Argomenti: funzione con parametri, asintoti orizzontali e obliqui, confronto di funzioni, aree con integrali impropri.
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Consideriamo la funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), così definita:
\[f(x) = \ln(ae^{bx}+c)\]al variare di \( a, b, c \) parametri reali positivi.
Verifica che, comunque si scelgano i parametri, si ha:
\[f'(x) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\] \[f''(x) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\]💡 Suggerimento 1:
Calcola \(f'(x)\) usando la regola di derivazione del logaritmo: \(\frac{d}{dx}\ln(u) = \frac{u'}{u}\). Poi studia il segno del risultato ricordando che \(a, b, c > 0\) e \(e^{bx} > 0\).
💡 Suggerimento 2:
Per \(f''(x)\), deriva \(f'(x) = \frac{abe^{bx}}{ae^{bx}+c}\) con la regola del quoziente. Nel numeratore raccogliere \(ab^2e^{bx}\) aiuta a semplificare.
💡 Suggerimento 3:
Dopo la semplificazione dovresti ottenere \(f''(x) = \frac{ab^2ce^{bx}}{(ae^{bx}+c)^2}\). Verifica che numeratore e denominatore siano entrambi positivi per ogni \(x \in \mathbb{R}\).
Calcoliamo le derivate della funzione \(f(x) = \ln(ae^{bx}+c)\), con \(a, b, c\) parametri reali positivi:
\[ f'(x) = \frac{abe^{bx}}{ae^{bx}+c} > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \]poiché \(a, b, c > 0\) e \(e^{bx} > 0\), numeratore e denominatore sono entrambi positivi.
Calcoliamo la derivata seconda:
\[ f''(x) = \frac{ab^2e^{bx}(ae^{bx}+c) - abe^{bx}(abe^{bx})}{(ae^{bx}+c)^2} = \frac{ab^2e^{bx}(ae^{bx}+c-ae^{bx})}{(ae^{bx}+c)^2} =\] \[= \frac{ab^2ce^{bx}}{(ae^{bx}+c)^2} \]e risulta \(f''(x) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\) poiché \(a, b^2, c > 0\) e \(e^{bx} > 0\).
Verifica che, comunque si scelgano i parametri, la funzione \(f\) ha un asintoto orizzontale per \(x \to -\infty\) e un asintoto obliquo per \(x \to +\infty\); determina \(a, b, c\) in modo che l'asintoto orizzontale per \(x \to -\infty\) sia la retta \(y=0\) e l'asintoto obliquo per \(x \to +\infty\) sia la retta \(y=x\).
💡 Suggerimento 1:
Per \(x \to -\infty\), l'esponenziale \(e^{bx} \to 0\), quindi \(ae^{bx}+c \to c\). Calcola \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\).
💡 Suggerimento 2:
Per l'asintoto obliquo calcola \(m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\) e poi \(q = \lim_{x \to +\infty}(f(x) - mx)\). Per semplificare, nota che per grandi \(x\) si ha \(ae^{bx}+c \approx ae^{bx}\).
💡 Suggerimento 3:
Imponendo \(y=0\) come asintoto orizzontale ottieni \(\ln(c)=0\), cioè \(c=1\). Imponendo \(y=x\) come asintoto obliquo ottieni \(m=b=1\) e \(q=\ln(a)=0\), cioè \(a=1\).
Asintoto orizzontale per \(x \to -\infty\):
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \ln(ae^{bx}+c) = \ln(0+c) = \ln(c) \]Quindi \(f\) ha l'asintoto orizzontale \(y = \ln(c)\) per \(x \to -\infty\). Per avere \(y=0\) occorre \(\ln(c)=0\), cioè \(c=1\).
Asintoto obliquo per \(x \to +\infty\):
Calcoliamo il coefficiente angolare \(m\):
\[ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(ae^{bx}+c)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(ae^{bx})}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(a)+bx}{x} = b \]Quindi \(m = b\). Calcoliamo il termine noto \(q\):
\[ q = \lim_{x \to +\infty}(f(x)-bx) = \lim_{x \to +\infty}\left(\ln\!\left(e^{bx}\!\left(a+\frac{c}{e^{bx}}\right)\right)-bx\right) \] \[ = \lim_{x \to +\infty}\left(bx + \ln\!\left(a+\frac{c}{e^{bx}}\right) - bx\right) = \ln(a+0) = \ln(a) \]Quindi l'asintoto obliquo per \(x \to +\infty\) è \(y = bx + \ln(a)\). Per avere \(y=x\) occorre \(b=1\) e \(\ln(a)=0\), cioè \(a=1\).
In conclusione: \(a=1,\ b=1,\ c=1\).
Dimostra che ponendo \(a=b=c=1\) si ha:
\[ x < f(x) < e^x \quad \forall x \in \mathbb{R} \]💡 Suggerimento 1:
Con \(a=b=c=1\) si ha \(f(x)=\ln(e^x+1)\). Per dimostrare \(f(x) > x\), confronta \(e^x+1\) con \(e^x\).
💡 Suggerimento 2:
Per dimostrare \(f(x) < e^x\), ossia \(\ln(e^x+1) < e^x\), applica il logaritmo ad entrambi i membri di \(e^x+1 < e^{e^x}\) e studia qualitativamente il grafico di \(f\).
💡 Suggerimento 3:
Analizza il comportamento agli estremi: per \(x \to -\infty\), \(f(x) \to 0\) mentre \(e^x \to 0\) con lo stesso ordine (verifica il limite del rapporto). Per \(x \to +\infty\), \(f(x) \sim x\) mentre \(e^x \to +\infty\) molto più velocemente.
Con \(a=b=c=1\) la funzione diventa \(f(x)=\ln(e^x+1)\).
Dimostrazione di \(f(x) > x\):
Poiché \(e^x + 1 > e^x\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\), applicando il logaritmo (funzione crescente):
\[ \ln(e^x+1) > \ln(e^x) = x \]quindi \(f(x) > x\). ✓
Dimostrazione di \(f(x) < e^x\):
Studiamo qualitativamente \(f(x) = \ln(e^x+1)\):
Il grafico di \(f\) è il seguente:
Rappresentando le tre funzioni \(y=x\), \(y=f(x)\) e \(y=e^x\) nello stesso piano si vede che \(x < f(x) < e^x\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\):
Poiché \(f(0) < e^0\), e le due funzioni non si intersecano (la differenza \(e^x - f(x)\) è sempre positiva come si evince dall'analisi asintotica e dalla continuità), si conclude \(f(x) < e^x\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\). ✓
Verifica che ponendo \(a=b=c=1\) e detta \(A\) l'area della parte di piano compresa tra il grafico della funzione \(h(x)=f(-|x|)\) e l'asse \(x\), si ha \(A < 2\).
Inoltre, a partire dalle caratteristiche del grafico di \(h(x)\), determina un numero reale \(S\), quanto più grande possibile, tale che \(A > S\).
💡 Suggerimento 1:
Il grafico di \(h(x)=f(-|x|)\) è simmetrico rispetto all'asse \(y\), quindi \(A = 2\int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx\). Per dimostrare \(A < 2\) basta mostrare che \(\int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx < 1\).
💡 Suggerimento 2:
Usa il risultato del punto 3: \(f(x) < e^x\) per ogni \(x\). Quindi \(\int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx < \int_{-\infty}^{0} e^x\,dx\). Calcola quest'ultimo integrale improprio.
💡 Suggerimento 3:
Per trovare \(S\), considera il triangolo formato dalle due semi-tangenti al grafico di \(h(x)\) nel punto angoloso \(C=(0;\ln 2)\) e l'asse \(x\). Calcola base e altezza del triangolo.
Il grafico di \(h(x)=f(-|x|)\) si ottiene dal grafico di \(f(x)\) con due trasformazioni:
1. Riflessione rispetto all'asse \(y\): \(y=f(x) \to y=f(-x)\)
2. Trasformazione \(y=f(-x) \to y=f(-|x|)=h(x)\)
Si prende la parte del grafico di \(f(-x)\) per \(x \ge 0\) e la si ribalta simmetricamente per \(x < 0\).
Per la simmetria di \(h(x)\) rispetto all'asse \(y\):
\[ A = 2\int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx \]Dal punto 3 sappiamo che \(f(x) < e^x\) per ogni \(x\), quindi:
\[ \int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx < \int_{-\infty}^{0} e^x\,dx = \lim_{k \to -\infty}[e^x]_{k}^{0} = \lim_{k \to -\infty}(1-e^k) = 1 \]Quindi \(\int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx < 1\), da cui \(A = 2\int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx < 2\). ✓
Determinazione di \(S\):
Consideriamo il triangolo \(ABC\) formato dalle semi-tangenti al grafico di \(h(x)\) nel punto angoloso \(C=(0;\ln 2)\) e l'asse \(x\).
Per \(x < 0\): \(h(x) = f(x) = \ln(e^x+1)\), con \(h'(0^-) = \frac{e^0}{e^0+1} = \frac{1}{2}\).
La semi-tangente sinistra: \(y - \ln 2 = \frac{1}{2}x\), che interseca l'asse \(x\) in \(A = (-2\ln 2,\ 0)\).
Per \(x > 0\): \(h(x) = f(-x) = \ln(e^{-x}+1)\), con \(h'(0^+) = \frac{-e^0}{e^0+1} = -\frac{1}{2}\).
La semi-tangente destra: \(y - \ln 2 = -\frac{1}{2}x\), che interseca l'asse \(x\) in \(B = (2\ln 2,\ 0)\).
Il triangolo \(ABC\) ha base \(AB = 4\ln 2\) e altezza \(\ln 2\), quindi:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4\ln 2 \cdot \ln 2 = 2\ln^2 2 \approx 2 \cdot (0{,}6931)^2 \approx 0{,}96 \]
Il numero reale \(S\) (quanto più grande possibile) tale che \(A > S\) è \(S = 2\ln^2 2 \approx 0{,}96\).
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