Simulazione 12 - Problema 1 - Esame di Stato 2026

Soluzione del punto 1

Schema geometrico e notazioni

Facciamo riferimento alla figura, in cui il trapezio isoscele \(ECDF\) è circoscritto alla semicirconferenza di raggio \(1\) con centro nel punto \(H\). Il diametro giace sulla base maggiore \(EF\) e l'altezza del trapezio è pari al raggio \(GH = CL = 1\). Indichiamo con \(x\) l'angolo acuto \(\widehat{CEF}\) del trapezio.

L'area del trapezio si calcola con la formula:

\[S(x) = \frac{(EF + CD) \cdot CL}{2}\]

dove l'altezza \(CL = 1\). Esprimiamo la base maggiore \(EF\) e la base minore \(CD\) in funzione di \(x\).

Calcolo delle basi del trapezio

Il raggio condotto nel punto di tangenza \(K\) è perpendicolare al lato obliquo \(EC\), pertanto il triangolo \(\triangle EKH\) è rettangolo in \(K\). In questo triangolo, il cateto \(HK = 1\) (raggio della semicirconferenza) è opposto all'angolo \(x\). Possiamo ricavare l'ipotenusa \(EH\), che rappresenta la metà della base maggiore:

\[EH = \frac{HK}{\sin x} = \frac{1}{\sin x}\]

Per simmetria del trapezio, la base maggiore \(EF\) vale:

\[EF = 2 \cdot EH = \frac{2}{\sin x}\]

Consideriamo ora il triangolo rettangolo \(\triangle ECL\), dove il cateto \(CL = 1\) rappresenta l'altezza del trapezio. Il segmento \(EL\), che costituisce la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore, è dato da:

\[EL = CL \cdot \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\]

Per le proprietà geometriche del trapezio isoscele, la base minore \(CD\) può essere espressa come la differenza tra la base maggiore e il doppio di tale proiezione (\(CD = EF - 2 \cdot EL\)):

\[CD = \frac{2}{\sin x} - 2\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = \frac{2(1 - \cos x)}{\sin x}\]

Formula dell'area

Sostituendo le espressioni delle basi nella formula dell'area si ottiene:

\[S(x) = \frac{\left(\dfrac{2}{\sin x} + \dfrac{2(1-\cos x)}{\sin x}\right) \cdot 1}{2} =\] \[=\frac{\dfrac{2 + 2 - 2\cos x}{\sin x}}{2} = \frac{4 - 2\cos x}{2\sin x} = \frac{2 - \cos x}{\sin x}\]

Dominio fisico del problema: affinché il trapezio esista e sia non degenere, l'angolo \(x\) deve essere strettamente acuto, ovvero: \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\).

Soluzione del punto 2

Studiamo la funzione \(S(x) = \dfrac{2 - \cos x}{\sin x}\) nell'intervallo \(0 < x < 2\pi\) (ricordando che le limitazioni fisiche del problema impongono \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\)).

Dominio

La funzione richiede \(\sin x \neq 0\), quindi \(x \neq k\pi\) con \(k\) intero. Nell'intervallo considerato:

\[\text{Dom} = (0,\pi) \cup (\pi, 2\pi)\]

Intersezioni con gli assi

Per \(x = 0\) la funzione non è definita. Imponendo \(S(x) = 0\) si ottiene \(\cos x = 2\), che non ha soluzioni reali. Il grafico pertanto non interseca né l'asse delle ascisse né quello delle ordinate.

Segno della funzione

Il numeratore \(2 - \cos x \geq 1 > 0\) per ogni \(x\) (poiché \(\cos x \leq 1\)). Quindi il segno di \(S(x)\) coincide con quello di \(\sin x\):

• \(S(x) > 0\) per \(0 < x < \pi\) (dove \(\sin x > 0\)).
• \(S(x) < 0\) per \(\pi < x < 2\pi\) (dove \(\sin x < 0\)).

Limiti e asintoti verticali

\[\lim_{x \to 0^+} S(x) = \frac{2 - 1}{0^+} = +\infty \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ è asintoto verticale}\] \[\lim_{x \to \pi^-} S(x) = \frac{2-(-1)}{0^+} = +\infty \qquad \lim_{x \to \pi^+} S(x) = \frac{3}{0^-} = -\infty \quad \Rightarrow \quad x = \pi \text{ è asintoto verticale}\] \[\lim_{x \to 2\pi^-} S(x) = \frac{2-1}{0^-} = -\infty \quad \Rightarrow \quad x = 2\pi \text{ è asintoto verticale}\]

Derivata prima

Derivando con la regola del quoziente:

\[S'(x) = \frac{\sin x \cdot \sin x - (2 - \cos x) \cdot \cos x}{\sin^2 x} =\] \[=\frac{\sin^2 x - 2\cos x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1 - 2\cos x}{\sin^2 x}\]

(avendo usato \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)).

Il segno di \(S'(x)\) dipende esclusivamente dal numeratore \(1 - 2\cos x\), poiché il denominatore \(\sin^2 x > 0\) sempre (nel dominio). Pertanto:

\[S'(x) \geq 0 \iff 1 - 2\cos x \geq 0 \iff \cos x \leq \frac{1}{2} \iff \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{5\pi}{3}\]

(con le limitazioni del dominio). Quindi:

• \(S\) è decrescente per \(0 < x < \dfrac{\pi}{3}\) e per \(\dfrac{5\pi}{3} < x < 2\pi\).
• \(S\) è crescente per \(\dfrac{\pi}{3} < x < \pi\) e per \(\pi < x < \dfrac{5\pi}{3}\).

Abbiamo un minimo relativo in \(x = \dfrac{\pi}{3}\):

\[S\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2 - \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\]

e un massimo relativo in \(x = \dfrac{5\pi}{3}\):

\[S\!\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{2 - \frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \approx -1{,}732\]

Derivata seconda e concavità

Derivando \(S'(x)\) si ottiene:

\[S''(x) = \frac{2\sin^3 x - 2\sin x\cos x + 4\sin x\cos^2 x}{\sin^4 x} =\] \[=\frac{2\sin x(\sin^2 x - \cos x + 2\cos^2 x)}{\sin^4 x}\]

Il fattore tra parentesi si riscrive come \(\cos^2 x - \cos x + 1\). Questo trinomio in \(\cos x\) ha discriminante \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\) e coefficiente direttivo positivo, quindi è sempre positivo. Pertanto il segno di \(S''(x)\) coincide con quello di \(\sin x\):

• \(S''(x) > 0\) per \(0 < x < \pi\): concavità verso l'alto.
• \(S''(x) < 0\) per \(\pi < x < 2\pi\): concavità verso il basso.

Non vi sono punti di flesso nell'intervallo di studio.

Soluzione del punto 3

Espressione di \(p(x)\)

Scegliendo un punto a caso all'interno del trapezio con distribuzione uniforme, la probabilità che cada all'interno del semicerchio è il rapporto tra le due aree:

\[p(x) = \frac{\text{Area(semicerchio)}}{\text{Area(trapezio)}} = \frac{\dfrac{\pi}{2}}{S(x)} = \frac{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{2-\cos x}{\sin x}} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sin x}{2 - \cos x}\]

L'area del semicerchio di raggio \(1\) vale \(\dfrac{\pi \cdot 1^2}{2} = \dfrac{\pi}{2}\). Quindi:

La funzione \(p(x)\) si ottiene prima invertendo \(S(x)\) e poi dilatando per il fattore \(\dfrac{\pi}{2}\).

Studio di \(p(x)\) in \(\left[0,\, \dfrac{\pi}{2}\right]\)

Dominio e comportamento agli estremi:

• In \(x = 0\): \(p(0) = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{\sin 0}{2 - \cos 0} = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{0}{1} = 0\). Il punto \((0,\,0)\) appartiene al grafico.
• In \(x = \dfrac{\pi}{2}\): \(p\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785\). Il punto \(\left(\dfrac{\pi}{2},\, \dfrac{\pi}{4}\right)\) appartiene al grafico.

Derivata prima: derivando \(p(x) = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{\sin x}{2 - \cos x}\) con la regola del quoziente:

\[p'(x) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\cos x(2 - \cos x) - \sin x \cdot \sin x}{(2 - \cos x)^2} =\] \[=\frac{\pi}{2} \cdot \frac{2\cos x - \cos^2 x - \sin^2 x}{(2 - \cos x)^2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2\cos x - 1}{(2 - \cos x)^2}\]

Il denominatore è sempre positivo. Il numeratore \(2\cos x - 1\) è:

• positivo per \(0 \leq x < \dfrac{\pi}{3}\): la funzione è crescente.
• nullo in \(x = \dfrac{\pi}{3}\): massimo relativo (e assoluto sull'intervallo).
• negativo per \(\dfrac{\pi}{3} < x \leq \dfrac{\pi}{2}\): la funzione è decrescente.

Il valore del massimo è:

\[p\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \dfrac{1}{2}} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \approx 0{,}907\]

Si noti che \(p\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\pi\sqrt{3}}{6} = \dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\) è coerente con \(S\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\), poiché \(p = \dfrac{\pi}{2S}\).

Soluzione del punto 4

Formula del valore medio

Il valore medio di una funzione \(f\) su un intervallo \([a,b]\) è definito come:

\[\bar{p} = \frac{1}{b-a}\int_a^b p(x)\,dx\]

Nel nostro caso \(a = 0\), \(b = \dfrac{\pi}{2}\), quindi:

\[\bar{p} = \frac{1}{\dfrac{\pi}{2} - 0} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sin x}{2 - \cos x}\,dx =\] \[=\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x}\,dx\]

Calcolo dell'integrale

Osserviamo che al numeratore compare \(\sin x\), che è la derivata del denominatore \(2 - \cos x\). Eseguiamo la sostituzione:

\[u = 2 - \cos x \implies du = \sin x\,dx\]

con i nuovi estremi: \(x=0 \Rightarrow u=1\); \(x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow u=2\). L'integrale diventa:

\[\int_1^2 \frac{du}{u} = \Big[\ln|u|\Big]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2\]

Il valore assoluto è qui superfluo poiché \(u \in [1,2] > 0\), ma è corretto includerlo nella primitiva generale di \(\dfrac{1}{u}\).

In alternativa, riconoscendo direttamente la forma \(\dfrac{f'(x)}{f(x)}\), poiché la derivata di \(2 - \cos x\) è \(\sin x\), si ha:

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 - \cos x}\,dx = \Big[\ln|2-\cos x|\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} =\] \[=\ln|2 - 0| - \ln|2 - 1| = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2\]

Anche qui il valore assoluto è ridondante perché \(2 - \cos x \geq 1 > 0\) per ogni \(x \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\), ma è buona norma scriverlo nella primitiva generale.