Simulazione 12 - Problema 2 - Esame di Stato 2026

Soluzione del punto a

Determinazione dei parametri

Affinché la retta \(y = 2x\) sia tangente al grafico della funzione \(f(x) = (x + a)\sqrt{b - x^2}\) nell'origine degli assi \(O(0;\,0)\), devono essere soddisfatte contemporaneamente due condizioni geometriche:

1. Condizione di appartenenza: Il grafico della funzione deve passare per l'origine, ossia \(f(0) = 0\).
2. Condizione di tangenza: La derivata prima della funzione valutata nell'origine deve essere uguale al coefficiente angolare della retta tangente, ossia \(f'(0) = 2\).

Imponiamo la prima condizione:

\[f(0) = (0 + a)\sqrt{b - 0^2} = a\sqrt{b} = 0\]

Poiché per l'esistenza della funzione nell'origine deve essere \(b > 0\), si deduce immediatamente:

\[a = 0\]

La funzione si riduce pertanto a \(f(x) = x\sqrt{b - x^2}\). Calcoliamo la derivata prima applicando la regola di derivazione del prodotto:

\[f'(x) = 1 \cdot \sqrt{b - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{b - x^2}} = \sqrt{b - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{b - x^2}}\] \[f'(x) = \frac{b - x^2 - x^2}{\sqrt{b - x^2}} = \frac{b - 2x^2}{\sqrt{b - x^2}}\]

Imponiamo la seconda condizione calcolando la derivata in \(x = 0\):

\[f'(0) = \frac{b - 2(0)^2}{\sqrt{b - 0^2}} = \frac{b}{\sqrt{b}} = \sqrt{b}\]

Uguagliando tale valore al coefficiente angolare della tangente (\(m = 2\)), otteniamo:

\[\sqrt{b} = 2 \implies b = 4\]

Soluzione del punto b

1. Dominio della funzione

La funzione da studiare è \(f(x) = x\sqrt{4 - x^2}\). Essendo una funzione irrazionale algebrica con indice pari, il suo dominio coincide con l'intervallo in cui il radicando è non negativo:

\[4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2\]

Il dominio della funzione è quindi l'intervallo chiuso e limitato: \(D = [-2;\, 2]\).

2. Simmetrie

Valutiamo il comportamento della funzione sostituendo \(x\) con \(-x\):

\[f(-x) = (-x)\sqrt{4 - (-x)^2} = -x\sqrt{4 - x^2} = -f(x)\]

Poiché \(f(-x) = -f(x)\), la funzione è dispari. Il suo grafico risulta pertanto simmetrico rispetto all'origine degli assi \(O(0;\,0)\).

3. Intersezioni con gli assi e segno della funzione

Troviamo le intersezioni con l'asse delle ascisse ponendo \(f(x) = 0\):

\[x\sqrt{4 - x^2} = 0 \implies x = 0 \quad \lor \quad 4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2\]

La curva interseca gli assi cartesiani nei punti \(A(-2;\,0)\), \(F(0;\,0)\) e \(B(2;\,0)\).

Studiamo il segno della funzione risolvendo \(f(x) > 0\). Poiché la radice quadrata è sempre strettamente positiva all'interno dell'intervallo \((-2;\,2)\), il segno dipende esclusivamente dal fattore monomio \(x\):

\[f(x) > 0 \implies x > 0 \text{ in } (0;\,2)\] \[f(x) < 0 \implies x < 0 \text{ in } (-2;\,0)\]

4. Limiti e continuità nei punti di frontiera

La funzione è continua in tutto il suo dominio \(D\) in quanto composizione e prodotto di funzioni continue. Trattandosi di un intervallo chiuso e limitato, non vi sono asintoti verticali, orizzontali o obliqui. Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del dominio:

\[f(-2) = 0 \qquad \text{e} \qquad f(2) = 0\]

5. Derivata prima e ricerca dei punti stazionari

Calcoliamo la derivata prima della funzione nell'intervallo aperto \((-2;\,2)\) applicando la regola del prodotto:

\[f'(x) = 1 \cdot \sqrt{4 - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \sqrt{4 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}}\] \[f'(x) = \frac{4 - x^2 - x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}}\]

Notiamo che nei punti \(x = \pm 2\) il denominatore si annulla, pertanto la funzione non è derivabile agli estremi del dominio. Studiamo il limite della derivata prima per capire il comportamento geometrico agli estremi:

\[\lim_{x \to -2^+} f'(x) = \frac{4 - 8}{0^+} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 2^-} f'(x) = \frac{4 - 8}{0^+} = -\infty\]

Il grafico presenta nei punti di frontiera \(A(-2;\,0)\) e \(B(2;\,0)\) delle tangenti verticali.

Determiniamo ora i punti stazionari studiando il segno della derivata prima nell'intervallo \((-2;\,2)\):

\[f'(x) > 0 \implies 4 - 2x^2 > 0 \implies x^2 < 2 \implies -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}\]

Dall'analisi del segno ricaviamo che:

• La funzione decresce per \(-2 < x < -\sqrt{2}\) e per \(\sqrt{2} < x < 2\).
• La funzione cresce per \(-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}\).

In \(x = -\sqrt{2}\) troviamo un punto di minimo relativo e assoluto \(m\). Le sue coordinate sono:

\[x = -\sqrt{2} \approx -1.41 \implies f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}\sqrt{4 - 2} = -\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = -2 \implies m(-\sqrt{2};\,-2)\]

In \(x = \sqrt{2}\) troviamo un punto di massimo relativo e assoluto \(M\). Le sue coordinate sono:

\[x = \sqrt{2} \approx 1.41 \implies f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}\sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2 \implies M(\sqrt{2};\,2)\]

6. Derivata seconda e studio della concavità

Calcoliamo la derivata seconda a partire da \(f'(x) = \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}}\):

\[f''(x) = \frac{-4x\sqrt{4 - x^2} - (4 - 2x^2)\frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}}}{4 - x^2} = \frac{-4x(4 - x^2) + x(4 - 2x^2)}{(4 - x^2)\sqrt{4 - x^2}}\] \[f''(x) = \frac{-16x + 4x^3 + 4x - 2x^3}{(4 - x^2)\sqrt{4 - x^2}} = \frac{2x^3 - 12x}{(4 - x^2)\sqrt{4 - x^2}} = \frac{2x(x^2 - 6)}{(4 - x^2)\sqrt{4 - x^2}}\]

Studiamo il segno di \(f''(x)\) nel dominio \((-2;\,2)\). Il denominatore è sempre positivo, il fattore \((x^2 - 6)\) è sempre negativo poiché l'intervallo \([-2;\,2]\) si trova interamente all'interno delle sue radici (\(\pm\sqrt{6} \approx \pm 2.45\)):

\[f''(x) > 0 \implies 2x(x^2 - 6) > 0 \implies x < 0\]

Da ciò deduciamo che:

• Il grafico rivolge la concavità verso l'alto per \(-2 < x < 0\).
• Il grafico rivolge la concavità verso il basso per \(0 < x < 2\).

In \(x = 0\) si ha un cambio di concavità, che conferma la presenza di un punto di flesso nell'origine degli assi \(F(0;\,0)\).

Soluzione del punto c

1. Calcolo dell'area della regione \(R\)

La regione \(R\) si trova nel primo quadrante, dove la funzione \(f(x) = x\sqrt{4-x^2}\) è positiva nell'intervallo \([0;\, 2]\). L'area si ottiene calcolando l'integrale definito della funzione in questo intervallo:

\[\text{Area}(R) = \int_{0}^{2} x\sqrt{4-x^2} \, dx\]

Per risolvere l'integrale, possiamo riscriverlo evidenziando la derivata del radicando, ossia \(-2x\), moltiplicando e dividendo per \(-2\):

\[\text{Area}(R) = -\frac{1}{2} \int_{0}^{2} (-2x)(4-x^2)^{\frac{1}{2}} \, dx\]

Applicando la regola di integrazione immediata \(\int f'(x) \cdot [f(x)]^n \, dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}\), otteniamo:

\[\text{Area}(R) = -\frac{1}{2} \left[ \frac{(4-x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ \sqrt{(4-x^2)^3} \right]_{0}^{2}\] \[\text{Area}(R) = -\frac{1}{3} \left[ \sqrt{(4-2^2)^3} - \sqrt{(4-0^2)^3} \right] = -\frac{1}{3} \left[ 0 - \sqrt{64} \right] =\] \[=-\frac{1}{3} (-8) = \frac{8}{3}\]

Il valore dell'area è \(\frac{8}{3} \approx 2.67\), coerentemente con quanto mostrato nella simulazione geometrica.

2. Calcolo del volume del solido \(S\)

Il volume \(V\) del solido \(S\) generato dalla rotazione completa della regione \(R\) attorno all'asse \(x\) si calcola applicando la formula del metodo dei dischi:

\[V = \pi \int_{0}^{2} [f(x)]^2 \, dx\]

Sostituiamo l'espressione della funzione elevata al quadrato:

\[[f(x)]^2 = \left(x\sqrt{4-x^2}\right)^2 = x^2(4-x^2) = 4x^2 - x^4\]

Impostiamo e risolviamo l'integrale definito, che ora si presenta in forma polinomiale semplice:

\[V = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \, dx = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2}\]

Valutiamo la primitiva negli estremi di integrazione \(2\) e \(0\):

\[V = \pi \left( \left[ \frac{4}{3}(2)^3 - \frac{(2)^5}{5} \right] - 0 \right) = \pi \left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right)\]

Portiamo allo stesso denominatore comune (\(15\)):

\[V = \pi \left( \frac{160 - 96}{15} \right) = \frac{64}{15}\pi\]

Soluzione del punto d

Modellizzazione geometrica del problema

Consideriamo un generico punto \(C(t;\, f(t))\) appartenente al grafico della funzione \(f(x) = x\sqrt{4-x^2}\) situato nel primo quadrante. Le limitazioni geometriche per il parametro \(t\) sono definite dall'intervallo aperto:

\[0 < t < 2\]

La rotazione completa della regione \(R\) attorno all'asse \(x\) genera il solido \(S\). Il cono inscritto ha:

• Il vertice posizionato nell'origine degli assi \(O(0;\,0)\).
• L'altezza \(h\) pari all'ascissa del punto \(C\): \(h = x_C = t\).
• Il raggio di base \(R\) pari all'ordinata del punto \(C\): \(R = y_C = t\sqrt{4-t^2}\).

Studio della funzione Volume

La formula del volume del cono è \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 h\). Sostituendo le relazioni trovate in funzione di \(t\), otteniamo:

\[V(t) = \frac{1}{3}\pi \left(t\sqrt{4-t^2}\right)^2 \cdot t = \frac{1}{3}\pi \cdot t^2(4-t^2) \cdot t = \frac{1}{3}\pi t^3(4-t^2)\] \[V(t) = \frac{1}{3}\pi (4t^3 - t^5)\]

Per massimizzare il volume \(V(t)\) nell'intervallo \(0 < t < 2\), è sufficiente studiare il massimo della funzione polinomiale \(Z(t) = 4t^3 - t^5\), tralasciando la costante positiva \(\frac{1}{3}\pi\):

\[Z'(t) = 12t^2 - 5t^4\]

Scomponiamo e studiamo il segno della derivata prima ponendo \(Z'(t) \ge 0\):

\[t^2(12 - 5t^2) \ge 0\]

Poiché \(t^2 > 0\) per ogni \(t \in (0;\,2)\), il segno dipende esclusivamente dal secondo fattore:

\[12 - 5t^2 \ge 0 \implies 5t^2 \le 12 \implies t^2 \le \frac{12}{5} \implies -\sqrt{\frac{12}{5}} \le t \le \sqrt{\frac{12}{5}}\]

Semplificando il radicale positivo, otteniamo la posizione del punto stazionario:

\[t = \sqrt{\frac{12}{5}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{15}}{5} \approx 1.55\]

Analizzando l'intervallo di interesse \((0;\,2)\):

• Per \(0 < t < \sqrt{\frac{12}{5}}\), si ha \(Z'(t) > 0\), quindi il volume cresce.
• Per \(\sqrt{\frac{12}{5}} < t < 2\), si ha \(Z'(t) < 0\), quindi il volume decresce.

Il punto \(t = \sqrt{\frac{12}{5}}\) rappresenta pertanto il punto di massimo assoluto della funzione.

Determinazione delle dimensioni ottimali

Calcoliamo i valori ottimali dell'altezza \(h\) e del raggio \(R\) corrispondenti a questo valore di \(t\):

\[h = t = \sqrt{\frac{12}{5}} = \frac{2\sqrt{15}}{5}\] \[R = t\sqrt{4-t^2} = \sqrt{\frac{12}{5}} \cdot \sqrt{4 - \frac{12}{5}} = \sqrt{\frac{12}{5}} \cdot \sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{\sqrt{96}}{5} = \frac{4\sqrt{6}}{5}\]