Simulazione 9 – Questionario – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del Quesito 1

\(A\) è la posizione dell'ornitologa, \(B\) e \(C\) sono le posizioni dello stormo all'istante iniziale e dopo un minuto. \(D\) e \(K\) sono le rispettive proiezioni sul suolo, con \(BD = CK = 260\,\text{m}\).

Calcolo delle distanze AB e AC

Nel triangolo rettangolo \(ABD\), l'angolo in \(A\) è \(30°\) e il cateto \(BD = 260\,\text{m}\):

\[AB = \frac{BD}{\sin 30°} = \frac{260}{0{,}5} = 520\,\text{m}\]

Nel triangolo rettangolo \(ACK\), l'angolo in \(A\) è \(20°\) e il cateto \(CK = 260\,\text{m}\):

\[AC = \frac{CK}{\sin 20°} = \frac{260}{0{,}3420} \approx 760{,}23\,\text{m}\]

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Teorema del coseno per trovare BC

L'angolo \(\widehat{BAC} = 30° - 20° = 10°\) è l'angolo compreso tra \(AB\) e \(AC\). Applichiamo il teorema del coseno:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(10°)\] \[BC^2 = 520^2 + 760{,}23^2 - 2 \cdot 520 \cdot 760{,}23 \cdot \cos(10°)\] \[BC^2 \approx 270400+577950 - 790639 \cdot 0{,}9848\] \[BC^2 \approx 270400+577950 - 778627 =\] \[= 69723\,\text{m}^2\] \[BC \approx \sqrt{69723} \approx 264\,\text{m}\]

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Calcolo della velocità

La distanza \(BC\) è percorsa in \(\Delta t = 60\,\text{s}\). La velocità media è:

\[v = \frac{BC}{\Delta t} \approx \frac{264}{60} \approx 4{,}4\,\text{m/s}\]

Soluzione del Quesito 2

Analisi della parabola e del segmento parabolico

Riscriviamo la parabola completando il quadrato: \(x = (y-2)^2 - 1\). L'asse di simmetria è la retta \(y = 2\) e il vertice si trova in \(x_V = -1\).

La retta \(x = 8\) interseca la parabola nei punti \(A\) e \(B\). Le ordinate si trovano risolvendo:

\[y^2 - 4y + 3 = 8 \implies y^2 - 4y - 5 = 0 \implies y = 5 \quad \text{e} \quad y = -1\]

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Impostazione del problema di ottimizzazione

Sia \(C = (x;\,y)\) un generico punto della parabola con \(y \ge 2\). Il rettangolo inscritto nel segmento parabolico ha:

• Raggio: \(R = y - 2\)
• Altezza: \(h = 8 - x = 8 - (y^2 - 4y + 3) = 5 - y^2 + 4y\)

Il volume del cilindro generato dalla rotazione di 180° attorno a \(y = 2\) è:

\[V = \pi R^2 h = \pi(y-2)^2(5 - y^2 + 4y)\]

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Ricerca del massimo

Il volume è massimo quando lo è la funzione (a meno del fattore costante \(\pi\)):

\[z(y) = (y-2)^2(5 - y^2 + 4y), \qquad 2 \le y \le 5\]

Agli estremi: \(z(2) = 0\) e \(z(5) = 0\). Il massimo assoluto si trova necessariamente in un punto stazionario interno. Deriviamo applicando la regola del prodotto:

\[z'(y) = 2(y-2)(5 - y^2 + 4y) + (y-2)^2(-2y + 4)\]

Raccogliendo \((y-2)\):

\[z'(y) = (y-2)\bigl[2(5 - y^2 + 4y) + (y-2)(-2y+4)\bigr] = 0\]

La soluzione \(y = 2\) è già un estremo. Sviluppiamo la parentesi quadra per trovare i punti stazionari interni:

\[10 - 2y^2 + 8y + (-2y^2 + 8y - 8) = -4y^2 + 16y + 2 = 0\]

Dividiamo per \(-2\):

\[2y^2 - 8y - 1 = 0\]

Applicando la formula risolutiva:

\[y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 8}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{8 \pm 6\sqrt{2}}{4} =\] \[=\frac{4 \pm 3\sqrt{2}}{2}\]

• \(y = \dfrac{4 - 3\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}12\): fuori dall'intervallo \([2;\,5]\) → non accettabile.
• \(y^* = \dfrac{4 + 3\sqrt{2}}{2} \approx 4{,}12\): nell'intervallo \([2;\,5]\) → accettabile.

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Calcolo del volume massimo

Osserviamo che:

\[(y^*-2)^2 = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{9}{2}\] \[5-(y^*)^2+4y^* = -(y^*-5)(y^*+1) = \] \[=-\!\left(\frac{3\sqrt{2}-6}{2}\right)\!\left(\frac{6+3\sqrt{2}}{2}\right) =\] \[=\frac{18}{4} = \frac{9}{2}\] \[z(y^*) = \frac{9}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{81}{4}\]

Soluzione del Quesito 3

Formula del valor medio

Il valor medio di \(f\) nell'intervallo \([0;\,1]\) è:

\[\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx = \int_0^1 e^x(x^2+x+1)\,dx\]

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Ricerca della primitiva per parti

Scegliamo \((e^x)'\) come fattore da integrare e \((x^2+x+1)\) come fattore da derivare:

\[\int e^x(x^2+x+1)\,dx = e^x(x^2+x+1) - \int e^x(2x+1)\,dx\]

Applichiamo di nuovo l'integrazione per parti all'integrale residuo:

\[= e^x(x^2+x+1) - 2\int e^x x\,dx - \int e^x\,dx\] \[= e^x(x^2+x+1) - 2\bigl[xe^x - e^x\bigr] - e^x + k\] \[= e^x(x^2+x+1) - 2xe^x + 2e^x - e^x + k\] \[= e^x(x^2 - x + 2) + k\]

Verifica rapida: \(D\bigl[e^x(x^2-x+2)\bigr] = e^x(x^2-x+2)+e^x(2x-1) = e^x(x^2+x+1)\) ✓

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Calcolo dell'integrale definito

\[\int_0^1 e^x(x^2+x+1)\,dx = \Bigl[e^x(x^2-x+2)\Bigr]_0^1\] \[= e^1(1-1+2) - e^0(0-0+2) = 2e - 2 = 2(e-1)\]

Soluzione del Quesito 4

Impostazione della dimostrazione

La proposizione è in realtà vera per ogni funzione derivabile, non solo per le funzioni razionali intere.

Per ipotesi il grafico di \(f(x)\) è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, cioè \(f\) è una funzione pari:

\[f(-x) = f(x) \qquad \forall x \in \text{Dom}(f)\]

Dobbiamo dimostrare che \(f'(x)\) è una funzione dispari, cioè che:

\[f'(-x) = -f'(x)\]

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Dimostrazione tramite derivazione

Deriviamo entrambi i membri dell'uguaglianza \(f(-x) = f(x)\) rispetto a \(x\), applicando la regola della catena al membro sinistro:

\[D[f(-x)] = D[f(x)]\] \[f'(-x) \cdot (-1) = f'(x)\] \[-f'(-x) = f'(x)\] \[f'(-x) = -f'(x) \qquad \text{c.v.d.}\]

Soluzione del Quesito 5

Dati del problema

La quota di produzione dello stabilimento C è \(1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\). Indichiamo con \(D\) l'evento «il pezzo è difettoso». Le probabilità note sono:

\[P(A) = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{1}{3}, \quad P(C) = \frac{1}{6}\] \[P(D|A) = \frac{10}{100}, \quad P(D|B) = \frac{7}{100}, \quad P(D|C) = \frac{5}{100}\]

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Teorema della probabilità totale

Calcoliamo la probabilità di estrarre un pezzo difettoso:

\[P(D) = P(A)\cdot P(D|A) + P(B)\cdot P(D|B) + P(C)\cdot P(D|C)\] \[P(D) = \frac{1}{2}\cdot\frac{10}{100} + \frac{1}{3}\cdot\frac{7}{100} + \frac{1}{6}\cdot\frac{5}{100}\] \[P(D) = \frac{30}{600} + \frac{14}{600} + \frac{5}{600} = \frac{49}{600}\]

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Teorema di Bayes

La probabilità che il pezzo difettoso provenga dallo stabilimento A è:

\[P(A|D) = \frac{P(A)\cdot P(D|A)}{P(D)} = \frac{\dfrac{10}{200}}{\dfrac{49}{600}} = \frac{10}{200}\cdot\frac{600}{49} = \frac{30}{49}\]

Soluzione alternativa: diagramma ad albero

Dal diagramma ad albero, le probabilità composte dei rami che portano a un pezzo difettoso sono:

\[P(A \cap D) = \frac{30}{600}, \quad P(B \cap D) = \frac{14}{600}, \quad P(C \cap D) = \frac{5}{600}\] \[P(A|D) = \frac{30}{30 + 14 + 5} = \frac{30}{49}\]

Soluzione del Quesito 6

Metodo delle sezioni (principio di Cavalieri)

La funzione \(y = x^2\sqrt{x+1}\) è non negativa in \([-1;\,0]\) e si annulla agli estremi. Ogni sezione perpendicolare all'asse \(x\) è un quadrato di lato \(y\), quindi di area:

\[A(x) = y^2 = \left(x^2\sqrt{x + 1}\right)^2 = x^4(x + 1) = x^5 + x^4\]

Il volume si calcola come:

\[V = \int_{-1}^{0} (x^5 + x^4)\,dx\]

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Calcolo dell'integrale

\[V = \left[ \frac{x^6}{6} + \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{0}\] \[V = 0 - \left( \frac{(-1)^6}{6} + \frac{(-1)^5}{5} \right) = -\left( \frac{1}{6} - \frac{1}{5} \right) = \] \[=-\left( \frac{5-6}{30} \right) = \frac{1}{30}\]

Soluzione del Quesito 7

Definizione di rette sghembe

Due rette dello spazio si dicono sghembe se non sono complanari, ovvero se non esiste alcun piano che le contenga entrambe. Geometricamente ciò significa che le due rette non si intersecano e non sono parallele.

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Costruzione delle due rette

Per assicurarci che due rette siano sghembe, le progettiamo a partire da due piani paralleli distinti: il piano \(z = 0\) e il piano \(z = 1\). Scegliamo una retta su ciascun piano con direzioni non parallele.

• Retta \(r\) (sul piano \(z = 0\)): l'asse \(x\), che passa per l'origine con vettore direttore \(\vec{v}_r = (1;\,0;\,0)\). In forma parametrica: \[r: \begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}\]
• Retta \(s\) (sul piano \(z = 1\)): parallela all'asse \(y\), passante per \((0;\,0;\,1)\), con vettore direttore \(\vec{v}_s = (0;\,1;\,0)\). Come intersezione di due piani: \[s: \begin{cases} x = 0 \\ z = 1 \end{cases}\]

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Verifica analitica

A) Non parallelismo: i vettori direttori sono \(\vec{v}_r = (1;\,0;\,0)\) e \(\vec{v}_s = (0;\,1;\,0)\). Non essendo proporzionali, le rette non sono parallele.

B) Assenza di punti comuni: sostituiamo le coordinate parametriche di \(r\) nelle equazioni di \(s\):

\[\begin{cases} x_r = 0 \\ z_r = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} t = 0 \\ 0 = 1 \end{cases}\]

La seconda equazione è impossibile: il sistema non ha soluzioni, quindi \(r \cap s = \emptyset\).

Soluzione del Quesito 8

1. Continuità e derivabilità in \(x = 0\)

Per la continuità in \(x = 0\), il limite sinistro e il limite destro devono coincidere:

\[\lim_{x \to 0^-} (a e^x + b) = a + b\] \[\lim_{x \to 0^+} [\ln(x+1)+1] = \ln 1 + 1 = 1\]

Prima condizione: \(\boldsymbol{a + b = 1}\).

Per la derivabilità, calcoliamo le derivate dei due rami:

\[f'(x) = \begin{cases} a \cdot e^x & \text{se } x < 0 \\ \dfrac{1}{x + 1} & \text{se } x > 0 \end{cases}\]

Imponiamo l'uguaglianza delle derivate laterali in \(x = 0\):

\[f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} a e^x = a \qquad f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x+1} = 1\]

Seconda condizione: \(\boldsymbol{a = 1}\). Sostituendo: \(\boldsymbol{b = 0}\).

La funzione cercata è:

\[f(x) = \begin{cases} e^x & \text{se } x \le 0 \\ \ln(x + 1) + 1 & \text{se } x > 0 \end{cases}\]

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2. Verifica del Teorema di Lagrange in \([-1;\,1]\)

Le ipotesi richieste dal teorema sono:

• \(f(x)\) continua in \([-1;\,1]\): i singoli rami sono continui e abbiamo garantito la continuità in \(x=0\). ✓
• \(f(x)\) derivabile in \((-1;\,1)\): avendo imposto l'uguaglianza delle derivate laterali in \(x=0\), la derivabilità è garantita su tutto l'intervallo aperto. ✓

Il teorema garantisce l'esistenza di almeno un \(c \in (-1;\,1)\) tale che:

\[f'(c) = \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)}\]

Calcoliamo i valori agli estremi:

\[f(1) = \ln 2 + 1, \qquad f(-1) = e^{-1} = \frac{1}{e}\] \[f'(c) = \frac{\ln 2 + 1 - \dfrac{1}{e}}{2} \approx \frac{0{,}693 + 1 - 0{,}368}{2} \approx \frac{1{,}325}{2} \approx 0{,}663\]

Cerchiamo \(c\) nei due rami:

• Ramo \(x < 0\): \[e^c = 0{,}663 \implies c = \ln(0{,}663) \approx -0{,}41\] Poiché \(-0{,}41 \in (-1;\,0)\): accettabile. ✓
• Ramo \(x > 0\): \[\frac{1}{c+1} = 0{,}663 \implies c + 1 = \frac{1}{0{,}663} \approx 1{,}508 \implies c \approx 0{,}51\] Poiché \(0{,}51 \in (0;\,1)\): accettabile. ✓

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3. Grafico qualitativo

La funzione è composta da due curve deducibili da funzioni elementari:

• Per \(x \le 0\): la curva esponenziale \(y = e^x\). Passa per \((0;\,1)\), è strettamente crescente, con asintoto orizzontale sinistro \(y = 0\).
• Per \(x > 0\): la curva \(y = \ln(x+1)+1\), cioè il grafico di \(y = \ln x\) traslato di una unità a sinistra e di una unità verso l'alto.

Le due curve si raccordano in \((0;\,1)\) in modo continuo e senza spigoli (derivata comune pari a 1).