Simulazione 11 - Problema 2 - Esame di Stato 2026

Studio dei punti stazionari della funzione \(f(x)\)

La funzione \(f(x) = \sqrt{x}(k - x) = kx^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}\) è definita e continua per \(x \ge 0\). Calcoliamo la sua derivata prima per cercarne i punti stazionari nell'intervallo \([0, k]\):

\[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(k - x) + \sqrt{x}(-1) = \frac{k - x - 2x}{2\sqrt{x}} = \frac{k - 3x}{2\sqrt{x}}\]

Studiamo il segno della derivata prima ponendo \(f'(x) \ge 0\):

\[\frac{k - 3x}{2\sqrt{x}} \ge 0 \implies k - 3x \ge 0 \implies x \le \frac{k}{3}\]

Nell'intervallo \([0, k]\) la funzione cresce per \(0 < x < \frac{k}{3}\) e decresce per \(\frac{k}{3} < x < k.\) Di conseguenza, \(x_F = \frac{k}{3}\) è l'ascissa dell'unico punto di massimo assoluto \(F\). Determiniamo l'ordinata del punto sostituendo \(x_F\) nella funzione originale:

\[y_F = f\left(\frac{k}{3}\right) = \sqrt{\frac{k}{3}}\left(k - \frac{k}{3}\right) = \sqrt{\frac{k}{3}} \cdot \frac{2}{3}k = \frac{2}{3}k\sqrt{\frac{k}{3}}\]

Le coordinate del punto di massimo sono dunque: \(F\left(\frac{k}{3}; \, \frac{2}{3}k\sqrt{\frac{k}{3}}\right)\).

Studio dei punti stazionari della funzione \(g(x)\)

La funzione \(g(x) = x^2(x - k) = x^3 - kx^2\) è un polinomio definito, continuo e derivabile su tutto l'asse reale. Calcoliamo la derivata prima:

\[g'(x) = 3x^2 - 2kx = x(3x - 2k)\]

Studiamo il segno della derivata ponendo \(g'(x) \ge 0\):

\[x(3x - 2k) \ge 0 \implies x \le 0 \quad \text{oppure} \quad x \ge \frac{2}{3}k\]

All'interno dell'intervallo stabilito \([0, k]\), la derivata resulta negativa per \(0 < x < \frac{2}{3}k\) (funzione decrescente) e positiva per \(\frac{2}{3}k < x < k\) (funzione crescente). Pertanto, il punto \(x_G = \frac{2}{3}k\) è l'ascissa dell'unico punto di minimo assoluto \(G\). Calcoliamo l'ordinata corrispondente:

\[y_G = g\left(\frac{2}{3}k\right) = \left(\frac{2}{3}k\right)^2 \left(\frac{2}{3}k - k\right) = \frac{4}{9}k^2 \left(-\frac{1}{3}k\right) = -\frac{4}{27}k^3\]

Le coordinate del punto di minimo sono dunque: \(G\left(\frac{2}{3}k; \, -\frac{4}{27}k^3\right)\).

Verifica delle relazioni tra i punti \(F\) e \(G\)

Verifichiamo adesso le due relazioni richieste dal testo del problema:

1. Relazione tra le ascisse: \[2x_F = 2 \cdot \left(\frac{k}{3}\right) = \frac{2}{3}k = x_G \quad \color{green}\checkmark\]
2. Relazione tra le ordinate:

   Eleviamo al quadrato l'ordinata del massimo \(y_F\):

   \[(y_F)^2 = \left(\frac{2}{3}k\sqrt{\frac{k}{3}}\right)^2 = \frac{4}{9}k^2 \cdot \frac{k}{3} = \frac{4}{27}k^3\]

   Applicando il segno meno otteniamo:

   \[-(y_F)^2 = -\frac{4}{27}k^3 = y_G \quad \color{green}\checkmark\]

Soluzione del punto b

1. Verifica dell'ortogonalità nell'origine

Due curve si dicono ortogonali in un punto di intersezione se le rispettive rette tangenti in quel punto sono perpendicolari.

Consideriamo l'origine \(O(0;0)\). Determiniamo i coefficienti angolari delle tangenti calcolando il valore delle derivate prime in \(x = 0\):

• Per la funzione \(g(x)\): \[g'(x) = 3x^2 - 2kx \implies g'(0) = 0\] La retta tangente al grafico di \(g\) nell'origine è la retta orizzontale di equazione \(y = 0\) (coincidente con l'asse \(x\)).
• Per la funzione \(f(x)\) (definita per \(x \ge 0\)): \[f'(x) = \frac{k - 3x}{2\sqrt{x}}\] Calcoliamo il limite destro della derivata nell'origine: \[\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{k - 3x}{2\sqrt{x}} = \frac{k}{0^+} = +\infty \quad (\text{essendo } k > 0)\] La retta tangente al grafico di \(f\) nell'origine è la retta verticale di equazione \(x = 0\) (coincidente con l'asse \(y\)).

Poiché l'asse \(x\) e l'asse \(y\) formano per definizione un angolo retto (\(90^\circ\)), le due rette tangenti sono tra loro perpendicolari. Pertanto, i due grafici sono ortogonali nell'origine per qualunque valore di \(k > 0\).

2. Ricerca dell'ulteriore punto comune e condizione di ortogonalità

Troviamo i punti comuni ai grafici risolvendo il sistema delle due equazioni:

\[\begin{cases} y = \sqrt{x}(k - x) \\ y = x^2(x - k) \end{cases} \implies \sqrt{x}(k - x) = x^2(x - k)\] \[\sqrt{x}(k - x) - x^2(x - k) = 0 \implies \sqrt{x}(k - x) + x^2(k - x) = 0\] \[(k - x)(\sqrt{x} + x^2) = 0\]

Da questa scomposizione ricaviamo due canali risolutivi:

• \(\sqrt{x} + x^2 = 0 \implies x = 0\), che corrisponde all'origine \(O(0;0)\).
• \(k - x = 0 \implies x = k\). Sostituendo nelle funzioni otteniamo \(y = 0\).

L'ulteriore punto comune cercato è quindi **\(A(k; 0)\)**.

Affinché i grafici siano ortogonali anche in \(A\), deve valere la relazione tra i coefficienti angolari delle rette tangenti in quel punto, ossia \(f'(k) \cdot g'(k) = -1\). Valutiamo le derivate nel punto di ascissa \(x = k\):

\[f'(k) = \frac{k - 3k}{2\sqrt{k}} = \frac{-2k}{2\sqrt{k}} = -\frac{k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k}\] \[g'(k) = 3k^2 - 2k^2 = k^2\]

Imponiamo la condizione di perpendicolarità:

\[f'(k) \cdot g'(k) = -1 \implies (-\sqrt{k}) \cdot (k^2) = -1 \implies k^2\sqrt{k} = 1\]

Ricordando che \(k^2\sqrt{k} = k^2 \cdot k^{\frac{1}{2}} = k^{\frac{5}{2}}\), l'equazione diventa:

\[k^{\frac{5}{2}} = 1 \implies k = 1\]

Studio della funzione \(f(x)\) per \(k = 3\)

La funzione da studiare è \(f(x) = \sqrt{x}(3 - x) = 3x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}\).

• Dominio: La presenza della radice quadrata impone \(x \ge 0\), quindi il dominio è l'intervallo \([0; +\infty)\).
• Intersezioni con gli assi e segno: Ponendo \(f(x) = 0\), otteniamo \(\sqrt{x}(3 - x) = 0 \implies x = 0\) oppure \(x = 3\). I punti di intersezione con l'asse delle ascisse sono \(O(0;0)\) e \(A(3;0)\). La funzione risulta positiva nell'intervallo \(0 < x < 3\) e negativa per \(x > 3\).
• Comportamento nell'origine e limiti: In \(x = 0\) la funzione è continua e vale \(f(0)=0\). Come verificato nel punto b), si ha \(\lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty\), il che indica la presenza di un punto a tangente verticale nell'origine coincidente con l'asse \(y\). Il limite per \(x\) che tende a più infinito è: \[\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}(3 - x) = +\infty \cdot (-\infty) = -\infty\]
• Studio della derivata prima: Sostituendo \(k=3\) nella derivata calcolata nel punto a), si ottiene \(f'(x) = \frac{3 - 3x}{2\sqrt{x}}\). La derivata si annulla per \(x = 1\). Lo studio del segno di \(f'(x) \ge 0\) mostra che la funzione cresce in \((0; 1)\) e decresce in \((1; +\infty)\). Il punto \(F(1; 2)\) è l'unico punto di massimo assoluto della funzione.

Studio della funzione \(g(x)\) per \(k = 3\)

La funzione polinomiale da studiare è \(g(x) = x^2(x - 3) = x^3 - 3x^2\), definita, continua e derivabile su tutto l'asse reale \(\mathbb{R}\).

• Intersezioni con gli assi e segno: Risolvendo \(g(x) = 0 \implies x^2(x - 3) = 0\), otteniamo la soluzione doppia \(x = 0\) (punto di tangenza nell'origine) e \(x = 3\). Le intersezioni con l'asse \(x\) sono nei punti \(O(0;0)\) e \(A(3;0)\). La funzione è strettamente positiva per \(x > 3\) e negativa per \(x < 3\) (con \(x \neq 0\)).
• Limiti agli estremi del dominio: \[\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 3x^2) = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} (x^3 - 3x^2) = +\infty\]
• Studio dei punti stazionari: La derivata prima è \(g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\). Ponendo \(g'(x) \ge 0\) otteniamo \(x \le 0 \cup x \ge 2\). La funzione cresce negli intervalli \((-\infty; 0)\) e \((2; +\infty)\), mentre decresce in \((0; 2)\). Si determinano un punto di massimo relativo in \(O(0;0)\) e un punto di minimo relativo in \(G_d(2; -4)\).
• Studio della concavità e dei flessi: La derivata seconda è \(g''(x) = 6x - 6\). Imponendo \(g''(x) \ge 0 \implies x \ge 1\). Il grafico volge la concavità verso il basso per \(x < 1\) e verso l'alto per \(x > 1\). In \(x = 1\) è presente un punto di flesso obliquo di coordinate \(F_{\text{flem}}(1; -2)\).

Calcolo dell'area della regione finita di piano

I grafici delle due funzioni si intersecano nei punti comuni di ascissa \(x = 0\) e \(x = 3\). Nell'intervallo chiuso \([0; 3]\), si osserva che il grafico di \(f(x)\) si trova interamente al di sopra del grafico di \(g(x)\) (essendo \(f(x) \ge 0\) e \(g(x) \le 0\)).

L'area della regione racchiusa è espressa dal seguente integrale definito:

\[A = \int_{0}^{3} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{0}^{3} \left[ \sqrt{x}(3 - x) - x^2(x - 3) \right] dx\] \[A = \int_{0}^{3} \left( 3x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^3 + 3x^2 \right) dx\]

Determiniamo una primitiva delle funzioni integrande sfruttando la linearità dell'integrale e la regola di integrazione delle potenze:

\[\begin{align} &\int \left( 3x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^3 + 3x^2 \right) dx \\[6pt] &= 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - \frac{x^4}{4} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} \\[6pt] &= 2x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4}x^4 + x^3 \end{align}\]

Applicando il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, valutiamo la primitiva tra gli estremi \(0\) e \(3\):

\[A = \left[ 2x\sqrt{x} - \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - \frac{1}{4}x^4 + x^3 \right]_{0}^{3}\] \[A = \left( 2(3)\sqrt{3} - \frac{2}{5}(9)\sqrt{3} - \frac{81}{4} + 27 \right) - \left( 0 \right)\] \[A = 6\sqrt{3} - \frac{18}{5}\sqrt{3} + \frac{-81 + 108}{4} = \frac{30\sqrt{3} - 18\sqrt{3}}{5} + \frac{27}{4}\]

Soluzione del punto d

Il problema richiede di calcolare il seguente limite per \(k = 3\):

\[L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_{0}^{x^2} f(t) \, dt}{\int_{0 }^{2x} g(t) \, dt}\]

1. Verifica della forma indeterminata

Analizziamo il comportamento del numeratore e del denominatore quando \(x \to 0^+\):

• Per il numeratore, l'estremo superiore dell'integrale tende a \(0^2 = 0\): \[\lim_{x \to 0^+} \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt = \int_{0}^{0} f(t) \, dt = 0\]
• Per il denominatore, l'estremo superiore dell'integrale tende a \(2(0) = 0\): \[\lim_{x \to 0^+} \int_{0}^{2x} g(t) \, dt = \int_{0}^{0} g(t) \, dt = 0\]

Ci troviamo di fronte a una forma indeterminata del tipo \(\left[\frac{0}{0}\right]\).

2. Condizioni di applicabilità del Teorema di de l'Hôpital

Per rimuovere l'indeterminatezza possiamo applicare il Teorema di de l'Hôpital. Verifichiamo rigorosamente tutte le ipotesi necessarie in un intorno destro dell'origine \(I^+ = (0, \delta)\):

1. Continuità e derivabilità: Le funzioni integrali a numeratore e denominatore sono continue e derivabili in \(I^+\) per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, poiché le funzioni integrande \(f(t)\) e \(g(t)\) sono continue nei rispettivi intervalli di integrazione. Le funzioni degli estremi superiori (\(x^2\) e \(2x\)) sono polinomi differenziabili.
2. Forma indeterminata: Come già verificato, il limite del rapporto si presenta nella forma \(\left[\frac{0}{0}\right]\).
3. Derivata del denominatore non nulla: La derivata del denominatore (calcolata esplicitamente sotto) deve essere diversa da zero in \(I^+\). Poiché \(g(2x) \cdot 2 = 2 \cdot \left[(2x)^3 - 3(2x)^2\right] = 16x^3 - 24x^2\), essa si annulla solo nell'origine e in \(x = \frac{3}{2}\), quindi è sicuramente non nulla in un intorno destro sufficientemente piccolo dell'origine.
4. Esistenza del limite del rapporto delle derivate: L'ipotesi finale prevede che il limite del rapporto delle derivate esista (finito o infinito). Lo verificheremo eseguendo il calcolo.

3. Calcolo delle derivate mediante la regola di Leibniz

Ricordiamo che la derivata di una funzione integrale del tipo \(F(x) = \int_{a}^{h(x)} \varphi(t) \, dt\) si ottiene applicando la regola di derivazione delle funzioni composte (Teorema di Leibniz):

\[F'(x) = \varphi(h(x)) \cdot h'(x)\]

Calcoliamo la derivata del numeratore (\(N'(x)\)) ponendo \(h(x) = x^2 \implies h'(x) = 2x\):

\[N'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt \right] = f(x^2) \cdot (2x) = \sqrt{x^2}(3 - x^2) \cdot 2x\]

Poiché stiamo studiando il limite per \(x \to 0^+\), le ascisse sono strettamente positive, pertanto \(\sqrt{x^2} = |x| = x\):

\[N'(x) = x(3 - x^2) \cdot 2x = 2x^2(3 - x^2) = 6x^2 - 2x^4\]

Calcoliamo la derivata del denominatore (\(D'(x)\)) ponendo \(h(x) = 2x \implies h'(x) = 2\):

\[D'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_{0}^{2x} g(t) \, dt \right] = g(2x) \cdot 2 = \left[ (2x)^2(2x - 3) \right] \cdot 2\] \[D'(x) = \left[ 4x^2(2x - 3) \right] \cdot 2 = 8x^2(2x - 3) = 16x^3 - 24x^2\]

4. Risoluzione del limite del rapporto delle derivate

Impostiamo il nuovo limite sostituendo le derivate appena calcolate:

\[L = \lim_{x \to 0^+} \frac{N'(x)}{D'(x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2x^2(3 - x^2)}{8x^2(2x - 3)}\]

Possiamo semplificare il fattore comune \(x^2\) a numeratore e denominatore (operazione legittima in quanto nei limiti \(x \neq 0\)):

\[L = \lim_{x \to 0^+} \frac{2(3 - x^2)}{8(2x - 3)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{3 - x^2}{4(2x - 3)}\]

Ora il limite non si presenta più in forma indeterminata. Sostituendo direttamente \(x = 0\) otteniamo:

\[L = \frac{3 - (0)^2}{4(2(0) - 3)} = \frac{3}{4(-3)} = -\frac{1}{4}\]