Simulazione 16 - Questionario - Esame di Stato 2026

Svolgimento Quesito 1

La velocità della motobarca è \(v = 18\text{ miglia/h}\). Poiché la distanza dal faro (tratto \(BC\)) è pari a 6 miglia, il tempo \(t_m\) impiegato dai contrabbandieri per raggiungere la costa è:

$$t_m = \frac{BC}{v} = \frac{6\text{ miglia}}{18\text{ miglia/h}} = \frac{1}{3}\text{ h} = 20\text{ minuti}$$

L'automezzo della guardia di finanza deve arrivare al faro 10 minuti prima dei contrabbandieri, quindi il tempo a disposizione per compiere il tragitto stradale \(AC\) è:

$$t_a = 20\text{ minuti} - 10\text{ minuti} = 10\text{ minuti} = \frac{1}{6}\text{ h}$$

Sfruttando le proprietà dei triangoli rettangoli sul triangolo \(ABC\), calcoliamo la distanza \(AC\):

$$AC = \frac{BC}{\tan\alpha} = \frac{6}{\tan(34,6^\circ)} \approx \frac{6}{0,690} \approx 8,696\text{ miglia}$$

La velocità media richiesta in miglia all'ora è:

$$v_a = \frac{AC}{t_a} = \frac{8,696\text{ miglia}}{\frac{1}{6}\text{ h}} \approx 52,176\text{ miglia/h}$$

Convertiamo infine la velocità in km/h utilizzando il fattore di conversione fornito:

$$v_a = 52{,}176 \cdot 1{,}853182\text{ km/h} \approx 96{,}69\text{ km/h}$$

Svolgimento Quesito 2

Il limite si presenta nella forma indeterminata \(1^\infty\). Possiamo ricondurlo a una forma nota manipolando l'esponente tramite moltiplicazione e divisione per \(x^2\):

$$\lim_{x\to 0} (1+x^{2})^{\frac{1}{\sin^{2}x}} = \lim_{x\to 0} \left[ (1+x^{2})^{\frac{1}{x^2}} \right]^{\frac{x^2}{\sin^{2}x}}$$

Analizziamo separatamente le due componenti sfruttando i limiti notevoli:

1. Per il limite notevole del numero di Nepero, ponendo \(f(x)=x^2\), abbiamo che \(\lim_{x\to 0}(1+x^2)^{\frac{1}{x^2}} = e\).
2. Per l'esponente, ricordando il limite notevole della funzione sinusoide \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\), si deduce che il suo reciproco al quadrato tende ugualmente a 1: \(\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\sin^2 x} = 1\).

Di conseguenza, componendo i risultati otteniamo:

$$\lim_{x\to 0} \left[ (1+x^{2})^{\frac{1}{x^2}} \right]^{\frac{x^2}{\sin^{2}x}} = e^1 = e$$

Svolgimento Quesito 3

Sia \(AB = c\) un parametro lineare positivo. Consideriamo i vincoli geometrici sull'angolo \(x\): affinché il triangolo esista, deve valere la relazione \(0 < x < \frac{5}{6}\pi\).

Nel triangolo rettangolo \(ABH\), ricaviamo le lunghezze delle componenti:

$$AH = c \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{c}{2}$$ $$BH = c \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}c$$

Nel triangolo rettangolo \(ACH\), esprimiamo \(AC\) e \(HC\) in funzione di \(x\):

$$AC = \frac{AH}{\sin x} = \frac{c}{2\sin x}$$ $$HC = \frac{AH}{\tan x} = \frac{c\cdot \cos x}{2\sin x}$$

La base \(BC\) è data dalla somma dei due segmenti staccati dall'altezza: \(BC = BH + HC = \frac{\sqrt{3}}{2}c + \frac{c\cdot \cos x}{2\sin x}\).

Sostituiamo le espressioni trovate all'interno del rapporto da massimizzare:

$$y = \frac{BC+HC}{AC} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c + \frac{c\cdot \cos x}{2\sin x} + \frac{c\cdot \cos x}{2\sin x}}{\frac{c}{2\sin x}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c + \frac{c\cdot \cos x}{\sin x}}{\frac{c}{2\sin x}} = \sqrt{3}\sin x + 2\cos x$$

Per massimizzare la funzione lineare \(y = \sqrt{3}\sin x + 2\cos x\), utilizziamo il metodo dell'angolo ausiliario scrivendola nella forma \(y = A \sin(x+\alpha)\):

$$A = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{3+4} = \sqrt{7}$$ $$\tan\alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \implies \alpha = \arctan\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \approx 0,857\text{ rad}$$

La funzione ammette valore massimo assoluto quando la componente sinusoidale è pari a 1:

$$\sin(x+\alpha) = 1 \implies x + \alpha = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \approx 0,714\text{ rad}$$

L'angolo cercato è dunque \(x \approx 0,714\text{ rad}\) (pari a circa 40,89°), valore compatibile con l'intervallo di definizione.

Svolgimento Quesito 4

1. Verifica della natura delle rette

Ricaviamo le equazioni parametriche della retta \(s\) ponendo \(z = u\):

$$\begin{cases} x = -1 + u \\ y = 3 - 2u \\ z = u \end{cases}$$

Il vettore direttore di \(s\) è quindi \(\vec{v}_s(1, -2, 1)\). Poiché i vettori direttori \(\vec{v}_r(1, -1, 2)\) e \(\vec{v}_s(1, -2, 1)\) non hanno le componenti in proporzione, le rette non sono parallele.

Per verificare se le rette si intersecano, mettiamo a sistema le loro equazioni parametriche utilizzando due parametri distinti (\(t\) per la retta \(r\) e \(u\) per la retta \(s\))

$$\begin{cases} 1 + t = -1 + u \\ -t = 3 - 2u \\ 2 + 2t = u \end{cases}$$

Confrontiamo la prima e la terza equazione per determinare i valori dei parametri:

$$\begin{cases} u = t + 2 \\ u = 2t + 2 \end{cases} \implies t + 2 = 2t + 2 \implies t = 0 \implies u = 2$$

Sostituiamo ora i valori ottenuti (\(t = 0\) e \(u = 2\)) nella seconda equazione (la condizione di controllo):

$$-(0) = 3 - 2(2) \implies 0 = -1 \quad \text{(Impossibile)}$$

Poiché il sistema è incompatibile, le due rette non hanno alcun punto in comune e non sono incidenti. Non essendo né parallele né incidenti, le rette \(r\) e \(s\) sono quindi sghembe.

2. Calcolo della distanza minima tramite la perpendicolare comune

La distanza tra due rette sghembe è definita come la lunghezza del segmento perpendicolare a entrambe. Indichiamo con \( A \) il punto generico appartenente alla retta \( r \) e con \( B \) il punto generico della retta \( s \), espressi in funzione dei rispettivi parametri \( t \) e \( u \):

$$A(1 + t, \; -t, \; 2 + 2t)$$ $$B(-1 + u, \; 3 - 2u, \; u)$$

Il vettore congiungente \( \vec{AB} = B - A \) è descritto dalle coordinate:

$$\vec{AB} = (-2 + u - t, \; 3 - 2u + t, \; -2 + u - 2t)$$

Imponiamo che il vettore \( \vec{AB} \) sia ortogonale a entrambe le rette richiedendo che il prodotto scalare con i rispettivi vettori direttori \(\vec{v}_r(1, -1, 2)\) e \(\vec{v}_s(1, -2, 1)\) sia nullo:

• Perpendicolarità alla retta \( r \) (\( \vec{AB} \cdot \vec{v}_r = 0 \)): $$1(-2 + u - t) - 1(3 - 2u + t) + 2(-2 + u - 2t) = 0 \implies 6t - 5u + 9 = 0$$
• Perpendicolarità alla retta \( s \) (\( \vec{AB} \cdot \vec{v}_s = 0 \)): $$1(-2 + u - t) - 2(3 - 2u + t) + 1(-2 + u - 2t) = 0 \implies 5t - 6u + 10 = 0$$

Risolviamo il sistema lineare composto dalle due condizioni trovate:

$$\begin{cases} 6t - 5u = -9 \\ 5t - 6u = -10 \end{cases}$$

Moltiplicando la prima equazione per 5 e la seconda per 6, si ottiene per sottrazione il valore dei parametri:

$$\begin{cases} 30t - 25u = -45 \\ 30t - 36u = -60 \end{cases} \implies 11u = 15 \implies u = \frac{15}{11}, \; t = -\frac{4}{11}$$

Sostituendo i valori trovati (\(u = \frac{15}{11}\) e \(t = -\frac{4}{11}\)), calcoliamo separatamente le componenti del vettore \( \vec{AB} \) per ciascun asse:

$$AB_x = -2 + \frac{15}{11} - \left(-\frac{4}{11}\right) = -2 + \frac{19}{11} = -\frac{3}{11}$$ $$AB_y = 3 - 2\left(\frac{15}{11}\right) + \left(-\frac{4}{11}\right) = 3 - \frac{34}{11} = -\frac{1}{11}$$ $$AB_z = -2 + \frac{15}{11} - 2\left(-\frac{4}{11}\right) = -2 + \frac{23}{11} = \frac{1}{11}$$

Il vettore della perpendicolare comune è quindi:

$$\vec{AB} = \left(-\frac{3}{11}, \; -\frac{1}{11}, \; \frac{1}{11}\right)$$

La minima distanza coincide con il modulo del vettore \( \vec{AB} \):

$$d(r, s) = |\vec{AB}| = \sqrt{\left(-\frac{3}{11}\right)^2 + \left(-\frac{1}{11}\right)^2 + \left(\frac{1}{11}\right)^2} = \sqrt{\frac{9 + 1 + 1}{121}} = \frac{\sqrt{11}}{11}$$

Rappresentazione delle rette \(r\) ed \(s\):

3. Equazione del piano parallelo ed equidistante

Il piano richiesto, dovendo essere parallelo a entrambe le rette, deve avere come vettore normale una direzione perpendicolare a entrambe. Questa direzione coincide con quella del vettore \(\vec{AB}\) appena calcolato. Per linearità, possiamo moltiplicare le sue componenti per \(-11\) in modo da lavorare con un vettore normale più pratico:

$$\vec{n} = (3, \; 1, \; -1)$$

Essendo equidistante da entrambe le rette, il piano deve passare esattamente per il punto medio del segmento di minima distanza \(AB\). Determiniamo le coordinate dei punti di contatto \(A\) (su \(r\)) e \(B\) (su \(s\)) sostituendo i valori dei parametri trovati (\(t = -\frac{4}{11}\) e \(u = \frac{15}{11}\)):

$$A\left(1 - \frac{4}{11}, \; -\left(-\frac{4}{11}\right), \; 2 + 2\left(-\frac{4}{11}\right)\right) \implies A\left(\frac{7}{11}, \; \frac{4}{11}, \; \frac{14}{11}\right)$$ $$B\left(-1 + \frac{15}{11}, \; 3 - 2\left(\frac{15}{11}\right), \; \frac{15}{11}\right) \implies B\left(\frac{4}{11}, \; \frac{3}{11}, \; \frac{15}{11}\right)$$

Calcoliamo ora le coordinate del punto medio \(M\) del segmento \(AB\):

$$x_M = \frac{\frac{7}{11} + \frac{4}{11}}{2} = \frac{1}{2}$$ $$y_M = \frac{\frac{4}{11} + \frac{3}{11}}{2} = \frac{7}{22}$$ $$z_M = \frac{\frac{14}{11} + \frac{15}{11}}{2} = \frac{29}{22}$$ $$\implies M\left(\frac{1}{2}, \; \frac{7}{22}, \; \frac{29}{22}\right)$$

Scriviamo l'equazione del piano passante per \(M\) e perpendicolare a \(\vec{n}(3, 1, -1)\):

$$a(x - x_M) + b(y - y_M) + c(z - z_M) = 0$$ $$3\left(x - \frac{1}{2}\right) + 1\left(y - \frac{7}{22}\right) - 1\left(z - \frac{29}{22}\right) = 0$$ $$3x - \frac{3}{2} + y - \frac{7}{22} - z + \frac{29}{22} = 0$$

Semplificando i termini noti attraverso il minimo comune multiplo (\(-\frac{33}{22} - \frac{7}{22} + \frac{29}{22} = -\frac{11}{22} = -\frac{1}{2}\)), otteniamo:

$$3x + y - z - \frac{1}{2} = 0$$

Moltiplicando l'intera equazione per 2 per eliminare la frazione, arriviamo alla forma cartesiana finale:

$$6x + 2y - 2z - 1 = 0$$

Svolgimento Quesito 5

Per il principio di scomposizione dei solidi tramite sezioni parallele, il volume si calcola integrando l'area della sezione generica \(A(x)\) lungo l'intervallo dato:

$$V(\Sigma) = \int_{1}^{e} A(x) \, dx$$

La base del rettangolo della sezione ad una generica ascissa \(x\) è pari all'ordinata della curva, ossia \(b = \ln x\). L'altezza è il quadruplo della base, quindi \(h = 4\ln x\). L'area della sezione rettangolare è:

$$A(x) = b \cdot h = \ln x \cdot (4\ln x) = 4\ln^2 x$$

Risolviamo prima l'integrale indefinito di \(\ln^2 x\) procedendo per parti successive:

$$\int \ln^2 x \, dx = x\ln^2 x - \int x \cdot \left(2\ln x \cdot \frac{1}{x}\right) dx = x\ln^2 x - 2\int \ln x \, dx$$

Integrando nuovamente per parti il termine residuo \(\int \ln x \, dx = x\ln x - x\), otteniamo:

$$\int \ln^2 x \, dx = x\ln^2 x - 2(x\ln x - x) = x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x + c$$

Calcoliamo ora l'integrale definito inserendo gli estremi di integrazione:

$$V(\Sigma) = 4 \left[ x\ln^2 x - 2x\ln x + 2x \right]_{1}^{e} = 4 \Big[ (e\ln^2 e - 2e\ln e + 2e) - (1\ln^2 1 - 2(1)\ln 1 + 2(1)) \Big]$$ $$V(\Sigma) = 4 \Big[ (e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2) \Big] = 4(e - 2) \text{ u}^3 \approx 2,873\text{ u}^3$$

Svolgimento Quesito 6

Sia \(f(x) = \frac{1+\tan^2 x}{\tan x}\). Scegliamo di applicare il metodo dei trapezi dividendo l'intervallo \([\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}]\) in \(n = 5\) sottointervalli uguali. Il passo di ampiezza \(h\) è pari a:

$$h = \frac{b - a}{n} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}}{5} = \frac{\frac{\pi}{6}}{5} = \frac{\pi}{30}$$

Gli estremi dei 5 sottointervalli sono indicati nella seguente figura:

• \(x_0 = \frac{\pi}{6}\)
• \(x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{30} = \frac{\pi}{5}\)
• \(x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{30} = \frac{7}{30}\pi\)
• \(x_3 = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{30} = \frac{4}{15}\pi\)
• \(x_4 = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{30} = \frac{3}{10}\pi\)
• \(x_5 = \frac{\pi}{3}\)

La formula dei trapezi stabilisce che l'approssimazione dell'integrale è data da:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx h \cdot \left[ \frac{f(x_0) + f(x_5)}{2} + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) \right]$$

Sostituendo i singoli valori calcolati nella funzione integranda:

$$\ln 3 \approx \frac{\pi}{30} \cdot \left[ \frac{2,3094 + 2,3094}{2} + 2,1029 + 2,0111 + 2,0111 + 2,1029 \right]$$ $$\ln 3 \approx \frac{\pi}{30} \cdot [ 2,3094 + 8,2280 ] = \frac{\pi}{30} \cdot 10,5374 \approx 1,103$$

Il valore ottenuto approssima accuratamente il valore analitico reale (\(\ln 3 \approx 1,0986\)).

Svolgimento Quesito 7

Figura di una sezione del cono con un piano contenente l'altezza:

In un cono equilatero l'apotema è pari al diametro della base della sezione (\(a = 2r = 10\text{ cm}\)). L'altezza \(h\) corrisponde quindi all'altezza di un triangolo equilatero di lato \(2r\):

$$h = r\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\text{ cm}$$

Calcoliamo il volume del cono pieno:

$$V_{\text{pieno}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (5^2) (5\sqrt{3}) = \frac{125\sqrt{3}}{3}\pi \approx 226,725\text{ cm}^3$$

Ricaviamo la massa teorica del medesimo cono se fosse privo di cavità interna:

$$m_{\text{pieno}} = \rho \cdot V_{\text{pieno}} = 11,34\text{ g/cm}^3 \cdot 226,725\text{ cm}^3 \approx 2571\text{ g} = 2,571\text{ kg}$$

Calcoliamo la massa della cavità di piombo per differenza:

$$\text{massa cavità} = 2,571\text{ kg} - 2\text{ kg} = 0,571\text{ kg} = 571\text{ g}$$

Ricaviamo il volume della cavità sfruttando la densità del piombo:

$$V_{\text{cavità}} = \frac{m}{\rho} = \frac{571\text{ g}}{11,34\text{ g/cm}^3} \approx 50,353\text{ cm}^3$$

La probabilità richiesta è data dal rapporto tra il volume della parte piena (volume del cono pieno meno il volume della cavità) e il volume totale dell'intero cono:

$$p = \frac{V_{\text{cono pieno}} - V_{\text{cavità}}}{V_{\text{cono pieno}}} = \frac{226,725\text{ cm}^3 - 50,353\text{ cm}^3}{226,725\text{ cm}^3} \approx 0,778 = 77,8\%$$

Svolgimento Quesito 8

La probabilità di colpire il bersaglio con un singolo lancio è \(p = 0,3\). La probabilità complementare di non colpirlo è \(q = 1 - 0,3 = 0,7\).

Se effettuiamo un numero \(n\) di lanci indipendenti, la probabilità di fallire l'obiettivo in tutti i tentativi è espressa da \((0,7)^n\). Di conseguenza, l'evento complementare "colpire il bersaglio almeno una volta" ha probabilità:

$$P(\text{almeno un centro}) = 1 - (0,7)^n$$

Impostiamo la disequazione per soddisfare la richiesta del problema:

$$1 - (0,7)^n > 0,80 \implies (0,7)^n < 0,20$$

Applichiamo i logaritmi naturali ad entrambi i membri e teniamo presente che \(\ln(0,7)\) è negativo, quindi dovremo invertire il verso della disequazione:

$$n \cdot \ln(0,7) < \ln(0,2) \implies n > \frac{\ln(0,2)}{\ln(0,7)} \approx \frac{-1,6094}{-0,3567} \approx 4,51$$

Trattandosi di un numero discreto di lanci, arrotondiamo all'intero successivo. Il numero minimo di missili da lanciare è pari a 5.

N.B. Con \(n=5\) la probabilità di colpire almeno una volta il bersaglio è pari a:

$$1 - \left(\frac{7}{10}\right)^5 \approx 0,832 \approx 83\%$$