Simulazione 13 - PROBLEMA 2
Simulazione 13 - Problema 2 - Esame di Stato 2026
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In un piano cartesiano ortogonale \(Oxy\), si considerino le parabole \(\mathcal{C}_1\), \(\mathcal{C}_2\) di equazione rispettivamente:
\[ \mathcal{C}_1: y - x^2 = 0 \quad \text{e} \quad \mathcal{C}_2: y^2 + 8x - 6y - 3 = 0 \]1.
Si verifichi che le due curve sono tangenti in \(A(1; 1)\) e che hanno in comune un ulteriore punto \(B\).
Soluzione del Punto 1
1. Ricerca dei punti di intersezione
Mettiamo a sistema le equazioni delle due parabole \(\mathcal{C}_1\) e \(\mathcal{C}_2\) per determinarne i punti in comune:
\[ \begin{cases} y = x^2 \\ y^2 + 8x - 6y - 3 = 0 \end{cases} \]Sostituendo la prima equazione nella seconda si ottiene un'equazione di quarto grado nella variabile \(x\):
\[ (x^2)^2 + 8x - 6(x^2) - 3 = 0 \implies x^4 - 6x^2 + 8x - 3 = 0 \]Sapendo dal testo che il punto \(A(1;1)\) appartiene a entrambe le curve, \(x = 1\) deve essere una radice del polinomio. Utilizziamo la regola di Ruffini per abbassare di grado il polinomio:
| 1 | 0 | -6 | 8 | -3 | |
| 1 | 1 | 1 | -5 | 3 | |
| 1 | 1 | -5 | 3 | 0 |
L'equazione diventa quindi: \((x - 1)(x^3 + x^2 - 5x + 3) = 0\).
Applichiamo nuovamente Ruffini al polinomio di terzo grado, usando ancora la radice \(x = 1\):
| 1 | 1 | -5 | 3 | |
| 1 | 1 | 2 | -3 | |
| 1 | 2 | -3 | 0 |
Otteniamo \((x - 1)^2(x^2 + 2x - 3) = 0\). Poiché il trinomio si scompone immediatamente come \((x + 3)(x - 1)\), l'equazione finale delle intersezioni risulta:
\[ (x - 1)^3(x + 3) = 0 \]Le soluzioni dell'equazione di sistema sono:
- \(x = 1\) con molteplicità algebrica tripla, che corrisponde al punto di contatto \(A(1; 1)\).
- \(x = -3\) con molteplicità singola. Sostituendo nella parabola \(\mathcal{C}_1\), otteniamo \(y = (-3)^2 = 9\).
Pertanto, l'ulteriore punto in comune è \(B(-3; 9)\).
Grafico di \(\mathcal{C}_1\) e \(\mathcal{C}_2\) con la tangente comune in \(A\) e l'ulteriore intersezione \(B\)
2. Verifica della tangenza
La presenza di una radice con molteplicità maggiore o uguale a 2 in \(x=1\) attesta già geometricamente la tangenza tra le due curve. Effettuiamo una verifica diretta determinando la retta tangente comune.
Consideriamo la parabola \(\mathcal{C}_1: y = x^2\). La sua derivata prima è \(y' = 2x\). Il coefficiente angolare della tangente in \(A(1;1)\) vale:
\[ m = y'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \]L'equazione della retta tangente \(t\) a \(\mathcal{C}_1\) in \(A\) è:
\[ t: y - 1 = 2(x - 1) \implies \mathbf{t: y = 2x - 1} \]Verifichiamo che la retta \(t\) sia tangente anche alla parabola con asse orizzontale \(\mathcal{C}_2: y^2 + 8x - 6y - 3 = 0\). Esplicitando la retta rispetto alla variabile \(x\), abbiamo \(x = \frac{y + 1}{2}\). Sostituiamo nell'equazione di \(\mathcal{C}_2\):
\[ y^2 + \cancel{8}^4\left(\frac{y + 1}{\cancel{2}}\right) - 6y - 3 = 0 \] \[ y^2 + 4y + 4 - 6y - 3 = 0 \implies y^2 - 2y + 1 = 0 \implies (y - 1)^2 = 0 \]Otteniamo un'unica soluzione reale e coincidente (radice doppia) in \(y = 1\), che corrisponde all'ordinata del punto \(A\). Questo conferma definitivamente che la retta \(t: y = 2x - 1\) è tangente comune in \(A(1;1)\) ad entrambe le parabole.
✔ Risposte sintetiche al Punto 1
- Tangenza in A: Verificata sia dall'intersezione tripla \(x = 1\), sia dalla retta tangente comune \(t: y = 2x - 1\).
- Ulteriore punto di intersezione: \(B(-3; 9)\).
2.
Detta \(\mathcal{R}\) la regione finita di piano delimitata dalle due parabole, si conduca per \(A\) una retta \(r\) che incontri l'asse delle ordinate in \(S\) e il contorno di \(\mathcal{R}\), oltre che in \(A\), in un ulteriore punto \(P\). Si determini la funzione
\[ f(m)=\frac{\overline{AP}}{\overline{AS}} \]ove \(m\) è il coefficiente angolare della retta \(r\).
Soluzione del Punto 2
Regione \(\mathcal{R}\) con la retta generica \(r\) passante per \(A\)
La retta generica passante per \(A(1;1)\) è:
\[ y-1=m(x-1) \] quindi: \[ y=mx-m+1 \]1. Coordinate di \(S\)
L'intersezione con l'asse \(y\) si ottiene ponendo \(x=0\):
\[ S(0;1-m) \]2. Intervalli del coefficiente angolare
La retta che unisce i punti comuni \(A(1;1)\) e \(B(-3;9)\) ha coefficiente:
\[ m_{AB}=\frac{9-1}{-3-1}=-2 \]La tangente comune in \(A\) ha invece:
\[ m_t=2 \]Pertanto:
- per \(m<-2\) oppure \(m>2\), il punto \(P\) appartiene a \(\mathcal{C}_2\);
- per \(-2\le m\le2\), il punto \(P\) appartiene a \(\mathcal{C}_1\).
Poiché \(AP\) e \(AS\) giacciono sulla stessa retta, il loro rapporto è uguale al rapporto delle corrispondenti variazioni delle ascisse:
\[ f(m)=\frac{|x_P-1|}{|0-1|} \] quindi: \[ f(m)=|x_P-1| \]Caso A: \(m<-2\) oppure \(m>2\)
Intersechiamo la retta con:
\[ \mathcal{C}_2:y^2+8x-6y-3=0 \]Sostituendo:
\[ y=m(x-1)+1 \]si ottiene:
\[ m^2x^2-2(m^2+2m-4)x+(m^2+4m-8)=0 \]Una radice è \(x=1\), quindi usando il prodotto delle radici:
\[ x_P=\frac{m^2+4m-8}{m^2} \] ossia: \[ x_P=1+\frac{4m-8}{m^2} \]Quindi:
\[ f(m)= \left|\frac{4m-8}{m^2}\right| \]Eliminando il valore assoluto:
\[ f(m)=\frac{8-4m}{m^2} \qquad m<-2 \] \[ f(m)=\frac{4m-8}{m^2} \qquad m>2 \]Caso B: \(-2\le m\le2\)
Intersezione con:
\[ \mathcal{C}_1:y=x^2 \]Si ha:
\[ x^2=mx-m+1 \] cioè: \[ x^2-mx+m-1=0 \] che diventa: \[ (x-1)(x-m+1)=0 \]Le soluzioni sono:
\[ x=1 \] e: \[ x_P=m-1 \] quindi: \[ f(m)=|(m-1)-1| \] \[ f(m)=|m-2| \]Nel tratto considerato \(m\le2\), quindi:
\[ f(m)=2-m \]✔ Risposta sintetica al Punto 2
\[ \boxed{ f(m)= \begin{cases} \dfrac{8-4m}{m^2} & m\in]-\infty,-2[\\[6pt] 2-m & m\in[-2,2]\\[6pt] \dfrac{4m-8}{m^2} & m\in]2,+\infty[ \end{cases}} \]3.
Si studi la funzione
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{8 - 4x}{x^2} & \text{per } x \in ]-\infty; -2[ \\ 2 - x & \text{per } x \in [-2; 2] \\ \frac{4x - 8}{x^2} & \text{per } x \in ]2; +\infty[ \end{cases} \](che, a parte la sostituzione della variabile, è la soluzione del punto precedente), determinandone in particolare il massimo assoluto e gli eventuali massimi relativi. Si tracci il grafico della funzione.
Soluzione del Punto 3
1. Studio della funzione ausiliaria \(g(x) = \frac{4x - 8}{x^2}\) e del suo modulo
Studiamo inizialmente la funzione razionale algebrica \(g(x)\) definita su tutto \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\):
- Intersezioni e segno: \(g(x) = 0 \implies 4x - 8 = 0 \implies x = 2\). La funzione è positiva per x > 2 e negativa per x < 2 (con \(x \neq 0\)).
- Limiti e asintoti: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x - 8}{x^2} = 0 \implies \text{Asintoto orizzontale: } y = 0 \] \[ \lim_{x \to 0} \frac{4x - 8}{x^2} = -\infty \implies \text{Asintoto verticale: } x = 0 \]
- Derivata prima e massimi: \[ g'(x) = \frac{4\cdot x^2 - (4x - 8)\cdot 2x}{x^4} =\] \[=\frac{4x^2 - 8x^2 + 16x}{x^4} = \frac{16 - 4x}{x^3} \] \(g'(x) = 0 \implies x = 4\). Lo studio del segno di \(g'(x)\) mostra un punto di massimo relativo in \(M(4; 0.5)\).
- Derivata seconda e flesso:
Calcoliamo la derivata seconda per determinare la concavità e gli eventuali flessi:
\[ g''(x) = \frac{-4\cdot x^3 - (16 - 4x)\cdot 3x^2}{x^6} = \frac{-4x^3 - 48x^2 + 12x^3}{x^6} =\] \[=\frac{8x^3 - 48x^2}{x^6} = \frac{8x - 48}{x^4} \] \(g''(x) = 0 \implies 8x - 48 = 0 \implies x = 6\).
Poiché per x > 6 si ha \(g''(x) > 0\) (concavità verso l'alto) e per x < 6 (con \(x \neq 0\)) si ha \(g''(x) < 0\) (concavità verso il basso), in \(F(6; 0.44)\) è presente un punto di flesso obliquo.
Grafico della funzione ausiliaria \(y = g(x) = \frac{4x - 8}{x^2}\) con il flesso in \(x = 6\)
Passando al modulo \(h(x) = |g(x)| = \left|\frac{4x - 8}{x^2}\right|\), la porzione di grafico negativa (per x < 2) viene ribaltata specularmente rispetto all'asse delle ascisse. Di questo grafico isoliamo esclusivamente le parti corrispondenti ai tratti esterni x < -2 e x > 2.
Grafico di \(y = h(x) = |g(x)|\) con evidenziate le curve per \(|x| > 2\)
2. Studio del tratto interno ed unione dei grafici
Nell'intervallo limitato e chiuso \([-2; 2]\), la funzione coincide con il segmento della retta \(y = 2 - x\). I punti di giunzione tra le definizioni a tratti sono:
- Per \(x = -2\): il segmento lineare vale \(y = 2 - (-2) = 4\). La curva esterna sinistra vale \(\frac{8 - 4(-2)}{(-2)^2} = \frac{16}{4} = 4\). C'è continuità.
- Per \(x = 2\): il segmento lineare vale \(y = 2 - 2 = 0\). La curva esterna destra vale \(\frac{4(2) - 8}{2^2} = 0\). C'è continuità.
Unendo le due parti trovate otteniamo il seguente grafico della funzione \(f(x)\):
Grafico definitivo della funzione geometrica \(f(x)\)
✔ Caratteristiche chiave di \(f(x)\)
- Dominio: Tutto \(\mathbb{R}\) (l'asintoto verticale originario in \(x=0\) è superato dalla definizione lineare del tratto interno).
- Continuità: La funzione è continua su tutto il dominio, compresi i punti di giunzione \(x = -2\) e \(x = 2\).
- Massimo Assoluto: Raggiunto in \(x = -2\) con valore pari a 4 (punto angoloso di giunzione).
- Massimo Relativo: Raggiunto nell'arco destro di \(g(x)\) in \(M(4; 0.5)\).
- Flesso: Presente un punto di flesso in \(F(6; 0.44)\) dove la curva cambia concavità diventando rivolta verso l'alto.
4.
Si consideri la regione \(\Delta\), nel semipiano \(x \ge 2\), delimitata dal grafico di \(f\) e dall'asse \(x\). Si calcoli il volume del solido \(\Sigma\) che si genera con una rotazione completa di \(\Delta\) intorno all'asse \(x\), verificando che, pur essendo illimitato, \(\Sigma\) possiede volume finito.
Soluzione del Punto 4
La regione \(\Delta\) è posizionata nel semipiano \(x \ge 2\). Osservando la definizione a tratti della funzione \(f(x)\), notiamo che per \(x \ge 2\) la funzione è identificata da:
\[ f(x) = \frac{4x - 8}{x^2} \quad \text{per } x \in [2; +\infty[ \]
Rappresentazione della regione bidimensionale \(\Delta\) delimitata da \(f(x)\) e dall'asse delle ascisse per \(x \ge 2\)
La rotazione completa di questa regione attorno all'asse \(x\) genera un solido di rotazione \(\Sigma\) geometricamente illimitato verso destra, a causa dell'estensione all'infinito dell'intervallo di integrazione.
Simulazione tridimensionale del solido di rotazione \(\Sigma\) generato dalla rotazione di \(\Delta\) attorno all'asse \(x\)
1. Impostazione dell'integrale del volume
Il volume di un solido generato dalla rotazione attorno all'asse \(x\) è definito dall'integrale:
\[ V = \pi \int_{2}^{+\infty} [f(x)]^2 \, dx \]2. Calcolo analitico mediante passaggio al limite
Sviluppiamo il quadrato al numeratore per scomporre l'integrando in una somma di potenze elementari di \(x\):
\[ 16 \cdot \frac{x^2 - 4x + 4}{x^4} = 16 \left( \frac{1}{x^2} - \frac{4}{x^3} + \frac{4}{x^4} \right) =\] \[=16 \left( x^{-2} - 4x^{-3} + 4x^{-4} \right) \]Calcoliamo una primitiva \(F(x)\) della funzione integranda:
\[ F(x) = 16 \int \left( x^{-2} - 4x^{-3} + 4x^{-4} \right) \, dx =\] \[=16 \left[ \frac{x^{-1}}{-1} - 4\frac{x^{-2}}{-2} + 4\frac{x^{-3}}{-3} \right] \] \[ F(x) = 16 \left[ -\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} - \frac{4}{3x^3} \right] \]Applichiamo la definizione di integrale improprio introducendo un parametro temporaneo \(t\) che tende a \(+\infty\):
\[ V = \pi \cdot \lim_{t \to +\infty} \int_{2}^{t} 16 \left( \frac{1}{x^2} - \frac{4}{x^3} + \frac{4}{x^4} \right) \, dx =\] \[=16\pi \cdot \lim_{t \to +\infty} \left[ -\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} - \frac{4}{3x^3} \right]_{2}^{t} \]Sostituiamo gli estremi di integrazione \(t\) e \(2\):
\[ V = 16\pi \cdot \lim_{t \to +\infty} \left\{ \left( -\frac{1}{t} +\frac{2}{t^2} - \frac{4}{3t^3} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{2}{4} - \frac{4}{24} \right) \right\} \]Valutando il limite, tutti i termini frazionari contenenti la variabile \(t\) al denominatore tendono a zero (\(0\)). Calcoliamo la costante numerica derivante dall'estremo inferiore:
\[ -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{4}{24} = 0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \]Sottraendo il valore ottenuto secondo il teorema fondamentale del calcolo integrale:
\[ V = 16\pi \cdot \left[ 0 - \left( -\frac{1}{6} \right) \right] = 16\pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{8}{3}\pi \]✔ Verifica e Risultato del Volume
L'integrale improprio converge a un valore reale definito. Resta pertanto verificato che il volume del solido \(\Sigma\), nonostante la sua estensione geometrica illimitata, è finito e misura:
\[ V = \frac{8}{3}\pi \approx 8.378 \text{ u}^3 \]