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Argomenti: geometria analitica, circonferenze, probabilità, integrali con formula di ricorrenza,
geometria analitica dello spazio, massimi e minimi, continuità e derivabilità, aree e volumi con integrali, tetraedro.
Tre circonferenze di raggio 1 sono tangenti esternamente una all'altra. Qual è l'area della regione interna che esse delimitano?
💡 Suggerimento 1
Considera il triangolo formato dai tre centri delle circonferenze. Che tipo di triangolo è? La distanza tra due centri di circonferenze tangenti esternamente è uguale alla somma dei raggi.
💡 Suggerimento 2
Il triangolo dei centri è equilatero di lato 2. La regione interna si ottiene sottraendo allarea del triangolo larea di tre settori circolari di raggio 1 e ampiezza 60° ciascuno.
💡 Suggerimento 3
I tre settori da 60° equivalgono a un semicerchio di raggio 1, con area pari a \(\frac{\pi}{2}\). Larea del triangolo equilatero di lato 2 è \(\sqrt{3}\). Quindi larea cercata è \(\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}\).
Passo 1 — Il triangolo dei centri
Il triangolo ABC con vertici nei centri delle tre circonferenze è equilatero di lato 2, perché ogni lato congiunge due centri di circonferenze tangenti esternamente e passa per il punto di tangenza: la sua lunghezza è uguale alla somma dei due raggi, cioè \(1+1=2\).
I tre settori circolari interni al triangolo hanno raggio 1 e ampiezza 60° ciascuno (angoli del triangolo equilatero). Insieme equivalgono a un semicerchio di raggio 1:
In un'urna ci sono 20 biglie, ognuna delle quali è rossa o nera. Stabilire quante sono quelle nere, sapendo che estraendo 2 biglie senza riporre la prima estratta, la probabilità di estrarre almeno una biglia nera è 27/38.
💡 Suggerimento 1
Usa la probabilità dell'evento complementare: la probabilità di estrarre almeno una nera è uguale a 1 meno la probabilità di estrarre tutte rosse. Se ci sono N biglie nere, quelle rosse sono 20 meno N.
💡 Suggerimento 2
Calcola la probabilità di estrarre due biglie rosse senza reinserimento: \(P(RR) = \frac{(20-N)(19-N)}{20 \times 19}\). Imponi che \(1 - P(RR) = \frac{27}{38}\), quindi \(P(RR) = \frac{11}{38}\).
💡 Suggerimento 3
Si ottiene lequazione \((20-N)(19-N) = 110\), cioè \(N^2 - 39N + 270 = 0\). Le soluzioni sono \(N=9\) e \(N=30\). Solo \(N=9\) è accettabile perché non può esserci un numero di biglie nere superiore al totale.
Passo 1 — Evento complementare
Dette \(N\) le biglie nere, le biglie rosse sono \(20-N\). Usiamo l'evento complementare:
\[P(\text{almeno una nera}) = 1 - P(RR) = \frac{27}{38}\]
Le soluzioni sono \(N_1 = 9\) e \(N_2 = 30\). Poiché il totale è 20, \(N_2 = 30\) non è accettabile.
Le biglie nere sono 9.
Quesito 3 — Integrali: formula di ricorrenza
Posto, per \(n \in \mathbb{N}\), \(I_n = \int_0^1 x^n e^x \, dx\), stabilire il valore di \(I_0\) e dimostrare che, per ogni \(n \in \mathbb{N}\), si ha \(I_n = e - n \, I_{n-1}\).
💡 Suggerimento 1
Per \(I_0\): sostituisci \(n=0\) nella definizione. L'integrale diventa \(\int_0^1 e^x \, dx\), che si calcola direttamente.
💡 Suggerimento 2
Per la formula di ricorrenza, usa l'integrazione per parti scegliendo \(u = x^n\) e \(dv = e^x dx\). Ricorda che \(du = nx^{n-1}dx\) e \(v = e^x\).
💡 Suggerimento 3
Dopo l'integrazione per parti ottieni \(\left[x^n e^x\right]_0^1 - n \int_0^1 x^{n-1} e^x dx\). Il primo termine vale \(e\), il secondo è proprio \(n \cdot I_{n-1}\). La formula è dimostrata.
\[I_n = \left(1^n \cdot e - 0^n \cdot e^0\right) - n \int_0^1 x^{n-1} e^x \, dx = e - n \, I_{n-1}\]
\(I_0 = e - 1\) e \(I_n = e - n \, I_{n-1}\) per ogni \(n \in \mathbb{N}\). ∎
Quesito 4 — Geometria dello spazio: sfere tangenti a un piano
Si considerino nello spazio il punto \(P(1,2,-1)\) ed il piano \(\alpha\) di equazione \(x - 2y + z + 4 = 0\).
a) Verificare che \(P \in \alpha\).
b) Determinare le equazioni delle superfici sferiche di raggio 6 che sono tangenti ad \(\alpha\) in P.
💡 Suggerimento 1
Per il punto a): sostituisci le coordinate di P nell'equazione del piano e verifica che il risultato sia 0.
💡 Suggerimento 2
Per il punto b): i centri delle sfere cercate stanno sulla retta perpendicolare ad alfa passante per P. La direzione di questa retta è data dai coefficienti \((1, -2, 1)\) dellequazione del piano. Scrivi le equazioni parametriche della retta.
💡 Suggerimento 3
Il centro generico sulla retta è \(C = (1+t,\; 2-2t,\; -1+t)\). Imponi che la distanza \(CP = 6\), cioè \(CP^2 = 36\). Calcola \(t^2 + 4t^2 + t^2 = 36\) e trova i due valori di t.
Passo 1 — Verifica che P appartiene ad alfa
Sostituiamo le coordinate di \(P(1,2,-1)\) nell'equazione del piano:
I centri delle sfere richieste appartengono alla retta \(n\) perpendicolare al piano \(\alpha\) e passante per \(P\). I parametri direttori della retta \(n\) sono i coefficienti dei termini \(x, y, z\) dell'equazione del piano, cioè \((1, -2, 1)\).
\[\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - 2t \\ z = -1 + t \end{cases}\]
Passo 3 — Determinazione dei centri
Il centro generico è \(C = (1+t,\; 2-2t,\; -1+t)\). Imponendo \(CP = 6\):
Determinarne minimi, massimi ed eventuali asintoti.
💡 Suggerimento 1
Elimina il valore assoluto separando i casi \(x \ge 1\) (dove \(x^3-1 \ge 0\)) e \(x < 1\) (dove \(x^3-1 < 0\)). Per gli asintoti, calcola i limiti per \(x \to \pm\infty\): l'esponenziale domina sempre il polinomio.
💡 Suggerimento 2
Per \(x > 1\): \(f(x) = x \cdot e^{1-x^3}\), quindi \(f'(x) = e^{1-x^3}(1-3x^3)\). Per \(x > 1\) questo è sempre negativo: la funzione è decrescente. Per \(x < 1\): \(f'(x) = e^{x^3-1}(1+3x^3)\), che si annulla in \(x = -\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\).
💡 Suggerimento 3
In \(x=1\) la derivata sinistra vale 4 e quella destra vale meno 2: è un punto angoloso con massimo relativo. In \(x = -\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\) c'è un minimo relativo. L'asintoto orizzontale è \(ipsilon = 0\) per \(x \to \pm\infty\).
Passo 1 — Asintoti
La funzione è continua su tutto \(\mathbb{R}\), quindi non ci sono asintoti verticali.
\[\lim_{x \to +\infty} x \cdot e^{-(x^3-1)} = 0 \qquad \lim_{x \to -\infty} x \cdot e^{x^3-1} = 0\]
L'asintoto orizzontale è \(y = 0\) sia per \(x \to +\infty\) che per \(x \to -\infty\). Non esistono asintoti obliqui.
Passo 2 — Funzione a tratti
\[f(x) = \begin{cases} x \cdot e^{1-x^3} & \text{se } x \ge 1 \\ x \cdot e^{x^3-1} & \text{se } x < 1 \end{cases}\]
Dato che \(x > 1\), \(1-3x^3\) sarà sempre negativo (ad esempio, per \(x=2\), \(1-3(8) = -23 < 0\)).
Quindi, per \(x > 1\), \(f'(x) < 0\), e la funzione è decrescente.
a) Dimostrare che, qualunque sia \(k > 0\), la funzione \(f\) è continua ma non ovunque derivabile.
b) Per quali valori di \(k\) le tangenti destra e sinistra nel punto di non derivabilità formano un angolo acuto \(\gamma\) tale che \(\tan \gamma = 3\)?
💡 Suggerimento 1
Per il punto a): studia continuità e derivabilità solo in \(x=1\), perché altrove la funzione è chiaramente continua e derivabile. Confronta il limite sinistro e destro in \(x=1\).
💡 Suggerimento 2
Le derivate sono \(f'(x) = k\) per \(x < 1\) e \(f'(x) = -\frac{2k}{x^3}\) per \(x > 1\). In \(x=1\) la derivata sinistra è \(k\) e quella destra è \(-2k\). Dato che \(k > 0\), le due derivate sono diverse.
💡 Suggerimento 3
Per il punto b), usa la formula \(\tan\gamma = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right| = \left|\frac{3k}{1-2k^2}\right| = 3\) e risolvi per \(k > 0\). Ottieni due casi: \(k = \frac{1}{2}\) e \(k = 1\).
Passo 1 — Continuità in \(x=1\)
\(f(1) = k\), \(\lim_{x \to 1^-} kx = k\), \(\lim_{x \to 1^+} \frac{k}{x^2} = k\). I tre valori coincidono:
La funzione è continua in \(x=1\) per ogni \(k > 0\).
Passo 2 — Derivabilità in \(x=1\)
Derivata per \(0 \le x < 1\): \(f'(x) = k\)
Derivata per \(x > 1\): \(f'(x) = -\dfrac{2k}{x^3}\)
In \(x=1\): derivata sinistra \(= k\), derivata destra \(= -2k\).
Poiché \(k > 0\), si ha \(k \neq -2k\), quindi le derivate sono diverse:
La funzione non è derivabile in \(x=1\) per ogni \(k > 0\).
Passo 3 — Angolo tra le tangenti
Con \(m_1 = k\) e \(m_2 = -2k\), la formula per langolo tra due rette è:
L'architetto rappresenta la superficie libera dell'acqua nella piscina con la regione \(R\) delimitata dai grafici di \(f\) e di \(g\) sull'intervallo \([0;\, 4]\).
Dopo aver rappresentato qualitativamente le due funzioni, si chiede:
a) L'area della regione \(R\).
b) Sapendo che in ogni punto di \(R\) a distanza \(x\) dall'asse \(y\), la profondità dell'acqua è \(h(x) = 5 - x\), quale sarà il volume d'acqua nella piscina?
💡 Suggerimento 1
Su \([0,4]\), \(f(x) = x^3 - 16x \le 0\) e \(g(x) = \sin(\frac{\pi}{2}x) \ge 0\), quindi \(g(x) \ge f(x)\). L'area è \(\int_0^4 (g(x) - f(x))\,dx\).
💡 Suggerimento 2
Calcola i due integrali separatamente. L'integrale del seno da 0 a 4 vale 0 (un ciclo completo). L'integrale di \(x^3 - 16x\) da 0 a 4 vale \(-64\). Quindi larea è \(0 - (-64) = 64\).
💡 Suggerimento 3
Per il volume: \(V = \int_0^4 (g(x)-f(x))(5-x)\,dx\). Separa la parte polinomiale dalla parte sinusoidale. Per \(\int_0^4 x\sin(\frac{\pi}{2}x)\,dx\) usa l'integrazione per parti con \(u=x\) e \(dv = \sin(\frac{\pi}{2}x)dx\).
Passo 1 — Studio qualitativo di \(f(x) = x^3 - 16x\)
Funzione cubica, dispari (\(f(-x) = -f(x)\)). Zeri: \(x(x-4)(x+4) = 0\) → \(x = 0,\, \pm 4\). Su \([0,4]\) la funzione è negativa (o nulla agli estremi).
Grafico di \(f(x) = x^3 - 16x\)
Passo 2 — Studio qualitativo di \(g(x) = \sin\!\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)
Funzione sinusoidale con periodo \(T = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4\). Su \([0,4]\) compie un ciclo completo: è positiva su \((0,2),\) negativa su \((2,4)\).
Grafico di \(g(x) = \sin\!\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)
Passo 3 — Regione R
La regione R tra i grafici di \(f\) e \(g\) su \([0,4]\)
Parte sinusoidale — si usa lintegrazione per parti su \(\int_0^4 x\sin\!\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx\) con \(u=x\) e \(dv=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx\):
Nello spazio tridimensionale \(Oxyz\) si consideri il tetraedro di vertici \(O=(0,0,0)\), \(A=(1,0,0)\), \(B=(0,1,0)\) e \(C=(0,0,1)\).
a) Si calcolino la superficie totale ed il volume del tetraedro.
b) Si calcoli l'angolo in gradi che la faccia \(ABC\) forma con la base \(OAB\).
💡 Suggerimento 1
Le tre facce che contengono O (cioè OAB, OAC, OBC) sono triangoli rettangoli con i cateti sugli assi coordinati, ognuno di lunghezza 1. La loro area è \(\frac{1}{2}\) ciascuna.
💡 Suggerimento 2
La faccia ABC ha tutti i lati di lunghezza \(\sqrt{2}\) (verificalo calcolando le distanze tra i vertici): è un triangolo equilatero. Per il volume, usa la formula \(V = \frac{1}{3} \cdot \text{Area base} \cdot \text{altezza}\) con base OAB e altezza uguale alla coordinata z di C.
💡 Suggerimento 3
Per l'angolo diedro tra ABC e OAB: considera il punto medio M di AB. Sia OAB che ABC sono triangoli isosceli su AB, quindi l'altezza da O e quella da C passano entrambe per M. L'angolo cercato è l'angolo OMC nel triangolo rettangolo in O.
Passo 1 — Le quattro facce
Il tetraedro OABC con vertici sugli assi coordinati
Le tre facce con vertice in O sono triangoli rettangoli con cateti di lunghezza 1:
