Simulazione 13 – Problema 2 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del Punto 1

1. Ricerca dei punti di intersezione

Mettiamo a sistema le equazioni delle due parabole per trovarne i punti comuni:

\[ \begin{cases} y = x^2 \\ y^2 + 8x - 6y - 3 = 0 \end{cases} \]

Sostituendo la prima espressione algebrica all'interno della seconda equazione si ottiene:

\[ (x^2)^2 + 8x - 6(x^2) - 3 = 0 \] \[ x^4 - 6x^2 + 8x - 3 = 0 \]

Poiché il punto \(A(1;1)\) appartiene alle curve per ipotesi, il valore \(x = 1\) deve annullare l'equazione. Riduciamo il grado del polinomio tramite una prima scomposizione con la regola di Ruffini:

L'equazione ridotta provvisoria risulta essere:

\[ (x - 1)(x^3 + x^2 - 5x + 3) = 0 \]

Applichiamo nuovamente la regola di Ruffini sul polinomio di terzo grado utilizzando ancora lo stesso valore della radice \(x = 1\):

Otteniamo la scomposizione parziale \((x - 1)^2(x^2 + 2x - 3) = 0\). Scomponendo il trinomio notevole di secondo grado come \((x + 3)(x - 1)\), l'equazione finale è:

\[ (x - 1)^3(x + 3) = 0 \]

Le soluzioni estratte dall'equazione del sistema sono:

• \(x = 1\) con molteplicità algebrica tripla, associata al punto di contatto \(A(1; 1)\).
• \(x = -3\) con molteplicità singola. Sostituendo nella parabola \(\mathcal{C}_1\), ricaviamo l'ordinata: \(y = (-3)^2 = 9\).

L'ulteriore punto in comune è dunque identificato dalle coordinate \(B(-3; 9)\).

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2. Verifica formale della tangenza

La presenza di una soluzione con molteplicità maggiore o uguale a due in \(x = 1\) dimostra geometricamente la tangenza delle curve. Troviamo la retta tangente comune.

La derivata prima della parabola verticale \(\mathcal{C}_1: y = x^2\) risulta essere \(y' = 2x\). Il coefficiente angolare della retta tangente calcolato in \(A\) vale:

\[ m = y'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \]

L'equazione della retta tangente \(t\) in \(A(1;1)\) ha la seguente espressione:

\[ y - 1 = 2(x - 1) \implies t: y = 2x - 1 \]

Verifichiamo adesso che tale retta \(t\) sia tangente anche alla seconda parabola orizzontale \(\mathcal{C}_2\). Esplicitiamo la retta rispetto alla variabile \(x\), ottenendo \(x = \frac{y + 1}{2}\), e sostituiamo all'interno dell'equazione di \(\mathcal{C}_2\):

\[ y^2 + 8\left(\frac{y + 1}{2}\right) - 6y - 3 = 0 \] \[ y^2 + 4y + 4 - 6y - 3 = 0 \] \[ y^2 - 2y + 1 = 0 \implies (y - 1)^2 = 0 \]

Otteniamo un'unica soluzione reale e coincidente in \(y = 1\), corrispondente al punto \(A\). Ciò attesta in modo definitivo la tangenza comune delle due curve.

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Soluzione del Punto 2

La retta generica \(r\) del fascio proprio passante per \(A(1;1)\) ha equazione cartesiana:

\[ y - 1 = m(x - 1) \implies y = mx - m + 1 \]

Determinazione del punto S: Troviamo l'intersezione di \(r\) con l'asse delle ordinate ponendo la condizione \(x = 0\):

\[ \begin{cases} x = 0 \\ y = mx - m + 1 \end{cases} \implies S(0; 1 - m) \]

Studio dei coefficienti angolari limite: La retta passante per i due punti di incrocio delle parabole \(A(1;1)\) e \(B(-3;9)\) ha pendenza:

\[ m_{AB} = \frac{9 - 1}{-3 - 1} = -2 \]

La retta tangente comune calcolata al punto precedente ha coefficiente angolare \(m_t = 2\). Analizzando geometricamente la disposizione dei confini della regione racchiusa \(\mathcal{R}\), si deduce che la retta \(r\) interseca il contorno:

• Sul profilo della parabola orizzontale \(\mathcal{C}_2\) per pendenze esterne all'intervallo: \(m < -2 \cup m > 2\).
• Sul profilo della parabola verticale \(\mathcal{C}_1\) per pendenze interne o uguali: \(-2 \le m \le 2\).

Semplificazione tramite Teorema di Talete: Per facilitare i calcoli ed evitare l'uso della formula della distanza tra punti, proiettiamo i segmenti obliqui sull'asse delle ascisse. Il rapporto tra i segmenti coincide con il rapporto tra le distanze delle rispettive proiezioni orizzontali:

\[ f(m) = \frac{\overline{AP}}{\overline{AS}} = \frac{|x_P - x_A|}{|x_S - x_A|} = \frac{|x_P - 1|}{|0 - 1|} = |x_P - 1| \]

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Caso A: Intersezione con il profilo \(\mathcal{C}_2\) (\(m < -2 \cup m > 2\))

Mettiamo a sistema la retta \(r\) con l'equazione della parabola \(\mathcal{C}_2\):

\[ y^2 + 8x - 6y - 3 = 0 \quad \text{con} \quad y = m(x - 1) + 1 \]

Sviluppando l'equazione risolutiva di secondo grado in \(x\), e dividendo per la radice nota \(x = 1\) (corrispondente al punto \(A\)), si ricava l'ascissa del secondo punto di intersezione \(P\):

\[ x_P = \frac{m^2 + 4m - 8}{m^2} \]

Calcoliamo il valore espresso dalla funzione rapporto:

\[ f(m) = |x_P - 1| = \left| \frac{m^2 + 4m - 8}{m^2} - 1 \right| = \left| \frac{4m - 8}{m^2} \right| \]

Analizziamo il segno del numeratore all'interno dei due intervalli disgiunti considerati:

• Se \(m > 2 \implies 4m - 8 > 0\), togliamo il modulo: \(f(m) = \frac{4m - 8}{m^2}\)
• Se \(m < -2 \implies 4m - 8 < 0\), cambiamo di segno l'argomento: \(f(m) = \frac{8 - 4m}{m^2}\)

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Caso B: Intersezione con il profilo \(\mathcal{C}_1\) (\(-2 \le m \le 2\))

Mettiamo a sistema la retta \(r\) con l'equazione della parabola \(\mathcal{C}_1: y = x^2\):

\[ x^2 = mx - m + 1 \implies x^2 - mx + m - 1 = 0 \]

Scomponiamo raccogliendo parzialmente i termini: \((x - 1)(x - m + 1) = 0\).

Le radici risultano \(x = 1\) (punto \(A\)) e l'ascissa cercata del punto \(P\), pari a \(x_P = m - 1\). Calcoliamo la funzione del rapporto:

\[ f(m) = |x_P - 1| = |(m - 1) - 1| = |m - 2| \]

Poiché nell'intervallo esaminato si ha \(-2 \le m \le 2\), la quantità \(m - 2\) assume sempre valori minori o uguali a zero. Sciogliamo il valore assoluto invertendo i segni:

\[ f(m) = 2 - m \] ↑ Nascondi soluzione

Soluzione del Punto 3

1. Analisi dei rami esterni

Studiamo l'andamento della funzione razionale ausiliaria \(g(x) = \frac{4x - 8}{x^2}\) definita per \(x \neq 0\):

• Limiti agli estremi del dominio: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x - 8}{x^2} = 0 \implies \text{Asintoto orizzontale di equazione } y = 0 \]
• Studio della derivata prima: \[ g'(x) = \frac{4 \cdot x^2 - (4x - 8) \cdot 2x}{x^4} = \frac{4x^2 - 8x^2 + 16x}{x^4} =\] \[=\frac{16 - 4x}{x^3} \] La derivata si annulla per \(16 - 4x = 0 \implies x = 4\). Lo studio del segno mostra che \(x = 4\) è un punto di massimo relativo con coordinate complete pari a \(M(4; 0.5)\).
• Studio della concavità (Derivata seconda): \[ g''(x) = \frac{-4 \cdot x^3 - (16 - 4x) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{8x^3 - 48x^2}{x^6} =\] \[=\frac{8x - 48}{x^4} \] Posto \(g''(x) = 0 \implies x = 6\). La curva cambia concavità in corrispondenza del punto di flesso \(F(6; 0.44)\).

Prendendo il valore assoluto della funzione, la porzione originariamente negativa situata a sinistra di \(x = 2\) viene ribaltata simmetricamente sopra l'asse delle ascisse. Di questo intero andamento andiamo a isolare unicamente le due porzioni esterne all'intervallo chiuso delle giunzioni, ovvero per i valori \(x < -2\) e \(x > 2\).

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2. Studio del tratto rettilineo interno e raccordi

Nell'intervallo compreso \([-2; 2]\), la funzione è espressa dal segmento di retta di equazione \(y = 2 - x\). Verifichiamo i valori assunti nei punti di raccordo per constatarne la continuità globale:

• Nel punto sinistro \(x = -2\): il segmento vale \(y = 2 - (-2) = 4\). Il ramo curvo sinistro fornisce lo stesso valore \(\frac{8 - 4(-2)}{(-2)^2} = \frac{16}{4} = 4\).
• Nel punto destro \(x = 2\): il segmento vale \(y = 2 - 2 = 0\). Il ramo curvo destro fornisce lo stesso valore \(\frac{4(2) - 8}{2^2} = 0\).

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Soluzione del Punto 4

Per tutte le ascisse \(x \ge 2\), la funzione \(f(x)\) è identificata da :

\[ f(x) = \frac{4x - 8}{x^2} \]

La rotazione di questa regione piana attorno all'asse delle ascisse genera un solido di forma illimitata simile a una tromba stirata verso destra.

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1. Impostazione formale dell'integrale improprio

Il volume del solido di rotazione viene ricavato calcolando il limite per il parametro \(t\) che tende a più infinito dell'integrale definito associato:

\[ V = \pi \int_{2}^{+\infty} [f(x)]^2 \, dx = \pi \cdot \lim_{t \to +\infty} \int_{2}^{t} \left( \frac{4x - 8}{x^2} \right)^2 dx \] \[ V = \pi \cdot \lim_{t \to +\infty} \int_{2}^{t} \frac{16(x - 2)^2}{x^4} \, dx = 16\pi \cdot \lim_{t \to +\infty} \int_{2}^{t} \frac{x^2 - 4x + 4}{x^4} \, dx \]

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2. Calcolo dei termini e determinazione della primitiva

Scomponiamo la frazione integranda distribuendo il denominatore comune su ciascun addendo del numeratore:

\[ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^4} = \frac{x^2}{x^4} - \frac{4x}{x^4} + \frac{4}{x^4} = x^{-2} - 4x^{-3} + 4x^{-4} \]

Troviamo l'espressione analitica della primitiva della funzione applicando le regole di integrazione delle potenze:

\[ \int \left( x^{-2} - 4x^{-3} + 4x^{-4} \right) dx = \frac{x^{-1}}{-1} - 4 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + 4 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} \] \[ = -\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} - \frac{4}{3x^3} \]

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3. Sostituzione e valutazione del limite

Applichiamo il teorema fondamentale valutando gli estremi di integrazione provvisori tra \(2\) e \(t\):

\[ V = 16\pi \cdot \lim_{t \to +\infty} \left[ -\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} - \frac{4}{3x^3} \right]_{2}^{t} \] \[ V = 16\pi \cdot \lim_{t \to +\infty} \left\{ \left( -\frac{1}{t} + \frac{2}{t^2} - \frac{4}{3t^3} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} - \frac{4}{3 \cdot 2^3} \right) \right\} \]

Al tendere di \(t \to +\infty\), tutti i singoli addendi legati alla variabile del limite si annullano poiché presentano la variabile a denominatore:

\[ \lim_{t \to +\infty} \left( -\frac{1}{t} + \frac{2}{t^2} - \frac{4}{3t^3} \right) = 0 \]

Sviluppiamo il calcolo numerico della costante legata all'estremo inferiore fisso di integrazione:

\[ -\frac{1}{2} + \frac{2}{4} - \frac{4}{24} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \]

Sottraendo tale valore secondo la formula del calcolo integrale otteniamo il volume finale:

\[ V = 16\pi \cdot \left[ 0 - \left( -\frac{1}{6} \right) \right] = 16\pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{8}{3}\pi \] ↑ Nascondi soluzione