Simulazione 10 - PROBLEMA 2
Simulazione 10 - Problema 2 - Esame di Stato 2026
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Considera la famiglia di funzioni \(f_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definita ponendo
\[f_a(x) = \frac{x + a}{1 + x^2}\]dove \(a\) è un parametro reale.
a)
Dimostra che, per qualsiasi valore di \(a\), il grafico di \(f_a(x)\) presenta un punto di massimo relativo, un punto di minimo relativo e un solo asintoto.
Soluzione del punto a
Dominio e derivata prima
Il denominatore \(1 + x^2\) è sempre strettamente positivo, quindi il dominio è \(\mathbb{R}\) per ogni valore del parametro \(a\). Calcoliamo la derivata prima con la regola del quoziente:
\[f_a'(x) = \frac{1 \cdot (1+x^2) - (x+a) \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2 - 2ax}{(1+x^2)^2}\]Punti stazionari
Poiché il denominatore è sempre positivo, il segno di \(f_a'(x)\) dipende esclusivamente dal numeratore. Imponiamo \(f_a'(x) = 0\):
\[1 - x^2 - 2ax = 0 \implies x^2 + 2ax - 1 = 0\]Il discriminante di questa equazione di secondo grado vale:
\[\frac{\Delta}{4} = a^2 + 1 > 0 \qquad \forall\, a \in \mathbb{R}\]Il discriminante è quindi sempre positivo, indipendentemente dal valore di \(a\). Esistono pertanto sempre due radici reali distinte \(x_1 < x_2\):
\[x_{1,2} = \frac{-2a \pm 2\sqrt{a^2+1}}{2} = -a \pm \sqrt{a^2+1}\]Studio del segno di \(f_a'(x)\) e natura dei punti stazionari
Poiché il coefficiente di \(x^2\) nel numeratore \(-x^2 - 2ax + 1\) è negativo, la parabola associata è concava verso il basso. Pertanto il numeratore è positivo nell'intervallo \((x_1, x_2)\) e negativo all'esterno:
| \(x\) | \((-\infty,\,x_1)\) | \(x_1\) | \((x_1,\,x_2)\) | \(x_2\) | \((x_2,\,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f_a'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(f_a(x)\) | ↘ | min | ↗ | max | ↘ |
In \(x_1\) la funzione passa da decrescente a crescente: è un punto di minimo relativo. In \(x_2\) la funzione passa da crescente a decrescente: è un punto di massimo relativo. Questo vale per qualsiasi valore di \(a\).
Un solo asintoto
Verifichiamo i tre tipi di asintoto:
- Asintoti verticali: assenti, poiché \(1 + x^2 \neq 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).
- Asintoti obliqui: assenti, poiché il grado del numeratore è strettamente inferiore a quello del denominatore.
- Asintoto orizzontale: calcoliamo i limiti agli estremi: \[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+a}{1+x^2} = 0^{\pm} \qquad \forall\, a \in \mathbb{R}\] La retta \(y = 0\) (l'asse delle ascisse) è l'unico asintoto, orizzontale, sia destro che sinistro.
Per qualsiasi valore di \(a\), la funzione \(f_a(x)\) presenta sempre un minimo relativo in \(x_1 = -a - \sqrt{a^2+1}\), un massimo relativo in \(x_2 = -a + \sqrt{a^2+1}\) e ha come unico asintoto la retta \(y = 0\).
b)
Dimostra che, per qualsiasi valore di \(a\), la retta tangente al grafico di \(f_a(x)\) nel suo punto \(C\) di intersezione con l'asse \(y\) ha in comune con il grafico di \(f_a(x)\) anche l'intersezione \(D\) con l'asse \(x\). Determina per quale valore di \(a > 0\) il segmento \(CD\) misura \(2\sqrt{2}\).
Soluzione del punto b
1. Determinazione del punto \(C\):
Il punto \(C\) rappresenta l'intersezione della curva con l'asse \(y\) (la cui equazione è \(x = 0\)). Sostituendo \(x = 0\) nell'espressione della funzione otteniamo:
Le coordinate del punto di intersezione sono quindi: \(C(0;\, a)\).
2. Ricerca del coefficiente angolare della tangente:
Il coefficiente angolare \(m\) della retta tangente alla curva nel punto di ascissa \(x = 0\) è dato dal valore della derivata prima calcolata in tale punto. La derivata prima che abbiamo calcolato nel punto a è la seguente:
Valutando la derivata prima in \(x = 0\), notiamo che il termine dipendente da \(a\) si annulla al numeratore:
\[m = f_a'(0) = \frac{1 - 0 - 0}{(1 + 0)^2} = 1\]Il coefficiente angolare della tangente è quindi costante e pari a \(1\) per qualsiasi valore del parametro \(a\).
3. Equazione della retta tangente e individuazione del punto \(D\):
Scriviamo l'equazione della retta passante per \(C(0;\, a)\) con coefficiente angolare \(m = 1\):
Il punto \(D\) è l'intersezione di questa retta tangente con l'asse \(x\) (equazione \(y = 0\)):
\[0 = x + a \implies x = -a\]Le coordinate del punto sono quindi: \(D(-a;\, 0)\).
4. Calcolo del parametro \(a\):
Calcoliamo la lunghezza del segmento \(CD\) applicando la formula della distanza tra due punti:
Poiché il testo della traccia specifica che il parametro deve essere strettamente positivo (\(a > 0\)), possiamo rimuovere il valore assoluto ottenendo \(\overline{CD} = a\sqrt{2}\).
Imponiamo adesso che tale lunghezza sia pari a \(2\sqrt{2}\):
\[a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \implies a = 2\]L'equazione della retta tangente in \(C\) è \(y = x + a\). Il punto \(D(-a;\,0)\) appartiene sia alla retta tangente che al grafico di \(f_a(x)\) (poiché \(f_a(-a) = \frac{-a+a}{1+a^2} = 0\)). Il valore del parametro richiesto è \(\boldsymbol{a = 2}\).
c)
Indica con \(g(x)\) la funzione che si ottiene per il valore \(a = 2\) trovato al punto precedente. Studia e rappresenta graficamente la funzione \(y = g(x)\), limitandoti allo studio della derivata prima.
Soluzione del punto c
La funzione da studiare, per \(a = 2\), ha equazione:
\[g(x) = \frac{x + 2}{1 + x^2}\]1. Dominio, simmetrie e intersezioni con gli assi
- Dominio: Il denominatore \(1 + x^2\) è una somma di quadrati sempre strettamente positiva per ogni \(x \in \mathbb{R}\). Il dominio della funzione è quindi tutto l'insieme dei numeri reali: \(D = \mathbb{R}\).
- Simmetrie (Parità/Disparità): Verifichiamo il comportamento sostituendo \(-x\) alla variabile \(x\): \[g(-x) = \frac{-x + 2}{1 + (-x)^2} = \frac{-x + 2}{1 + x^2}\] Poiché \(g(-x) \neq g(x)\) e \(g(-x) \neq -g(x)\), la funzione non è né pari né dispari, quindi il grafico non presenta simmetrie rispetto all'asse \(y\) o all'origine.
- Intersezione con l'asse \(y\) (\(x = 0\)): \[g(0) = \frac{0 + 2}{1 + 0^2} = 2 \implies A(0;\, 2)\]
- Intersezione con l'asse \(x\) (\(g(x) = 0\)): \[\frac{x + 2}{1 + x^2} = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2 \implies B(-2;\, 0)\]
2. Studio del segno della funzione
Imponiamo \(g(x) > 0\):
\[\frac{x + 2}{1 + x^2} > 0\]Poiché il denominatore è sempre positivo, il segno della frazione dipende esclusivamente dal numeratore:
\[x + 2 > 0 \implies x > -2\]Pertanto, la funzione è strettamente positiva per \(x > -2\), nulla in \(x = -2\) e strettamente negativa per \(x < -2\).
3. Limiti e asintoti
Essendo il dominio illimitato sia a destra che a sinistra, studiamo il comportamento della funzione agli estremi liberi (\(\pm\infty\)):
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 2}{1 + x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0^+\] \[\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{1 + x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0^-\]La retta di equazione \(y = 0\) (l'asse \(x\)) è un asintoto orizzontale completo per il grafico della funzione sia a \(+\infty\) che a \(-\infty\).
4. Studio della derivata prima e della monotonia
Riprendendo l'espressione generale della derivata determinata al punto b e sostituendo \(a = 2\), otteniamo:
\[g'(x) = \frac{1 - x^2 - 2(2)x}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2 - 4x}{(1 + x^2)^2}\]Studiamo il segno della derivata prima imponendo \(g'(x) \ge 0\) per localizzare gli intervalli di monotonia e i punti stazionari. Poiché il denominatore è un quadrato sempre positivo nel dominio, consideriamo solo il numeratore:
\[1 - x^2 - 4x \ge 0 \implies x^2 + 4x - 1 \le 0\]Risolviamo l'equazione associata utilizzando la formula ridotta:
\[x = -2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 1 \cdot (-1)} = -2 \pm \sqrt{4 + 1} = -2 \pm \sqrt{5}\]La derivata prima è quindi non negativa per valori interni all'intervallo delle radici:
\[-2 - \sqrt{5} \le x \le -2 + \sqrt{5}\]Possiamo riassumere lo schema di crescenza e decrescenza:
- Per \(x < -2 - \sqrt{5}\): \(g'(x) < 0\) \(\implies\) la funzione è strettamente decrescente.
- Per \(-2 - \sqrt{5} < x < -2 + \sqrt{5}\): \(g'(x) > 0\) \(\implies\) la funzione è strettamente crescente.
- Per \(x > -2 + \sqrt{5}\): \(g'(x) < 0\) \(\implies\) la funzione è strettamente decrescente.
Individuiamo le coordinate esatte ed approssimate dei due punti stazionari:
- Punto di minimo relativo: \(x_1 = -2 - \sqrt{5} \approx -4{,}24\).
Sostituendo il valore nella funzione e razionalizzando, otteniamo la forma esatta dell'ordinata: \[g(-2 - \sqrt{5}) = \frac{-\sqrt{5}}{1 + (-2 - \sqrt{5})^2} = \frac{-\sqrt{5}}{10 + 4\sqrt{5}} = \frac{2 - \sqrt{5}}{2} \approx -0{,}12\] Quindi: \(M_{\text{min}} \left(-2-\sqrt{5};\, \frac{2-\sqrt{5}}{2}\right)\). - Punto di massimo relativo: \(x_2 = -2 + \sqrt{5} \approx 0{,}24\).
Calcoliamo l'ordinata corrispondente: \[g(-2 + \sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{1 + (-2 + \sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{5}}{10 - 4\sqrt{5}} = \frac{2 + \sqrt{5}}{2} \approx 2{,}12\] Quindi: \(M_{\text{max}} \left(-2+\sqrt{5};\, \frac{2+\sqrt{5}}{2}\right)\).
5. Grafico qualitativo della funzione
Unendo tutte le informazioni raccolte (il passaggio per i punti \(A(0;2)\) e \(B(-2;0)\), l'asintoto orizzontale \(y=0\), il minimo situato a \((-4{,}24;\, -0{,}12)\) e il massimo a \((0{,}24;\, 2{,}12)\)), si ottiene il profilo della curva cercata.
Grafico della funzione \(g(x) = \frac{x+2}{1+x^2}\) con evidenziati i punti di intersezione con gli assi e i punti stazionari di massimo e minimo relativi.
La funzione presenta un punto di minimo relativo in \((-4{,}24;\, -0{,}12)\) e un punto di massimo relativo in \((0{,}24;\, 2{,}12)\). L'asse delle ascisse è asintoto orizzontale completo.
d)
Trova per quale valore di \(a\) nella famiglia delle funzioni \(f_a(x)\) si ottiene la funzione \(h(x)\) dispari. Considera, infine, la funzione \(F(x) = \displaystyle\int_0^x h(t)\,dt\).
Calcola \(F(\sqrt{3})\) e \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{F(x)}{\ln x}\).
Soluzione del punto d
1. Ricerca del parametro per la funzione dispari
Una funzione \(f_a(x)\) è dispari se e solo se soddisfa la condizione \(f_a(-x) = -f_a(x)\) per ogni \(x\) appartenente al suo dominio. Imponiamo l'identità:
\[\frac{-x + a}{1 + (-x)^2} = -\frac{x + a}{1 + x^2} \implies \frac{-x + a}{1 + x^2} = \frac{-x - a}{1 + x^2}\]Uguagliando i numeratori otteniamo:
\[-x + a = -x - a \implies 2a = 0 \implies a = 0\]Pertanto, l'unico valore per cui la funzione della famiglia è dispari è \(a = 0\).
La funzione richiesta è dunque:
2. Calcolo del valore della funzione integrale \(F(\sqrt{3})\)
La funzione integrale \(F(x)\) ha come punto iniziale \(x_0 = 0\). Calcoliamo \(F(\sqrt{3})\) impostando l'integrale definito:
\[F(\sqrt{3}) = \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{t}{1 + t^2}\,dt\]Riconosciamo al numeratore, a meno di una costante moltiplicativa, la derivata del denominatore. Moltiplichiamo e dividiamo per \(2\):
\[F(\sqrt{3}) = \frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{2t}{1 + t^2}\,dt = \frac{1}{2} \left[ \ln(1 + t^2) \right]_0^{\sqrt{3}} =\] \[= \frac{1}{2} \left( \ln(1 + (\sqrt{3})^2) - \ln(1 + 0^2) \right) =\] \[= \frac{1}{2} (\ln(1 + 3) - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 4 - 0 =\] \[= \frac{1}{2} \ln(2^2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \ln 2 = \ln 2\]Il valore esatto è dunque: \(F(\sqrt{3}) = \ln 2\).
3. Calcolo del limite a \(+\infty\)
Dobbiamo studiare il comportamento asintotico del rapporto:
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{F(x)}{\ln x}\]Per prima cosa valutiamo l'andamento di \(F(x)\) per \(x \to +\infty\). Avendo ricavato che l'espressione analitica della funzione integrale è \(F(x) = \frac{1}{2}\ln(1 + x^2)\), si ha:
\[\lim_{x \to +\infty} F(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) = +\infty\]Il limite si presenta dunque nella forma indeterminata \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\). Poiché le funzioni al numeratore e al denominatore sono continue e derivabili in un intorno di \(+\infty\), e la derivata del denominatore \(D[\ln x] = \frac{1}{x}\) non si annulla in tale intorno, possiamo applicare il Teorema di De L'Hôpital derivando separatamente numeratore e denominatore.
Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, la derivata della funzione integrale \(F(x)\) è la funzione integranda stessa valutata nell'estremo superiore:
\[F'(x) = h(x) = \frac{x}{1 + x^2}\]La derivata del denominatore è semplicemente:
\[D[\ln x] = \frac{1}{x}\]Applicando il teorema, il limite del rapporto delle derivate diventa:
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{F'(x)}{D[\ln x]} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{1 + x^2}}{\frac{1}{x}} =\] \[= \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{1 + x^2} \cdot x \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{1 + x^2} = 1\]Essendo quest'ultimo limite finito e pari a \(1\), per il Teorema di De L'Hôpital anche il limite di partenza ha lo stesso valore:
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{F(x)}{\ln x} = 1\]La funzione è dispari per \(a = 0\). Il valore dell'integrale è \(F(\sqrt{3}) = \ln 2\) e il limite finale vale \(1\).