Questionario – Simulazione 16

Quesito 1

Un ufficiale della guardia di finanza, in servizio lungo un tratto rettilineo di costa, avvista una motobarca di contrabbandieri che dirige in linea retta, perpendicolarmente alla costa, verso un vecchio faro abbandonato. L'angolo \(\alpha\) tra la direzione della costa e il raggio visivo dell'ufficiale che guarda la motobarca è di 34,6°; il natante si trova a 6 miglia marine dal faro e si muove con una velocità di 18 nodi (miglia marine all'ora). L'ufficiale ordina di salire immediatamente in macchina, in modo da raggiungere il faro, percorrendo una strada parallela alla spiaggia, 10 minuti prima che vi approdino i contrabbandieri, per coglierli con le mani nel sacco. A che velocità media, in km/h, deve muoversi l'automezzo della guardia di finanza per arrivare nei tempi previsti? (Un miglio marino = 1853,182 m).

Quesito 1. Un ufficiale della guardia di finanza, in servizio lungo un tratto rettilineo di costa, avvista una motobarca di contrabbandieri che dirige in linea retta, perpendicolarmente alla costa, verso un vecchio faro abbandonato. L'angolo alfa tra la direzione della costa e il raggio visivo dell'ufficiale è di 34 virgola 6 gradi; il natante si trova a 6 miglia marine dal faro e si muove con una velocità di 18 nodi, cioè 18 miglia marine all'ora. L'ufficiale deve raggiungere il faro, percorrendo una strada parallela alla spiaggia, 10 minuti prima che vi arrivino i contrabbandieri. A che velocità media, in chilometri all'ora, deve muoversi l'automezzo? Un miglio marino equivale a 1853 virgola 182 metri.

Soluzione del Quesito 1

Schema geometrico: triangolo rettangolo ABC con la costa (AC), la rotta perpendicolare della motobarca (BC) e il raggio visivo dell'ufficiale (AB)

Triangolo rettangolo: \(A\) = posizione dell'ufficiale, \(C\) = faro, \(B\) = posizione della motobarca.

Passo 1 — Tempo a disposizione dei contrabbandieri

La velocità della motobarca è \(v = 18\) miglia/h. La distanza dal faro è \(BC = 6\) miglia. Il tempo impiegato dai contrabbandieri per raggiungere il faro è:

\[t_m = \frac{BC}{v} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\text{ h} = 20\text{ minuti}\]

Passo 2 — Tempo a disposizione dell'automezzo

L'automezzo deve arrivare 10 minuti prima dei contrabbandieri, quindi ha a disposizione:

\[t_a = 20\text{ min} - 10\text{ min} = 10\text{ minuti} = \frac{1}{6}\text{ h}\]

Passo 3 — Distanza stradale \(AC\)

Nel triangolo rettangolo \(ABC\) (con angolo retto in \(C\)), l'angolo in \(A\) è \(\alpha = 34{,}6°\). Dalla trigonometria:

\[AC = \frac{BC}{\tan\alpha} = \frac{6}{\tan(34{,}6°)} \approx \frac{6}{0{,}690} \approx 8{,}696\text{ miglia}\]

Passo 4 — Velocità media richiesta

La velocità in miglia all'ora è:

\[v_a = \frac{AC}{t_a} = \frac{8{,}696}{\frac{1}{6}} \approx 52{,}18\text{ miglia/h}\]

Convertiamo in km/h usando il fattore di conversione dato (1 miglio marino = 1,853182 km):

\[v_a = 52{,}18 \times 1{,}853182 \approx 96{,}69\text{ km/h}\]

✓ L'automezzo deve viaggiare a una velocità media di circa 96,7 km/h.

Quesito 2

Si calcoli il limite della funzione \((1+x^{2})^{\frac{1}{\sin^{2}x}}\), quando \(x\) tende a 0.

Quesito 2. Si calcoli il limite, per ics che tende a zero, della funzione: aperta parentesi, 1 più ics al quadrato, chiusa parentesi, elevata alla potenza 1 fratto seno al quadrato di ics.

Soluzione del Quesito 2

Forma indeterminata

Per \(x \to 0\): la base \((1 + x^2) \to 1\) e l'esponente \(\dfrac{1}{\sin^2 x} \to +\infty\). Si tratta della forma indeterminata \(1^{+\infty}\).

Strategia: scomponiamo l'esponente

Moltiplichiamo e dividiamo l'esponente per \(x^2\):

\[\lim_{x\to 0} (1+x^{2})^{\frac{1}{\sin^{2}x}} = \lim_{x\to 0} \left[ (1+x^{2})^{\frac{1}{x^2}} \right]^{\frac{x^2}{\sin^{2}x}}\]

Calcoliamo separatamente i due fattori

Base interna: ponendo \(f(x) = x^2\), riconosciamo il limite notevole del numero di Nepero: \[\lim_{x\to 0}(1+x^2)^{\frac{1}{x^2}} = e\]
Esponente esterno: dal limite notevole \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\) si ricava: \[\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\sin^2 x} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}\right)^2 = 1^2 = 1\]

Risultato finale

Componendo i due limiti:

\[\lim_{x\to 0} \left[ (1+x^{2})^{\frac{1}{x^2}} \right]^{\frac{x^2}{\sin^{2}x}} = e^1 = e\]

✓ \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x^{2})^{\frac{1}{\sin^{2}x}} = e\)

Quesito 3

Nel triangolo \(ABC\) l'angolo in \(B\) misura \(\dfrac{\pi}{6}\) e quello in \(C\) misura \(x\). Si determini l'angolo \(x\) in modo che, detta \(H\) la proiezione ortogonale di \(A\) sulla retta \(BC\), la quantità \(\dfrac{BC+HC}{AC}\) risulti massima.

Quesito 3. Nel triangolo A B C l'angolo in B misura pi greco fratto 6 e quello in C misura ics. Si determini l'angolo ics in modo che, detta acca la proiezione ortogonale di A sulla retta B C, la quantità: B C più acca C, il tutto fratto A C, risulti massima.

Soluzione del Quesito 3

Triangolo ABC con altezza AH abbassata da A sulla retta BC, con H tra B e C

Il triangolo \(ABC\) con l'altezza \(AH\) abbassata dal vertice \(A\).

Passo 1 — Espressione dei lati in funzione di \(x\)

Poniamo \(AB = c > 0\) come parametro lineare. Dall'angolo retto in \(H\):

Nel triangolo rettangolo \(ABH\) (angolo in \(B = \pi/6\)):

\[AH = c\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{c}{2}, \qquad BH = c\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{c\sqrt{3}}{2}\]

Nel triangolo rettangolo \(ACH\) (angolo in \(C = x\)):

\[AC = \frac{AH}{\sin x} = \frac{c}{2\sin x}, \qquad HC = \frac{AH}{\tan x} = \frac{c\cos x}{2\sin x}\]

Passo 2 — Espressione del rapporto da massimizzare

La base è \(BC = BH + HC = \dfrac{c\sqrt{3}}{2} + \dfrac{c\cos x}{2\sin x}\). Sostituiamo:

\[y = \frac{BC + HC}{AC} = \frac{\dfrac{c\sqrt{3}}{2} + \dfrac{c\cos x}{2\sin x} + \dfrac{c\cos x}{2\sin x}}{\dfrac{c}{2\sin x}} = \sqrt{3}\sin x + 2\cos x\]

Passo 3 — Massimizzazione con l'angolo ausiliario

Scriviamo \(y = A\sin(x + \alpha)\) con:

\[A = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{7}\] \[\tan\alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \implies \alpha = \arctan\!\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \approx 0{,}857\text{ rad}\]

Il massimo si raggiunge per \(\sin(x + \alpha) = 1\), cioè:

\[x + \alpha = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{2} - \arctan\!\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \approx 0{,}714\text{ rad}\]

✓ L'angolo cercato è \(x \approx 0{,}714\text{ rad} \approx 40{,}9°\).

Quesito 4

Nello spazio tridimensionale, riferito a un sistema di assi cartesiani \(Oxyz\), sono date le due rette \(r\) e \(s\):

\(r\) passante per il punto \(P(1, 0, 2)\) e parallela al vettore \(\vec{v}_r = (1, -1, 2)\);
\(s\) espressa come intersezione dei piani di equazione \(x - z + 1 = 0\) e \(y + 2z - 3 = 0\).

Si verifichi che le due rette sono sghembe, si determini la distanza minima tra di esse e si scriva l'equazione cartesiana del piano parallelo a entrambe le rette ed equidistante da esse.

Quesito 4. Nello spazio tridimensionale con assi cartesiani O ics ipsilon zeta sono date due rette erre ed esse. La retta erre passa per il punto P di coordinate 1, 0, 2 ed è parallela al vettore v erre di componenti 1, meno 1, 2. La retta esse è l'intersezione dei piani: ics meno zeta più 1 uguale 0, e ipsilon più 2 zeta meno 3 uguale 0. Si verifichi che le due rette sono sghembe, si trovi la distanza minima tra di esse e si scriva l'equazione del piano parallelo a entrambe ed equidistante da esse.

Soluzione del Quesito 4

Parte 1 — Le rette sono sghembe

Ricaviamo le equazioni parametriche di \(s\) ponendo \(z = u\):

\[\begin{cases} x = -1 + u \\ y = 3 - 2u \\ z = u \end{cases}\]

Il vettore direttore di \(s\) è \(\vec{v}_s = (1, -2, 1)\). Poiché \(\vec{v}_r = (1,-1,2)\) e \(\vec{v}_s = (1,-2,1)\) non sono proporzionali, le rette non sono parallele.

Verifichiamo se si intersecano imponendo il sistema (con parametro \(t\) per \(r\) e \(u\) per \(s\)):

\[\begin{cases} 1+t = -1+u \\ -t = 3-2u \\ 2+2t = u \end{cases}\]

Dalla prima e dalla terza equazione si ricava \(t = 0\) e \(u = 2\). Sostituendo nella seconda (equazione di controllo):

\[-(0) = 3 - 2(2) \implies 0 = -1 \quad \text{(impossibile)}\]

Il sistema è incompatibile: le rette non si intersecano. Non essendo parallele né incidenti, sono sghembe.

Parte 2 — Distanza minima

Indichiamo con \(A\) il punto generico di \(r\) e \(B\) il punto generico di \(s\):

\[A = (1+t,\; -t,\; 2+2t), \qquad B = (-1+u,\; 3-2u,\; u)\]

Il vettore \(\vec{AB} = (-2+u-t,\; 3-2u+t,\; -2+u-2t)\) deve essere perpendicolare a entrambe le rette. Imponiamo \(\vec{AB} \cdot \vec{v}_r = 0\) e \(\vec{AB} \cdot \vec{v}_s = 0\):

\[\begin{cases} 6t - 5u = -9 \\ 5t - 6u = -10 \end{cases}\]

Risolvendo (moltiplichiamo la prima per 5 e la seconda per 6 e sottraiamo):

\[11u = 15 \implies u = \frac{15}{11}, \quad t = -\frac{4}{11}\]

Le componenti di \(\vec{AB}\) risultano:

\[\vec{AB} = \left(-\frac{3}{11},\; -\frac{1}{11},\; \frac{1}{11}\right)\]

La distanza minima è il modulo di \(\vec{AB}\):

\[d(r,s) = |\vec{AB}| = \sqrt{\frac{9+1+1}{121}} = \frac{\sqrt{11}}{11}\]

Rappresentazione delle rette \(r\) ed \(s\):

Parte 3 — Piano equidistante

Il piano ha vettore normale \(\vec{n} = (3,\; 1,\; -1)\) (proporzionale a \(\vec{AB}\) moltiplicato per \(-11\)) e passa per il punto medio \(M\) del segmento \(AB\):

\[A = \left(\frac{7}{11},\, \frac{4}{11},\, \frac{14}{11}\right), \quad B = \left(\frac{4}{11},\, \frac{3}{11},\, \frac{15}{11}\right), \quad M = \left(\frac{1}{2},\, \frac{7}{22},\, \frac{29}{22}\right)\]

L'equazione del piano è:

\[3\left(x-\frac{1}{2}\right) + \left(y-\frac{7}{22}\right) - \left(z-\frac{29}{22}\right) = 0\]

Semplificando i termini noti e moltiplicando per 2:

✓ Distanza minima: \(d = \dfrac{\sqrt{11}}{11}\).
Piano equidistante: \(6x + 2y - 2z - 1 = 0\).

Quesito 5

La superficie piana \(S\), delimitata dalla curva \(\gamma\) di equazione \(y = \ln x\) e dall'asse \(x\) nell'intervallo \(1 \le x \le e\), è la base di un solido \(\Sigma\), le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all'asse \(x\), sono tutte rettangoli aventi l'altezza quadrupla della base. Si calcoli il volume di \(\Sigma\).

Quesito 5. La superficie piana esse, delimitata dalla curva gamma di equazione ipsilon uguale logaritmo naturale di ics, e dall'asse ics nell'intervallo da 1 a e di Nepero, è la base di un solido sigma. Le sezioni di sigma, ottenute con piani perpendicolari all'asse ics, sono tutte rettangoli aventi l'altezza quadrupla della base. Si calcoli il volume di sigma.

Soluzione del Quesito 5

La regione di base \(S\) sotto la curva \(y = \ln x\).

Passo 1 — Area della sezione generica

Ad una generica ascissa \(x \in [1, e]\), la sezione rettangolare ha:

base \(b = \ln x\) (l'ordinata della curva)
altezza \(h = 4\ln x\) (il quadruplo della base)

Quindi l'area della sezione è:

\[A(x) = b \cdot h = \ln x \cdot 4\ln x = 4\ln^2 x\]

Passo 2 — Integrale del volume

Per il principio di Cavalieri:

\[V(\Sigma) = \int_{1}^{e} A(x)\,dx = 4\int_{1}^{e} \ln^2 x\,dx\]

Passo 3 — Calcolo dell'integrale per parti

Prima integrazione per parti (\(u = \ln^2 x\), \(dv = dx\)):

\[\int \ln^2 x\,dx = x\ln^2 x - 2\int \ln x\,dx\]

Seconda integrazione per parti (\(\int \ln x\,dx = x\ln x - x\)):

\[\int \ln^2 x\,dx = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + c\]

Passo 4 — Calcolo dell'integrale definito

\[V(\Sigma) = 4\Bigl[x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x\Bigr]_{1}^{e}\] \[= 4\Bigl[(e\cdot 1 - 2e\cdot 1 + 2e) - (1\cdot 0 - 0 + 2)\Bigr]\] \[= 4\Bigl[(e - 2e + 2e) - 2\Bigr] = 4(e - 2)\]

✓ \(V(\Sigma) = 4(e-2)\text{ u}^3 \approx 2{,}873\text{ u}^3\).

Quesito 6

Tenuto conto che \(\ln 3 = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1+\tan^2 x}{\tan x}\,dx\), si calcoli un'approssimazione di \(\ln 3\), utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.

Quesito 6. Tenuto conto che il logaritmo naturale di 3 è uguale all'integrale da pi greco sesto a pi greco terzo della funzione: 1 più tangente quadrata di ics, fratto tangente di ics, si calcoli un'approssimazione di logaritmo di 3 usando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.

Soluzione del Quesito 6

Metodo scelto: regola dei trapezi con \(n = 5\) sottointervalli

La funzione integranda è \(f(x) = \dfrac{1+\tan^2 x}{\tan x}\). Dividiamo l'intervallo \(\bigl[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}\bigr]\) in \(n = 5\) parti uguali. Il passo di ampiezza \(h\) è:

\[h = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}}{5} = \frac{\frac{\pi}{6}}{5} = \frac{\pi}{30}\]

Nodi di calcolo

I sei nodi della suddivisione dell'intervallo.

\(x_0 = \dfrac{\pi}{6}\)
\(x_1 = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{30} = \dfrac{\pi}{5}\)
\(x_2 = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{30} = \dfrac{7\pi}{30}\)
\(x_3 = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{3\pi}{30} = \dfrac{4\pi}{15}\)
\(x_4 = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{30} = \dfrac{3\pi}{10}\)
\(x_5 = \dfrac{\pi}{3}\)

Formula dei trapezi e calcolo

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx h\left[\frac{f(x_0)+f(x_5)}{2} + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4)\right]\] \[\ln 3 \approx \frac{\pi}{30}\left[\frac{2{,}3094 + 2{,}3094}{2} + 2{,}1029 + 2{,}0111 + 2{,}0111 + 2{,}1029\right]\] \[\ln 3 \approx \frac{\pi}{30}\cdot[2{,}3094 + 8{,}2280] = \frac{\pi}{30}\cdot 10{,}5374 \approx 1{,}103\]

✓ \(\ln 3 \approx 1{,}103\) (valore esatto: \(\ln 3 \approx 1{,}0986\)).

Quesito 7

Un cono equilatero di piombo (densità \(\rho = 11{,}34\text{ g/cm}^{3}\)), avente il raggio \(r = 5\text{ cm}\), presenta all'interno una cavità di forma irregolare ed ha la massa \(m = 2\text{ kg}\). Si scelga a caso un punto all'interno del cono. Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla cavità.

Quesito 7. Un cono equilatero di piombo, con densità ro uguale a 11 virgola 34 grammi per centimetro cubo, avente raggio erre uguale a 5 centimetri, presenta all'interno una cavità di forma irregolare e ha massa emme uguale a 2 chilogrammi. Si sceglie a caso un punto all'interno del cono. Qual è la probabilità che tale punto sia esterno alla cavità?

Soluzione del Quesito 7

Sezione del cono equilatero.

Passo 1 — Dimensioni del cono equilatero

In un cono equilatero l'apotema è uguale al diametro della base (\(a = 2r = 10\text{ cm}\)). L'altezza è quella di un triangolo equilatero di lato \(2r\):

\[h = r\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\text{ cm}\]

Passo 2 — Volume del cono pieno

\[V_{\text{pieno}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi\cdot 25\cdot 5\sqrt{3} = \frac{125\sqrt{3}}{3}\pi \approx 226{,}725\text{ cm}^3\]

Passo 3 — Volume della cavità

Massa teorica del cono senza cavità:

\[m_{\text{pieno}} = \rho\cdot V_{\text{pieno}} = 11{,}34\cdot 226{,}725 \approx 2571\text{ g} = 2{,}571\text{ kg}\]

Massa del piombo mancante (la cavità):

\[m_{\text{cav}} = 2{,}571 - 2{,}000 = 0{,}571\text{ kg} = 571\text{ g}\]

Volume della cavità:

\[V_{\text{cav}} = \frac{m_{\text{cav}}}{\rho} = \frac{571}{11{,}34} \approx 50{,}353\text{ cm}^3\]

Passo 4 — Probabilità geometrica

Un punto scelto a caso è esterno alla cavità se cade nella parte piena del cono. La probabilità è il rapporto tra i volumi:

\[p = \frac{V_{\text{pieno}} - V_{\text{cav}}}{V_{\text{pieno}}} = \frac{226{,}725 - 50{,}353}{226{,}725} \approx 0{,}778\]

✓ La probabilità che il punto sia esterno alla cavità è circa \(p \approx 0{,}778 = 77{,}8\%\).

Quesito 8

Un missile ha la probabilità \(\dfrac{3}{10}\) di colpire un bersaglio. Quanti missili si debbono lanciare perché la probabilità di colpire il bersaglio almeno una volta sia maggiore dell'80%?

Quesito 8. Un missile ha la probabilità 3 decimi di colpire un bersaglio. Quanti missili si devono lanciare perché la probabilità di colpire il bersaglio almeno una volta sia maggiore dell'80 per cento?

Soluzione del Quesito 8

Passo 1 — Probabilità complementare

La probabilità di colpire con un singolo lancio è \(p = 0{,}3\). La probabilità di non colpire è \(q = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\).

Con \(n\) lanci indipendenti, la probabilità di non colpire mai è \((0{,}7)^n\). Quindi:

\[P(\text{almeno un centro}) = 1 - (0{,}7)^n\]

Passo 2 — Impostazione della disequazione

Vogliamo che questa probabilità superi l'80%:

\[1 - (0{,}7)^n > 0{,}80 \implies (0{,}7)^n < 0{,}20\]

Passo 3 — Soluzione con i logaritmi

Applichiamo il logaritmo naturale. Poiché \(\ln(0{,}7) < 0\), il verso della disequazione si inverte:

\[n\cdot\ln(0{,}7) < \ln(0{,}2) \implies n > \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}7)} \approx \frac{-1{,}6094}{-0{,}3567} \approx 4{,}51\]

Passo 4 — Risultato intero

Poiché \(n\) deve essere un numero intero (non si lanciano frazioni di missile), arrotondiamo per eccesso.

✓ Si devono lanciare almeno 5 missili.
Verifica: \(1 - (0{,}7)^5 \approx 1 - 0{,}168 = 0{,}832 = 83{,}2\% > 80\%\). ✓

Simulazione 16 – Questionario – Versione DSA – Esame di Stato 2026