Simulazione 13 - Questionario - Esame di Stato 2026

Soluzione del Quesito 1

Basta applicare il teorema del coseno al triangolo \(ABC\):

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cdot \cos(44{,}5^\circ) = \left[837^2 + 1164^2 - 2 \cdot 837 \cdot 1164 \cdot \cos(44{,}5^\circ)\right]\text{ m}^2\] \[AB^2 = 665670{,}82\text{ m}^2 \implies AB \cong 816\text{ m}\]

Soluzione del Quesito 2

Indicato con \(2x\) il lato del rettangolo che coincide con il diametro della semicirconferenza e con \(y\) la misura dell'altro lato del rettangolo, osservando che il contorno della finestra è formato dai lati \(AD\), \(AB\) e \(BC\) del rettangolo e dalla semicirconferenza di diametro \(CD\) (senza diametro), si ha:

\[2x + 2y + \pi x = L\] \[\text{Da cui: } y = \frac{L}{2} - x - \frac{\pi x}{2}\]

L'area della finestra è data da:

\[\text{Area}(finestra) = 2xy + \frac{1}{2}\pi x^2 = 2x\left(\frac{L}{2} - x - \frac{\pi x}{2}\right) + \frac{1}{2}\pi x^2\] \[\text{Area} = xL - 2x^2 - \pi x^2 + \frac{1}{2}\pi x^2 = \left(-2 - \frac{1}{2}\pi\right)x^2 + xL = z\]

La funzione da ottimizzare è una parabola con la concavità rivolta verso il basso, quindi il massimo si ha nel vertice (se incluso nelle limitazioni della \(x\)):

\[x_V = -\frac{b}{2a} = \frac{L}{4+\pi} < L \quad \text{quindi accettabile.}\]

L'area massima risulta:

\[\text{Area}(massima) = \left(-2 - \frac{1}{2}\pi\right)\left(\frac{L}{4+\pi}\right)^2 + \frac{L^2}{4+\pi} = -\frac{1}{2}(4+\pi)\frac{L^2}{(4+\pi)^2} + \frac{L^2}{4+\pi} = \frac{L^2}{2(4+\pi)}\]

Soluzione del Quesito 3

Dobbiamo calcolare il volume del tetraedro.

Essendo \(L\) lo spigolo del tetraedro si ha:

\[\text{Area}(ABC) = L^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\] \[\overline{DH} = \overline{BH} \cdot \sqrt{3} = \overline{AB} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = L \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Essendo \(K\) il baricentro del triangolo equilatero \(ABC\), risulta:

\[\overline{HK} = \frac{1}{3}\overline{AH} = \frac{1}{3}\overline{DH} = \frac{1}{3}\left(L \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = L \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}\] \[\overline{DK} = \sqrt{\overline{DH}^2 - \overline{KH}^2} = \sqrt{\frac{3}{4}L^2 - \frac{L^2}{12}} = \sqrt{\frac{2}{3}L^2} = L \sqrt{\frac{2}{3}}\] \[V = \frac{1}{3} \cdot \text{Area}(ABC) \cdot \overline{DK} = \frac{1}{3} \cdot \left(L^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \cdot \left(L\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = \frac{L^3\sqrt{2}}{12} = \text{Volume}(tetraedro)\]

Essendo \(L = 6\text{ cm}\), risulta:

\[\text{Volume}(tetraedro\text{ pieno}) = 216 \cdot \frac{\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2}\text{ cm}^3 \cong 25{,}456\text{ cm}^3\]

Essendo \(\rho = \frac{m}{V}\), si ha il volume effettivo del rame (volume del tetraedro vuoto):

\[V = \frac{m}{\rho} = \frac{200\text{ g}}{8{,}9\text{ g/cm}^3} \cong 22{,}472\text{ cm}^3\]

Quindi il volume della cavità sferica interna è:

\[V(\text{cavità}) = V(\text{sfera}) = (25{,}456 - 22{,}472)\text{ cm}^3 = 2{,}984\text{ cm}^3\]

Pertanto, applicando la formula del volume della sfera:

\[\frac{4}{3}\pi R^3 = 2{,}984\text{ cm}^3 \implies R^3 = \frac{3 \cdot 2{,}984}{4\pi}\text{ cm}^3 \cong 0{,}712\text{ cm}^3 \implies R = \sqrt[3]{0{,}712} \cong 0{,}893\text{ cm}\]

Soluzione del Quesito 4

Ricordiamo che il valore medio di una funzione \(f(x)\) continua in un intervallo \([a; b]\) è dato da:

\[\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \frac{1}{1 - 0} \cdot \int_{0}^{1} \frac{x^5 - 1}{x^2 + 1}\,dx\]

Effettuando la divisione del numeratore per il denominatore si ha:

\[x^5 - 1 = (x^2 + 1)(x^3 - x) + x - 1\]

Pertanto, l'integrale diventa:

\[\frac{1}{1 - 0} \cdot \int_{0}^{1} \frac{x^5 - 1}{x^2 + 1}\,dx =\] \[=\int_{0}^{1} \frac{(x^2 + 1)(x^3 - x) + x - 1}{x^2 + 1}\,dx = \int_{0}^{1} (x^3 - x)\,dx + \int_{0}^{1} \frac{x - 1}{x^2 + 1}\,dx =\] \[= \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2 + 1}\,dx + \int_{0}^{1} \frac{-1}{x^2 + 1}\,dx =\] \[= \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) + \left[ \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) - \arctan(x) \right]_{0}^{1} =\] \[= -\frac{1}{4} + \left[ \left(\frac{1}{2}\ln(2) - \frac{\pi}{4}\right) - (0 - 0) \right] = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\ln(2) - \frac{\pi}{4}\]

Soluzione del Quesito 5

Metodo 1: Approccio analitico (Minimizzazione della distanza)

Un punto generico \(P\) appartenente alla retta data ha coordinate che dipendono dal parametro \(t\):

\[P(-1 - 2t; \, 4; \, 4 + t)\]

Calcoliamo il quadrato della distanza tra il centro \(C(0; 1; 1)\) e il punto generico \(P\):

\[\overline{CP}^2 = (x_P - x_C)^2 + (y_P - y_C)^2 + (z_P - z_C)^2\] \[\overline{CP}^2 = (-1 - 2t - 0)^2 + (4 - 1)^2 + (4 + t - 1)^2\] \[\overline{CP}^2 = (-1 - 2t)^2 + (3)^2 + (3 + t)^2\]

Sviluppando i quadrati dei binomi otteniamo:

\[\overline{CP}^2 = (1 + 4t + 4t^2) + 9 + (9 + 6t + t^2)\] \[\overline{CP}^2 = 5t^2 + 10t + 19\]

La distanza minima corrisponde al raggio \(R\) della sfera. Calcoliamo la derivata rispetto a \(t\) e poniamola uguale a zero:

\[\frac{d}{dt}(\overline{CP}^2) = 10t + 10\] \[10t + 10 = 0 \implies t = -1\]

Sostituendo \(t = -1\) otteniamo il quadrato del raggio \(R^2\):

\[R^2 = 5(-1)^2 + 10(-1) + 19 = 14\]

Metodo 2: Approccio geometrico (Intersezione retta-piano)

I coefficienti direttori della retta si deducono dalle equazioni parametriche e corrispondono alle componenti del vettore direttore \(\vec{v} = (-2; 0; 1)\).

Il piano \(\pi\) perpendicolare alla retta e passante per \(C(0; 1; 1)\) avrà come vettore normale proprio \(\vec{v}\). L'equazione del piano è:

\[-2(x - 0) + 0(y - 1) + 1(z - 1) = 0\] \[-2x + z - 1 = 0\]

Troviamo il punto di intersezione \(H\) tra il piano \(\pi\) e la retta, sostituendo le coordinate parametriche della retta nell'equazione del piano:

\[-2(-1 - 2t) + (4 + t) - 1 = 0\] \[2 + 4t + 4 + t - 1 = 0\] \[5t + 5 = 0 \implies t = -1\]

Sostituendo \(t = -1\) nelle equazioni della retta otteniamo le coordinate del punto di proiezione ortogonale \(H\):

\[\begin{cases} x = -1 - 2(-1) = 1 \\ y = 4 \\ z = 4 + (-1) = 3 \end{cases} \implies H(1; 4; 3)\]

Il raggio della sfera è pari alla distanza \(\overline{CH}\). Calcoliamo direttamente \(R^2\):

\[R^2 = (1 - 0)^2 + (4 - 1)^2 + (3 - 1)^2 =\] \[= 1^2 + 3^2 + 2^2 = 1 + 9 + 4 = 14\]

Determinazione dell'equazione della sfera

L'equazione cartesiana di una superficie sferica con centro \(C(x_0; y_0; z_0)\) e raggio \(R\) è:

\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2\]

Sostituendo le coordinate di \(C(0; 1; 1)\) e \(R^2 = 14\):

\[(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 14\] \[x^2 + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 - 2z + 1) = 14\] \[x^2 + y^2 + z^2 - 2y - 2z + 2 = 14\]

Soluzione del Quesito 6

Per applicare il teorema di Rolle nell'intervallo \([-1; 1]\), la funzione deve soddisfare tre precise condizioni:

1. Essere continua nell'intervallo chiuso \([-1; 1]\).
2. Essere derivabile nell'intervallo aperto \((-1; 1)\).
3. Assumere valori uguali agli estremi dell'intervallo, ovvero \(f(-1) = f(1)\).

1. Verifica della continuità

I due rami della funzione sono composti da funzioni continue nei rispettivi domini. L'unico punto critico da analizzare è lo zero (\(x = 0\)).

Calcoliamo il limite sinistro e il valore della funzione nel punto:

\[\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = a \ln(0 - 0 + 1) = a \ln(1) = 0\]

Calcoliamo il limite destro:

\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2a + 1)e^{1 - \frac{1}{x}}\]

Poiché per \(x \to 0^+\) l'esponente \(\left(1 - \frac{1}{x}\right) \to -\infty\), l'esponenziale tende a zero (\(e^{-\infty} = 0\)):

\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = (2a + 1) \cdot 0 = 0\]

Dato che il limite destro, il limite sinistro e il valore della funzione coincidono (\(0 = 0\)), la funzione è continua in \(x = 0\) per qualsiasi valore di \(a\).

2. Verifica delle condizioni agli estremi (\(f(-1) = f(1)\))

Calcoliamo il valore della funzione in \(x = -1\) (utilizzando il primo ramo):

\[f(-1) = a \ln(e(-1)^2 - (-1)^2 + 1) =\] \[= a \ln(e - 1 + 1) = a \ln(e) = a\]

Calcoliamo il valore della funzione in \(x = 1\) (utilizzando il secondo ramo):

\[f(1) = (2a + 1)e^{1 - \frac{1}{1}} = (2a + 1)e^0 = 2a + 1\]

Imponiamo l'uguaglianza \(f(-1) = f(1)\) richiesta dal teorema di Rolle:

\[a = 2a + 1 \implies a = -1\]

3. Verifica della derivabilità per \(a = -1\)

Sostituiamo \(a = -1\) nella funzione originaria per studiarne la derivabilità:

\[f(x) = \begin{cases} -\ln(ex^2 - x^2 + 1) & \text{se } x \le 0 \\ -e^{1 - \frac{1}{x}} & \text{se } x > 0 \end{cases}\]

Calcoliamo la derivata prima nei due rami per \(x \neq 0\):

Per \(x < 0\):

\[f'(x) = -\frac{2ex - 2x}{ex^2 - x^2 + 1} = -\frac{2x(e - 1)}{x^2(e - 1) + 1}\]

Per \(x > 0\):

\[f'(x) = -e^{1 - \frac{1}{x}} \cdot \left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{e^{1 - \frac{1}{x}}}{x^2}\]

Verifichiamo la derivabilità nel punto di raccordo \(x = 0\) calcolando i limiti della derivata prima:

\[\lim_{x \to 0^-} f'(x) = -\frac{0}{1} = 0\] \[\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(-\frac{e^{1 - \frac{1}{x}}}{x^2}\right)\]

Ponendo \(y = \frac{1}{x}\), per \(x \to 0^+\) si ha \(y \to +\infty\):

\[\lim_{y \to +\infty} -e \cdot \frac{y^2}{e^y} = 0\]

(Poiché l'esponenziale a denominatore è infinito di ordine superiore rispetto all'infinito del numeratore).

Essendo il limite destro e sinistro della derivata uguali (\(0 = 0\)), la funzione è derivabile anche in \(x = 0\).

Soluzione del Quesito 7

Rappresentiamo nel piano cartesiano la figura:

L'area totale del bersaglio coincide con l'area del quadrato unitario:

\[\text{Area}_{\text{totale}} = 1 \cdot 1 = 1\]

La probabilità geometrica che una freccetta colpisca una determinata zona è pari al rapporto tra l'area della zona stessa e l'area totale. Essendo l'area totale pari a \(1\), la probabilità coincide numericamente con l'area della regione considerata.

Calcolo dell'area della regione da 3 punti

Come si osserva dal grafico, la regione contrassegnata dal punteggio "3" è divisa in due parti dalla retta verticale \(x = t\):

• La parte inferiore sinistra, compresa tra l'asse \(x\), la retta \(x = t\) e la parabola \(y = x^2\).
• La parte superiore destra, compresa tra la parabola \(y = x^2\), la retta \(x = t\), la retta \(x = 1\) e la retta superiore del quadrato \(y = 1\).

Calcoliamo l'area della prima parte tramite integrazione:

\[\text{Area}_{3,\text{sx}} = \int_{0}^{t} x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{t} = \frac{t^3}{3}\]

Calcoliamo l'area della seconda parte:

\[\text{Area}_{3,\text{dx}} = \int_{t}^{1} (1 - x^2)\,dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{t}^{1} = \frac{2}{3} - t + \frac{t^3}{3}\]

L'area totale della regione da 3 punti (e quindi la funzione di probabilità \(P(3)\)) è data dalla somma delle due aree:

\[P(3) = \frac{t^3}{3} + \frac{2}{3} - t + \frac{t^3}{3} = \frac{2}{3}t^3 - t + \frac{2}{3}\]

Minimizzazione della probabilità \(P(3)\)

Per trovare il valore di \(t\) che minimizza la probabilità, calcoliamo la derivata prima rispetto a \(t\) e ne studiamo il segno nell'intervallo \(]0; 1[\):

\[P'(t) = \frac{2}{3} \cdot 3t^2 - 1 = 2t^2 - 1\]

Poniamo la derivata maggiore o uguale a zero:

\[2t^2 - 1 \ge 0 \implies t^2 \ge \frac{1}{2} \implies t \ge \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Considerando l'intervallo di definizione \(t \in \ ]0; 1[\), la funzione decresce per \(0 < t < \frac{\sqrt{2}}{2}\) e cresce per \(\frac{\sqrt{2}}{2} < t < 1\). Abbiamo quindi un punto di minimo assoluto in:

\[t = \frac{\sqrt{2}}{2} \cong 0{,}707\]

Distribuzione di probabilità per \(t = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Sostituiamo il valore di \(t\) trovato per calcolare le probabilità associate a ciascun punteggio della variabile casuale.

Punteggio 3:

\[P(3) = \frac{2}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{2}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{3} = \frac{2 - \sqrt{2}}{3} \cong 0{,}195\]

Punteggio 1: Corrisponde all'area del rettangolo di base \(t\) e altezza \(1\), privato della parte inferiore sotto la parabola:

\[P(1) = (t \cdot 1) - \text{Area}_{3,\text{sx}} = t - \frac{t^3}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{5\sqrt{2}}{12} \cong 0{,}589\]

Punteggio 2: Corrisponde all'area sotto la parabola tra \(x = t\) e \(x = 1\):

\[P(2) = \int_{t}^{1} x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{t}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{t^3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{4 - \sqrt{2}}{12} \cong 0{,}215\]

Verifichiamo che la somma delle probabilità sia pari a 1:

\[P(1) + P(2) + P(3) = \frac{5\sqrt{2}}{12} + \frac{4 - \sqrt{2}}{12} + \frac{8 - 4\sqrt{2}}{12} = \frac{12}{12} = 1\]

Soluzione del Quesito 8

Punto a): Dimostrazione dell'invertibilità

Una funzione definita e continua in un intervallo è sicuramente invertibile se è strettamente monotona (ovvero sempre strettamente crescente o sempre strettamente decrescente) in quell'intervallo.

Per studiare la monotonia di \(F(x)\), calcoliamo la sua derivata prima \(F'(x)\). In virtù del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (Torricelli-Barrow), la derivata di una funzione integrale è pari alla funzione integranda valutata nell'estremo superiore di integrazione:

\[F'(x) = \frac{1 + \ln x}{x^2}\]

Studiamo il segno della derivata prima ponendola maggiore di zero nell'intervallo di definizione del logaritmo (\(x > 0\)):

\[F'(x) > 0 \implies \frac{1 + \ln x}{x^2} > 0\]

Poiché il denominatore \(x^2\) è sempre positivo per \(x > 0\), il segno dipende esclusivamente dal numeratore:

\[1 + \ln x > 0 \implies \ln x > -1 \implies x > e^{-1} \implies x > \frac{1}{e}\]

Pertanto, per ogni \(x \in \left]\frac{1}{e}; +\infty\right[\) si ha \(F'(x) > 0\). La funzione \(F(x)\) è strettamente crescente nell'intervallo chiuso a sinistra \(\left[\frac{1}{e}; +\infty\right[\) e, di conseguenza, risulta invertibile in tale intervallo.

Punto b): Risoluzione di \(F(x) = 0\) e calcolo di \(G'(0)\)

L'equazione \(F(x) = 0\) chiede di trovare il valore di \(x\) per cui l'integrale si annulla:

\[\int_{2}^{x} \frac{1 + \ln t}{t^2}\,dt = 0\]

Per una nota proprietà degli integrali definiti, l'integrale si annulla quando l'estremo superiore coincide con l'estremo inferiore di integrazione. Di conseguenza, una soluzione immediata è:

\[x = 2\]

Poiché \(2 > \frac{1}{e}\), tale punto appartiene all'intervallo di invertibilità studiato al punto precedente. Essendo la funzione strettamente monotona in quell'intervallo, la soluzione \(x = 2\) è unica. Abbiamo quindi definito che \(F(2) = 0\).

Per la definizione di funzione inversa \(G\), se \(F(2) = 0\), allora vale la relazione geometrica speculare:

\[G(0) = 2\]

Applichiamo ora il teorema sulla derivata della funzione inversa per calcolare \(G'(0)\):

\[G'(0) = \frac{1}{F'(G(0))} = \frac{1}{F'(2)}\]

Riprendiamo l'espressione della derivata prima \(F'(x)\) calcolata in precedenza e valutiamola nel punto \(x = 2\):

\[F'(2) = \frac{1 + \ln 2}{2^2} = \frac{1 + \ln 2}{4}\]

Sostituendo questo valore nella formula della derivata dell'inversa, otteniamo:

\[G'(0) = \frac{1}{\frac{1 + \ln 2}{4}} = \frac{4}{1 + \ln 2}\]