Simulazione 10 – Problema 2 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del punto a

Dominio e derivata prima

Il denominatore \(1 + x^2\) è sempre strettamente positivo, quindi il dominio è \(\mathbb{R}\) per ogni valore del parametro \(a\). Calcoliamo la derivata prima con la regola del quoziente:

\[f_a'(x) = \frac{1 \cdot (1+x^2) - (x+a) \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2 - 2ax}{(1+x^2)^2}\]

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Punti stazionari

Poiché il denominatore è sempre positivo, il segno di \(f_a'(x)\) dipende solo dal numeratore. Imponiamo \(f_a'(x) = 0\):

\[1 - x^2 - 2ax = 0 \implies x^2 + 2ax - 1 = 0\]

Il discriminante vale:

\[\frac{\Delta}{4} = a^2 + 1 > 0 \qquad \forall\, a \in \mathbb{R}\]

Il discriminante è sempre positivo: esistono sempre due radici reali distinte \(x_1 < x_2\):

\[x_{1,2} = -a \pm \sqrt{a^2+1}\]

Poiché il coefficiente di \(x^2\) nel numeratore è negativo, il numeratore è positivo nell'intervallo \((x_1, x_2)\) e negativo all'esterno:

In \(x_1\) la funzione passa da decrescente a crescente: è un punto di minimo relativo. In \(x_2\) la funzione passa da crescente a decrescente: è un punto di massimo relativo. Questo vale per qualsiasi valore di \(a\).

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Un solo asintoto

• Asintoti verticali: assenti, poiché \(1 + x^2 \neq 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).
• Asintoti obliqui: assenti, poiché il grado del numeratore è strettamente inferiore a quello del denominatore.
• Asintoto orizzontale: \[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+a}{1+x^2} = 0 \qquad \forall\, a \in \mathbb{R}\] La retta \(y = 0\) è l'unico asintoto, orizzontale, completo.

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Soluzione del punto b

Punto \(C\): intersezione con l'asse \(y\)

Sostituiamo \(x = 0\) nella funzione:

\[f_a(0) = \frac{0 + a}{1 + 0^2} = a\]

Quindi: \(C(0;\, a)\).

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Coefficiente angolare della retta tangente in \(C\)

Valutiamo la derivata prima in \(x = 0\):

\[m = f_a'(0) = \frac{1 - 0 - 0}{(1 + 0)^2} = 1\]

Il coefficiente angolare è sempre 1, indipendentemente da \(a\).

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Equazione della tangente e punto \(D\)

La retta tangente in \(C(0;\,a)\) con pendenza \(1\) è:

\[y = x + a\]

Il punto \(D\) è l'intersezione con l'asse \(x\) (poniamo \(y = 0\)):

\[0 = x + a \implies x = -a \implies D(-a;\, 0)\]

Verifica che \(D\) appartiene anche al grafico:

\[f_a(-a) = \frac{-a + a}{1 + a^2} = \frac{0}{1 + a^2} = 0 \checkmark\]

Quindi \(D\) è sia sull'asse \(x\) che sul grafico di \(f_a\), per qualsiasi \(a\).

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Calcolo del parametro \(a\)

La lunghezza del segmento \(CD\) con \(C(0;\,a)\) e \(D(-a;\,0)\) è:

\[\overline{CD} = \sqrt{(-a-0)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = |a|\sqrt{2}\]

Poiché \(a > 0\), possiamo scrivere \(\overline{CD} = a\sqrt{2}\). Imponiamo:

\[a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \implies a = 2\] ↑ Nascondi soluzione

Soluzione del punto c

Per \(a = 2\):

\[g(x) = \frac{x + 2}{1 + x^2}\]

1. Dominio, simmetrie e intersezioni con gli assi

• Dominio: \(1 + x^2 > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\), quindi \(D = \mathbb{R}\).
• Simmetrie: \(g(-x) = \dfrac{-x+2}{1+x^2} \neq \pm g(x)\), quindi la funzione non è né pari né dispari.
• Intersezione con l'asse \(y\): \[g(0) = \frac{2}{1} = 2 \implies A(0;\, 2)\]
• Intersezione con l'asse \(x\): \[g(x) = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2 \implies B(-2;\, 0)\]

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2. Segno della funzione

Il denominatore è sempre positivo, quindi il segno dipende solo dal numeratore:

\[x + 2 > 0 \implies x > -2\]

• \(g(x) > 0\) per \(x > -2\)
• \(g(x) = 0\) per \(x = -2\)
• \(g(x) < 0\) per \(x < -2\)

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3. Limiti e asintoti

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 2}{1 + x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0^+\] \[\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{1 + x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0^-\]

La retta \(y = 0\) è asintoto orizzontale completo.

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4. Derivata prima e monotonia

Sostituendo \(a = 2\) nella derivata generale:

\[g'(x) = \frac{1 - x^2 - 4x}{(1 + x^2)^2}\]

Il denominatore è sempre positivo; studiamo il segno del numeratore:

\[1 - x^2 - 4x \ge 0 \implies x^2 + 4x - 1 \le 0\]

Radici dell'equazione associata:

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}\]

• Per \(x < -2 - \sqrt{5}\): \(g'(x) < 0\) → funzione decrescente.
• Per \(-2 - \sqrt{5} < x < -2 + \sqrt{5}\): \(g'(x) > 0\) → funzione crescente.
• Per \(x > -2 + \sqrt{5}\): \(g'(x) < 0\) → funzione decrescente.

Punti stazionari

• Minimo relativo in \(x_1 = -2 - \sqrt{5} \approx -4{,}24\): \[g(x_1) = \frac{2 - \sqrt{5}}{2} \approx -0{,}12\]
• Massimo relativo in \(x_2 = -2 + \sqrt{5} \approx 0{,}24\): \[g(x_2) = \frac{2 + \sqrt{5}}{2} \approx 2{,}12\]

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Soluzione del punto d

Ricerca del valore di \(a\) per cui \(f_a\) è dispari

Una funzione è dispari se e solo se \(f_a(-x) = -f_a(x)\) per ogni \(x\). Imponiamo:

\[\frac{-x + a}{1 + x^2} = -\frac{x + a}{1 + x^2}\]

Uguagliando i numeratori:

\[-x + a = -x - a \implies 2a = 0 \implies a = 0\]

La funzione dispari della famiglia è:

\[h(x) = f_0(x) = \frac{x}{1 + x^2}\]

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Calcolo di \(F(\sqrt{3})\)

Impostiamo l'integrale definito:

\[F(\sqrt{3}) = \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{t}{1 + t^2}\,dt\]

Al numeratore compare, a meno del fattore \(2\), la derivata del denominatore. Moltiplichiamo e dividiamo per \(2\):

\[F(\sqrt{3}) = \frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{2t}{1 + t^2}\,dt\] \[= \frac{1}{2} \Big[\ln(1 + t^2)\Big]_0^{\sqrt{3}}\] \[= \frac{1}{2}\Big(\ln(1 + 3) - \ln(1 + 0)\Big)\] \[= \frac{1}{2}\Big(\ln 4 - 0\Big) = \frac{1}{2}\ln 4\] \[= \frac{1}{2} \cdot 2\ln 2 = \ln 2\]

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Calcolo del limite \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{F(x)}{\ln x}\)

La forma analitica della funzione integrale è:

\[F(x) = \frac{1}{2}\ln(1 + x^2)\]

Per \(x \to +\infty\), sia \(F(x)\) che \(\ln x\) tendono a \(+\infty\): forma indeterminata \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\).

Applichiamo il Teorema di De L'Hôpital, derivando numeratore e denominatore separatamente. Per il Teorema Fondamentale del Calcolo, \(F'(x) = h(x)\):

\[F'(x) = h(x) = \frac{x}{1 + x^2} \qquad\qquad D[\ln x] = \frac{1}{x}\]

Il limite del rapporto delle derivate è:

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{F'(x)}{D[\ln x]} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\dfrac{x}{1+x^2}}{\dfrac{1}{x}}\] \[= \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1+x^2} \cdot x = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{1+x^2} = 1\] ↑ Nascondi soluzione