ABC\) un triangolo rettangolo con angolo retto in \(A\). Il punto medio dell'ipotenusa \(BC\), indicato con \(E\), coincide con il circocentro del triangolo (centro della circonferenza circoscritta), quindi:

\[EA = EB = EC\]

Sia \(F\) un punto generico della retta perpendicolare al piano in \(E\). I triangoli \(FEA\), \(FEB\), \(FEC\) sono tutti rettangoli in \(E\), con il cateto \(FE\) in comune e i cateti \(EA = EB = EC\) uguali. Per il primo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli:

\[FA = FB = FC\]

Quindi ogni punto della retta è equidistante dai tre vertici.

Parte 2 — Non esistono altri punti equidistanti

Il luogo dei punti equidistanti da \(A\) e \(B\) è il piano assiale di \(AB\); quello equidistante da \(A\) e \(C\) è il piano assiale di \(AC\). Un punto \(F\) equidistante da tutti e tre i vertici deve appartenere a entrambi i piani assiali. La loro intersezione è una retta nello spazio, che passa per il circocentro \(E\) e — essendo entrambi i piani ortogonali al piano del triangolo — è perpendicolare ad esso.