Simulazione 12 – Problema 1 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del punto 1

Schema geometrico e notazioni

Facciamo riferimento alla figura seguente, in cui il trapezio isoscele \(ECDF\) è circoscritto alla semicirconferenza di raggio \(1\) con centro nel punto \(H\). Il diametro \(EF\) giace sulla base maggiore, l'altezza è il raggio \(GH = 1\), e \(x\) denota l'angolo acuto del trapezio nel vertice inferiore sinistro \(E\).

L'area del trapezio è:

\[S(x) = \frac{(EF + CD) \cdot GH}{2}\]

dove \(GH = 1\) è l'altezza. Calcoliamo \(EF\) e \(CD\) in funzione di \(x\).

Calcolo dei lati

Detto \(H\) il punto di tangenza sulla base maggiore, la distanza dal vertice \(E\) a tale punto è:

\[EH = \frac{1}{\sin x}\]

Il segmento \(EL\) (proiezione orizzontale) vale:

\[EL = 1 \cdot \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\]

Pertanto:

\[HL = EH - EL = \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}\]

Per la simmetria del trapezio:

\[EF = 2\,EH = \frac{2}{\sin x} \qquad \text{e} \qquad CD = 2\,HL = \frac{2(1-\cos x)}{\sin x}\]

Formula dell'area

\[S(x) = \frac{\left(\dfrac{2}{\sin x} + \dfrac{2(1-\cos x)}{\sin x}\right) \cdot 1}{2} =\] \[=\frac{1 + 1 - \cos x}{\sin x} = \frac{2 - \cos x}{\sin x}\]

Dominio fisico: affinché il trapezio sia non degenere e \(x\) sia un angolo acuto, deve essere \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\).

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Soluzione del punto 2

Studiamo \(S(x) = \dfrac{2 - \cos x}{\sin x}\) in \((0,\, 2\pi)\). Le limitazioni fisiche impongono \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\).

Dominio

Occorre \(\sin x \neq 0\), quindi \(x \neq k\pi\). Nell'intervallo considerato:

\[\text{Dom} = (0,\,\pi) \cup (\pi,\, 2\pi)\]

Intersezioni con gli assi

Per \(x = 0\) la funzione non è definita. Imponendo \(S(x) = 0\) si ottiene \(\cos x = 2\), impossibile. Il grafico non interseca né l'asse \(x\) né l'asse \(y\).

Segno della funzione

Il numeratore \(2 - \cos x \geq 1 > 0\) sempre. Quindi il segno coincide con quello di \(\sin x\):

• \(S(x) > 0\) per \(0 < x < \pi\).
• \(S(x) < 0\) per \(\pi < x < 2\pi\).

Limiti e asintoti verticali

\[\lim_{x \to 0^+} S(x) = +\infty \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ è asintoto verticale}\] \[\lim_{x \to \pi^-} S(x) = +\infty \qquad \lim_{x \to \pi^+} S(x) = -\infty \quad \Rightarrow \quad x = \pi \text{ è asintoto verticale}\] \[\lim_{x \to 2\pi^-} S(x) = -\infty \quad \Rightarrow \quad x = 2\pi \text{ è asintoto verticale}\]

Derivata prima

Con la regola del quoziente:

\[S'(x) = \frac{\sin x \cdot \sin x - (2 - \cos x) \cdot \cos x}{\sin^2 x} =\] \[=\frac{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\cos x}{\sin^2 x} = \frac{1 - 2\cos x}{\sin^2 x}\]

(usando \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)).

Il denominatore \(\sin^2 x > 0\) sempre nel dominio. Il segno dipende dal numeratore \(1 - 2\cos x\):

\[S'(x) \geq 0 \iff \cos x \leq \frac{1}{2} \iff \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{5\pi}{3}\]

• \(S\) è decrescente per \(0 < x < \dfrac{\pi}{3}\) e per \(\dfrac{5\pi}{3} < x < 2\pi\).
• \(S\) è crescente per \(\dfrac{\pi}{3} < x < \pi\) e per \(\pi < x < \dfrac{5\pi}{3}\).

Minimo relativo in \(x = \dfrac{\pi}{3}\):

\[S\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2 - \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =\] \[=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\]

Massimo relativo in \(x = \dfrac{5\pi}{3}\):

\[S\!\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{2 - \frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} =\] \[-\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \approx -1{,}732\]

Derivata seconda e concavità

\[S''(x) = \frac{2\sin x\!\left(\sin^2 x - \cos x + 2\cos^2 x\right)}{\sin^4 x}\]

Il fattore \(\cos^2 x - \cos x + 1\) ha discriminante \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\), quindi è sempre positivo. Il segno di \(S''(x)\) coincide con quello di \(\sin x\):

• \(S''(x) > 0\) per \(0 < x < \pi\): concavità verso l'alto.
• \(S''(x) < 0\) per \(\pi < x < 2\pi\): concavità verso il basso.

Non vi sono punti di flesso.

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Soluzione del punto 3

Espressione di \(p(x)\)

Con distribuzione uniforme, la probabilità che un punto casuale nel trapezio cada nel semicerchio è il rapporto tra le aree:

\[p(x) = \frac{\text{Area(semicerchio)}}{\text{Area(trapezio)}} = \frac{\dfrac{\pi}{2}}{S(x)} = \frac{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{2-\cos x}{\sin x}} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sin x}{2 - \cos x}\]

L'area del semicerchio di raggio \(1\) è \(\dfrac{\pi}{2}\), quindi:

La funzione \(p(x)\) si ottiene invertendo \(S(x)\) e moltiplicando per \(\dfrac{\pi}{2}\).

Studio di \(p(x)\) in \(\left[0,\, \dfrac{\pi}{2}\right]\)

Valori agli estremi:

• \(p(0) = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{0}{1} = 0\). Il punto \((0;\,0)\) appartiene al grafico.
• \(p\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785\).

Derivata prima:

\[p'(x) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\cos x(2 - \cos x) - \sin^2 x}{(2 - \cos x)^2} =\] \[=\frac{\pi}{2} \cdot \frac{2\cos x - 1}{(2 - \cos x)^2}\]

Il denominatore è sempre positivo. Il segno dipende da \(2\cos x - 1\):

• Positivo per \(0 \leq x < \dfrac{\pi}{3}\): \(p\) è crescente.
• Nullo in \(x = \dfrac{\pi}{3}\): massimo assoluto.
• Negativo per \(\dfrac{\pi}{3} < x \leq \dfrac{\pi}{2}\): \(p\) è decrescente.

Valore del massimo:

\[p\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \approx 0{,}907\]

Coerente con \(S\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\), poiché \(p = \dfrac{\pi}{2S}\).

I seguenti grafico mostrano come si passa da \(S(x)\) a \(p(x)\).

Nel secondo grafico la funzione \(S(x)\) è indicata con \(f(x)\)

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Soluzione del punto 4

Formula del valore medio

Il valore medio di \(p\) su \([a,b]\) è:

\[\bar{p} = \frac{1}{b-a}\int_a^b p(x)\,dx\]

Con \(a = 0\) e \(b = \dfrac{\pi}{2}\):

\[\bar{p} = \frac{1}{\dfrac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sin x}{2 - \cos x}\,dx =\] \[= \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x}\,dx =\] \[=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x}\,dx\]

Calcolo dell'integrale

Al numeratore compare \(\sin x\), che è la derivata del denominatore \(2 - \cos x\). Eseguiamo la sostituzione:

\[u = 2 - \cos x \implies du = \sin x\,dx\]

Nuovi estremi: \(x = 0 \Rightarrow u = 1\); \(x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow u = 2\). L'integrale diventa:

\[\int_1^2 \frac{du}{u} = \Big[\ln|u|\Big]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2\]

Il valore assoluto è superfluo poiché \(u \in [1,2] > 0\), ma è corretto includerlo nella primitiva generale di \(\dfrac{1}{u}\).

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In alternativa, riconoscendo la forma \(\dfrac{f'(x)}{f(x)}\), poiché la derivata di \(2 - \cos x\) è \(\sin x\), si ha:

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x}\,dx = \Big[\ln|2-\cos x|\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} =\] \[=\ln|2 - 0| - \ln|2 - 1| = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2\]

Il valore assoluto è ridondante perché \(2 - \cos x \geq 1 > 0\) per ogni \(x \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\), ma è buona norma scriverlo nella primitiva generale.

Interpretazione geometrica

Il valore medio \(\bar{p} = \ln 2 \approx 0{,}693\) è l'altezza del rettangolo verde (vertici \(O\), \(C\), \(D\), \(A\)) avente la stessa area della regione rosa sottesa dalla curva \(\omega\) su \(\left[0,\,\dfrac{\pi}{2}\right]\). Si noti che \(\bar{p}\) è inferiore al massimo \(M \approx 0{,}907\) e al valore finale \(B \approx 0{,}785\), coerentemente con l'andamento crescente poi decrescente della funzione.

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