Simulazione 13 – Problema 1 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del Punto 1

✏️ Risoluzione geometrica e algebrica

Consideriamo il triangolo \(ABC\), rettangolo in \(A\), con ipotenusa \(BC = 2a\) e angolo \(A\hat{B}C = \alpha\). Poiché gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari, l'angolo in \(C\) vale \(\hat{C} = \frac{\pi}{2} - \alpha\).

Applicando i teoremi sui triangoli rettangoli, determiniamo i segmenti principali:

\[ AC = BC \cdot \sin\alpha = 2a\sin\alpha \]

Essendo \(P\) il punto medio del cateto \(AC\), la sua lunghezza è:

\[ PC = a\sin\alpha \]

Consideriamo ora il triangolo \(PQC\), anch'esso rettangolo in \(Q\) poiché \(Q\) è la proiezione ortogonale di \(P\) su \(BC\). Ricaviamo i segmenti \(QC\) e \(PQ\) sfruttando l'angolo \(\hat{C}\):

\[ QC = PC \cdot \cos\hat{C} = (a\sin\alpha) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = a\sin^2\alpha \] \[ PQ = PC \cdot \sin\hat{C} = (a\sin\alpha) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = a\sin\alpha\cos\alpha \]

Il segmento \(BQ\) si ottiene per differenza dall'ipotenusa \(BC\):

\[ BQ = 2a - QC = 2a - a\sin^2\alpha \]

---

✏️ Costruzione del rapporto ed espressione in funzione di \(\tan\alpha\)

Sostituiamo le espressioni trovate all'interno del rapporto richiesto e semplifichiamo il parametro \(a\):

\[ \frac{PQ + QC}{BQ} = \frac{a\sin\alpha\cos\alpha + a\sin^2\alpha}{2a - a\sin^2\alpha} = \frac{\frac{1}{2}\sin(2\alpha) + \sin^2\alpha}{2 - \sin^2\alpha} \]

Per esprimere la relazione in funzione di \(x = \tan\alpha\), applichiamo le formule parametriche e le relazioni trigonometriche note:

\[ \sin(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha} = \frac{2x}{1+x^2}, \quad \sin^2\alpha = \frac{\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha} = \frac{x^2}{1+x^2} \]

Sostituendo queste espressioni algebriche nel rapporto, otteniamo:

\[ \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha} + \frac{\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}}{2 - \frac{\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}} = \frac{\frac{\tan\alpha + \tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}}{\frac{2(1+\tan^2\alpha) - \tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}} \]

Semplificando i denominatori comuni, il rapporto si riduce a:

\[ \frac{\tan\alpha + \tan^2\alpha}{2 + \tan^2\alpha} = \frac{x^2 + x}{x^2 + 2} = f(x) \quad \text{c.v.d.} \]

Dalle limitazioni geometriche del problema, l'angolo acuto soddisfa la condizione \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), di conseguenza per la variabile indipendente avremo: \(x > 0\).

↑ Nascondi soluzione

Soluzione del Punto 2

✏️ Studio di funzione completo

Dominio:

Prescindendo dal limite geometrico, la funzione è definita su tutto \(\mathbb{R}\), poiché il denominatore non si annulla mai (\(x^2 + 2 > 0 \;\forall x \in \mathbb{R}\)). La funzione non presenta simmetrie (né pari né dispari).

Intersezioni con gli assi:

• Con l'asse \(y\): se \(x=0 \implies y=0\).
• Con l'asse \(x\): se \(y=0 \implies x^2 + x = 0 \implies x=0\) e \(x=-1\).

Positività:

Il denominatore è sempre positivo. La funzione è positiva o nulla quando il numeratore è maggiore o uguale a zero:

\[ x^2 + x \ge 0 \implies x \le -1 \quad \text{oppure} \quad x \ge 0 \]

Limiti ed Asintoti:

Calcoliamo il comportamento all'infinito:

\[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + x}{x^2 + 2} = 1 \]

Di conseguenza, la retta \(y = 1\) è un asintoto orizzontale completo per \(x \to \pm\infty\).

Derivata prima e punti critici:

Calcoliamo la derivata prima tramite la regola del rapporto:

\[ f'(x) = \frac{(2x+1)(x^2+2) - (x^2+x)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2 + 4x - x^2}{(x^2 + 2)^2} \]

Studiandone il segno per trovare gli intervalli di monotonia:

\[ f'(x) \ge 0 \implies 2 + 4x - x^2 \ge 0 \implies x^2 - 4x - 2 \le 0 \]

Risolvendo l'equazione associata si ottengono i valori critici \(x = 2 \pm \sqrt{6}\):

\[ 2 - \sqrt{6} \le x \le 2 + \sqrt{6} \]

Derivata seconda e flessi:

Calcoliamo la derivata seconda:

\[ f''(x) = \frac{2x^3 - 12x^2 - 12x + 8}{(x^2 + 2)^3} \]

Posto \(f''(x) \ge 0 \implies x^3 - 6x^2 - 6x + 4 \le 0\). Dalle altre informazioni sullo studio della funzione possiamo prevedere tre punti di flesso.

↑ Nascondi soluzione

Soluzione del Punto 3

✏️ Risolviamo il Punto 3 passo dopo passo

Determinazione del punto \(D\):

Mettiamo a sistema la funzione con l'asintoto orizzontale \(y = 1\):

\[ \begin{cases} y = 1 \\ y = \frac{x^2 + x}{x^2 + 2} \end{cases} \implies \frac{x^2 + x}{x^2 + 2} = 1 \implies x^2 + x = x^2 + 2 \implies x = 2 \]

Il punto di intersezione cercato ha coordinate stabili: \(D(2; 1)\).

Equazione della retta tangente in \(D\):

Il coefficiente angolare \(m_t\) è il valore della derivata prima calcolata in \(x = 2\):

\[ m_t = f'(2) = \frac{2 + 4(2) - (2)^2}{((2)^2 + 2)^2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

Sfruttiamo la formula del fascio passante per \(D(2;1)\):

\[ y - 1 = \frac{1}{6}(x - 2) \implies y = \frac{1}{6}x + \frac{2}{3} \]

Equazione della retta normale in \(D\):

La pendenza della retta normale è l'antireciproco di quella della tangente:

\[ m_n = -\frac{1}{m_t} = -6 \]

Sviluppando l'equazione passante per \(D\):

\[ y - 1 = -6(x - 2) \implies y = -6x + 13 \] ↑ Nascondi soluzione

Soluzione del Punto 4

✏️ Calcolo dell'area tramite l'integrale definito

L'area si ricava integrando la funzione tra gli estremi \(x = 0\) e \(x = 2\):

\[ \text{Area} = \int_{0}^{2} \frac{x^2 + x}{x^2 + 2} \, dx \]

Manipoliamo la frazione sommando e sottraendo 2 al numeratore:

\[ \text{Area} = \int_{0}^{2} \frac{(x^2 + 2) + x - 2}{x^2 + 2} \, dx =\] \[=\int_{0}^{2} 1 \, dx + \int_{0}^{2} \frac{x}{x^2 + 2} \, dx -\] \[- \int_{0}^{2} \frac{2}{x^2 + 2} \, dx \]

Risolvendo e sostituendo gli estremi tramite le primitive immediate otteniamo:

\[ \text{Area} = \left[ x + \frac{1}{2}\ln(x^2 + 2) - \sqrt{2}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) \right]_{0}^{2} \] \[ \text{Area} = 2 + \frac{1}{2}\ln(3) - \sqrt{2}\arctan(\sqrt{2}) \approx 1.198 \text{ u}^2 \]

---

✏️ Calcolo del volume di rotazione tramite gusci cilindrici

Essendo complessa l'inversione della funzione, applichiamo il metodo dei gusci cilindrici per la rotazione attorno all'asse delle ordinate:

\[ V = 2\pi \int_{0}^{2} x \cdot f(x) \, dx = 2\pi \int_{0}^{2} \frac{x^3 + x^2}{x^2 + 2} \, dx \]

Eseguiamo la scomposizione polinomiale del numeratore:

\[ \frac{x^3 + x^2}{x^2 + 2} = x + 1 - \frac{2x + 2}{x^2 + 2} =\] \[=x + 1 - \frac{2x}{x^2 + 2} - \frac{2}{x^2 + 2} \]

Integriamo i singoli termini individuando i rispettivi blocchi primitivi:

\[ V = 2\pi \left[ \frac{x^2}{2} + x - \ln(x^2 + 2) - \sqrt{2}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) \right]_{0}^{2} \]

Valutando la formula finale tra l'estremo superiore e inferiore si giunge a:

\[ V = 2\pi \left( 4 - \ln 3 - \sqrt{2}\arctan(\sqrt{2}) \right) \approx 9.742 \text{ u}^3 \] ↑ Nascondi soluzione