Simulazione 12 - Questionario - Esame di Stato 2026

Soluzione del Quesito 1

1. Equazione cartesiana del piano

L'equazione di un piano passante per un generico punto \( P(x_0, y_0, z_0) \) e perpendicolare a un vettore normale \( \vec{n}(a, b, c) \) è definita dalla relazione:

\[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \]

Sostituendo le coordinate del punto \( P(1, 2, -1) \) e i componenti del vettore \( \vec{v}(2, -1, 4) \), ricaviamo:

\[ 2(x - 1) - 1(y - 2) + 4(z - (-1)) = 0 \] \[ 2x - 2 - y + 2 + 4z + 4 = 0 \implies \pi: 2x - y + 4z + 4 = 0 \]

2. Verifica della perpendicolarità tra piano e retta

I componenti del vettore direttore della retta \( r \) si deducono direttamente dai coefficienti del parametro \( t \) nelle equazioni parametriche, ottenendo \( \vec{u}(-2, 1, 2) \).

Affinché il piano \( \pi \) e la retta \( r \) siano tra loro perpendicolari, il vettore normale del piano \( \vec{v} \) deve risultare parallelo (cioè proporzionale) al vettore direttore della retta \( \vec{u} \). Verifichiamo la proporzionalità tra i componenti dei due vettori:

\[ \frac{2}{-2} = \frac{-1}{1} \neq \frac{4}{2} \]

Poiché il rapporto tra i componenti associati all'asse \( z \) non uguaglia i precedenti, i vettori non sono paralleli. Di conseguenza, il piano e la retta non sono perpendicolari.

3. Dimostrazione che la retta \( r \) e la normale \( n \) sono sghembe

La retta normale \( n \) passante per \( P(1, 2, -1) \) e diretta come \( \vec{v}(2, -1, 4) \) può essere espressa in forma parametrica introducendo un parametro \( h \):

\[ n: \begin{cases} x = 1 + 2h \\ y = 2 - h \\ z = -1 + 4h \end{cases} \]

Per determinare un'eventuale intersezione, poniamo a sistema le componenti omologhe di \( n \) e della retta \( r \):

\[ \begin{cases} 1 + 2h = 1 - 2t \\ 2 - h = 3 + t \\ -1 + 4h = 2t \end{cases} \implies \begin{cases} h = -t \\ 2 - (-t) = 3 + t \implies 2 = 3 \quad \text{(Impossibile)} \\ \dots \end{cases} \]

Il sistema risulta palesemente impossibile, provando che le due rette non hanno punti di contatto. Essendo prive di intersezioni e non parallele, le rette sono sghembe.

4. Calcolo della minima distanza tramite la perpendicolare comune

La distanza tra due rette sghembe è definita come la lunghezza del segmento perpendicolare ad entrambe le rette.

Indichiamo con \( A \) il punto generico appartenente alla retta normale \( n \) e con \( B \) il punto generico della retta \( r \):

\[ A(1 + 2h, \; 2 - h, \; -1 + 4h) \] \[ B(1 - 2t, \; 3 + t, \; 2t) \]

Il vettore congiungente \( \vec{AB} = B - A \) è descritto dalle coordinate:

\[ \vec{AB} = (-2t - 2h, \; 1 + t + h, \; 1 + 2t - 4h) \]

Imponiamo che il vettore \( \vec{AB} \) risulti ortogonale a entrambe le rette richiedendo che il prodotto scalare con i rispettivi vettori direttori \( \vec{v} \) e \( \vec{u} \) sia nullo:

• Perpendicolarità alla normale \( n \) (\( \vec{AB} \cdot \vec{v} = 0 \)): \[ 2(-2t - 2h) - 1(1 + t + h) + 4(1 + 2t - 4h) = 0 \implies\] \[t - 7h + 1 = 0 \]
• Perpendicolarità alla retta \( r \) (\( \vec{AB} \cdot \vec{u} = 0 \)): \[ -2(-2t - 2h) + 1(1 + t + h) + 2(1 + 2t - 4h) = 0 \implies\] \[3t - h + 1 = 0 \]

Risolviamo il sistema lineare composto dalle due condizioni trovate:

\[ \begin{cases} t - 7h = -1 \\ 3t - h = -1 \end{cases} \]

Dalla seconda equazione esplicitiamo \( h = 3t + 1 \) e lo sostituiamo all'interno della prima relazione:

\[ t - 7(3t + 1) = -1 \implies t - 21t - 7 = -1 \implies -20t = 6 \implies\] \[t = -\frac{3}{10} \]

Sostituendo a ritroso il valore trovato per \( t \), ricaviamo il parametro \( h \):

\[ h = 3\left(-\frac{3}{10}\right) + 1 = -\frac{9}{10} + 1 = \frac{1}{10} \]

Sostituendo i valori ottimali dei parametri \( t \) e \( h \), determiniamo le coordinate esplicite dei punti di minima distanza \( A \) e \( B \):

\[ A\left(\frac{6}{5}, \; \frac{19}{10}, \; -\frac{3}{5}\right), \quad B\left(\frac{8}{5}, \; \frac{27}{10}, \; -\frac{3}{5}\right) \]

Il vettore della perpendicolare comune assume la configurazione:

\[ \vec{AB} = B - A = \left(\frac{2}{5}, \; \frac{4}{5}, \; 0\right) \]

La minima distanza coincide con il calcolo della norma del segmento \( AB \):

\[ d(r, n) = |\vec{AB}| = \sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + 0^2} =\] \[=\sqrt{\frac{4}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{20}{25}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Soluzione del Quesito 2

Il problema chiede di stabilire se, noto solo il rapporto tra le basi di un trapezio isoscele, sia determinabile il rapporto tra i volumi dei due solidi generati dalla rotazione completa del trapezio attorno alle sue basi. La risposta è affermativa: il problema è perfettamente determinato poiché le costanti incognite legate alle dimensioni assolute del trapezio si elidono durante il calcolo geometrico.

Definiamo le variabili geometriche del trapezio isoscele \(ABCD\):

• Base minore: \(CD = x\) (con \(x > 0\))
• Base maggiore: \(AB = 7x\) (in quanto il rapporto \(AB/CD = 7\))
• Altezza del trapezio: \(h\)

Essendo il trapezio isoscele, le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore (indicate con \(AH\) e \(KB\) nella figura successiva) sono uguali e misurano: \[ AH = KB = \frac{AB - CD}{2} = \frac{7x - x}{2} = 3x \] La parte centrale della base maggiore corrisponde alla proiezione della base minore: \(HK = CD = x\).

1. Rotazione attorno alla base maggiore (Solido 1)

Facciamo riferimento alla figura seguente:

La rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore \(AB\) genera un solido composto da:

• Un cilindro centrale di raggio di base pari all'altezza del trapezio \(h\) e altezza del cilindro pari alla base minore \(CD = x\).
• Due coni uguali lateralmente, aventi lo stesso raggio di base \(h\) e altezza del cono pari alla proiezione del lato obliquo \(AH = 3x\).

Il volume totale \(V_1\) di questo primo solido è dato dalla somma dei volumi del cilindro e dei due coni:

\[ V_1 = V_{\text{cilindro}} + 2 \cdot V_{\text{cono}} \] \[ V_1 = \pi \cdot h^2 \cdot x + 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \pi \cdot h^2 \cdot 3x \right) \] \[ V_1 = \pi h^2 x + 2\pi h^2 x = 3\pi h^2 x \]

2. Rotazione attorno alla base minore (Solido 2)

Facciamo riferimento alla figura seguente:

La retta che contiene la base minore \(CD\) funge da asse di rotazione. Il solido generato in questo caso può essere visto geometricamente come:

• Un grande cilindro esterno di raggio di base pari all'altezza del trapezio \(h\) e altezza pari all'intera base maggiore \(AB = 7x\).
• Al quale vengono sottratti due coni interni vuoti (indicati dalle regioni tratteggiate in verde \(A''DF\) e \(B''CG\)), aventi lo stesso raggio di base \(h\) e altezza pari alle proiezioni \(FD = GC = 3x\).

Il volume totale \(V_2\) del secondo solido si ottiene per sottrazione:

\[ V_2 = V_{\text{cilindro grande}} - 2 \cdot V_{\text{cono vuoto}} \] \[ V_2 = \pi \cdot h^2 \cdot (7x) - 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \pi \cdot h^2 \cdot 3x \right) \] \[ V_2 = 7\pi h^2 x - 2\pi h^2 x = 5\pi h^2 x \]

3. Calcolo del rapporto tra i volumi

Possiamo ora determinare il rapporto tra il volume ottenuto dalla rotazione attorno alla base maggiore (\(V_1\)) e quello ottenuto dalla rotazione attorno alla base minore (\(V_2\)):

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{3\pi h^2 x}{5\pi h^2 x} \]

Semplificando i fattori comuni \(\pi\), \(h^2\) e \(x\), che non dipendono dai valori specifici scelti ma solo dalle proporzioni intrinseche della figura, ricaviamo in modo univoco:

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{3}{5} \]

Soluzione del Quesito 3

Per determinare gli intervalli di monotonicità della funzione e individuare la presenza di eventuali punti di estremo relativo, analizziamo il dominio e studiamo il segno della sua derivata prima.

1. Dominio della funzione
La presenza del logaritmo naturale \(\ln x\) all'interno dell'espressione analitica e dell'argomento della funzione integrale impone che la variabile indipendente sia strettamente positiva. Pertanto, il dominio della funzione è: \[ D = (0, +\infty) \]

2. Calcolo della derivata prima
La funzione è composta da due parti: un termine algebrico logaritmico e una funzione integrale. Deriviamo singolarmente i due termini sfruttando le regole di derivazione classiche e il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (o Teorema di Torricelli-Barrow) per l'integrale definito:

• La derivata di \(-\ln^2 x\) (regola delle funzioni composte) è: \(-2\ln x \cdot \frac{1}{x} = -\frac{2\ln x}{x}\)
• La derivata della funzione integrale \(\int_{1}^{x} \ln t \, dt\) rispetto all'estremo superiore \(x\) è semplicemente la funzione integranda valutata in \(x\), ovvero: \(\ln x\)

Assemblando i risultati otteniamo la derivata prima \(f'(x)\): \[ f'(x) = -\frac{2\ln x}{x} + \ln x \]

3. Studio del segno della derivata e ricerca degli estremi
Una funzione è strettamente crescente negli intervalli in cui la sua derivata prima è maggiore o uguale a zero (\(f'(x) \ge 0\)). Raccogliamo a fattore comune il termine \(\ln x\): \[ \ln x \cdot \left( -\frac{2}{x} + 1 \right) \ge 0 \] \[ \ln x \cdot \left( \frac{x - 2}{x} \right) \ge 0 \] Essendo l'analisi limitata al dominio \(x > 0\), il denominatore \(x\) è sempre positivo e non influenza il segno della disequazione. Studiamo quindi il segno dei due fattori del numeratore:

• Fattore 1: \(\ln x \ge 0 \implies x \ge 1\)
• Fattore 2: \(x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2\)

Costruiamo la tabella dei segni all'interno del dominio \((0, +\infty)\):

Intervallo	\(0 < x < 1\)	\(1 < x < 2\)	\(x > 2\)
Segno di \(\ln x\)	-	+	+
Segno di \(x - 2\)	-	-	+
Segno di \(f'(x)\)	+	-	+
Andamento di \(f(x)\)	Crescente (↗)	Decrescente (↘)	Crescente (↗)

Dall'analisi del segno ricaviamo che:

• La funzione è strettamente crescente negli intervalli \((0, 1)\) e \((2, +\infty)\).
• La funzione è strettamente decrescente nell'intervallo \((1, 2)\).
• In \(x = 1\) la derivata prima si annulla e la funzione passa da un andamento crescente a uno decrescente; pertanto, \(x = 1\) è un punto di massimo relativo.
• In \(x = 2\) la derivata prima si annulla e la funzione passa da un andamento decrescente a uno crescente; pertanto, \(x = 2\) è un punto di minimo relativo.

Soluzione del Quesito 4

Perché la somma di due numeri interi sia dispari, i due numeri devono avere parità opposta: uno deve essere pari e l'altro dispari. L'estrazione contemporanea di due palline equivale a un'estrazione senza reinserimento in cui l'ordine non conta.

Il numero totale di modi possibili per estrarre \(2\) palline da un insieme di \(n\) è dato dalle combinazioni semplici di \(n\) elementi presi a \(2\) a \(2\): \[ \text{Casi possibili} = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \]

Poiché la ripartizione tra numeri pari e dispari tra \(1\) e \(n\) cambia a seconda che \(n\) sia pari o dispari, dobbiamo analizzare separatamente i due casi.

Caso 1: \(n\) è pari

Se \(n\) è pari, nell'urna ci sono esattamente:

• \(\frac{n}{2}\) palline con numero dispari
• \(\frac{n}{2}\) palline con numero pari

Il numero di casi favorevoli (scegliere una pallina dispari E una pari) è: \[ \text{Casi favorevoli} = \binom{n/2}{1} \cdot \binom{n/2}{1} = \frac{n}{2} \cdot \frac{n}{2} = \frac{n^2}{4} \]

La probabilità \(p(n)\) per \(n\) pari è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili: \[ p(n) = \frac{\frac{n^2}{4}}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{n^2}{4} \cdot \frac{2}{n(n-1)} = \frac{n}{2(n-1)} \]

Caso 2: \(n\) è dispari

Se \(n\) è dispari, i numeri dispari superano di un'unità i numeri pari. Nell'urna ci sono:

• \(\frac{n+1}{2}\) palline con numero dispari
• \(\frac{n-1}{2}\) palline con numero pari

Il numero di casi favorevoli è: \[ \text{Casi favorevoli} = \binom{\frac{n+1}{2}}{1} \cdot \binom{\frac{n-1}{2}}{1} = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n-1}{2} = \frac{n^2-1}{4} \]

La probabilità \(p(n)\) per \(n\) dispari è: \[ p(n) = \frac{\frac{n^2-1}{4}}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{(n-1)(n+1)}{4} \cdot \frac{2}{n(n-1)} = \frac{n+1}{2n} \]

Risposte ai punti del quesito:

1. Determinazione di \(p(n)\):
La funzione di probabilità è definita a tratti: \[ p(n) = \begin{cases} \dfrac{n}{2(n-1)} & \text{se } n \text{ è pari} \\ \dfrac{n+1}{2n} & \text{se } n \text{ è dispari} \end{cases} \]

2. Dipendenza dalla parità di \(n\):

Sì, la probabilità \(p(n)\) dipende dalla parità di \(n\), poiché le due espressioni algebriche trovate sono differenti per ogni \(n \ge 2\). Ad esempio, si osserva che:

• Per \(n = 4\) (pari): \(p(4) = \frac{4}{2(3)} = \frac{2}{3} \approx 0.667\)
• Per \(n = 5\) (dispari): \(p(5) = \frac{5+1}{2(5)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.600\)

3. Calcolo del limite per \(n \to +\infty\):

Calcoliamo il limite per entrambe le successioni parziali (pari e dispari):

• Per \(n\) pari: \(\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n}{2n-2} = \frac{1}{2}\)
• Per \(n\) dispari: \(\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}\)

Poiché i due limiti coincidono, il limite di \(p(n)\) è \(\frac{1}{2}\).

Soluzione del Quesito 5

Sulla base dello schema geometrico, indichiamo con:

• \(BD\) l'altezza della palma.
• \(A\) e \(C\) le due posizioni successive del tuareg, con angoli \(B\hat{A}D = 4^\circ\) e \(B\hat{C}D = 9^\circ\).
• \(t\) il tempo in minuti necessario a coprire l'ultimo tratto \(CB\).

1. Relazione spaziotempo e trigonometria
Poiché la velocità \(v\) è costante, le distanze sono direttamente proporzionali ai tempi di percorrenza. Possiamo quindi esprimere i segmenti \(CB\) e \(AB\) in funzione del tempo e del tratto iniziale \(AC\): \[ CB = \frac{t \cdot AC}{20} \quad \implies \quad AB = AC + CB = AC \left(1 + \frac{t}{20}\right) \]

Applicando i teoremi sui triangoli rettangoli al modello, l'altezza della palma \(BD\) può essere espressa come: \[ BD = AB \cdot \tan 4^\circ = BC \cdot \tan 9^\circ \]

2. Risoluzione algebrica e calcolo del tempo
Sostituendo le espressioni dei segmenti in funzione di \(AC\) ed eliminando la dipendenza da quest'ultimo (dividendo per \(AC\)), otteniamo l'equazione in un'unica incognita \(t\): \[ \left(1 + \frac{t}{20}\right) \cdot \tan 4^\circ = \frac{t}{20} \cdot \tan 9^\circ \]

Moltiplicando per 20 e isolando \(t\), si giunge direttamente alla formula risolutiva: \[ (20 + t) \cdot \tan 4^\circ = t \cdot \tan 9^\circ \quad \implies \quad t = \frac{20 \cdot \tan 4^\circ}{\tan 9^\circ - \tan 4^\circ} \]

Inserendo i valori numerici delle tangenti (\(\tan 4^\circ \approx 0.0699\) e \(\tan 9^\circ \approx 0.1584\)): \[ t = \frac{20 \cdot 0.0699268}{0.1583844 - 0.0699268} \approx 15.81 \text{ minuti} \]

Convertendo la frazione decimale in secondi (\(0.81 \cdot 60 \approx 49''\)), il tempo rimanente equivale a \(15\text{ minuti e } 49\text{ secondi}\).

Soluzione del Quesito 6

1. Dimostrazione della funzione Costo \(C(x)\)
Definiamo con \(x\) il lato della base quadrata e con \(h\) l'altezza del parallelepipedo (con \(x, h > 0\)). Il volume fisso della scatola è espresso da: \[ V = x^2 \cdot h = 16 \implies h = \frac{16}{x^2} \] Il costo totale è dato dalla somma dei costi della superficie di base e coperchio (\(2 \cdot x^2\)) e della superficie laterale (\(4 \cdot x \cdot h\)), moltiplicati per le rispettive tariffe al decimetro quadro: \[ C(x) = 0{,}20 \cdot (2x^2) + 0{,}10 \cdot (4xh) = 0{,}4x^2 + 0{,}4xh \] Sostituendo l'espressione di \(h\) ricavata dal volume, otteniamo la funzione richiesta: \[ C(x) = 0{,}4x^2 + 0{,}4x \cdot \left(\frac{16}{x^2}\right) = 0{,}4x^2 + \frac{6{,}4}{x} \]

2. Ricerca del minimo tramite calcolo differenziale
Calcoliamo la derivata prima della funzione costo rispetto a \(x\): \[ C'(x) = 0{,}8x - \frac{6{,}4}{x^2} = \frac{0{,}8x^3 - 6{,}4}{x^2} \] Studiamo il segno della derivata ponendola maggiore o uguale a zero per \(x > 0\): \[ 0{,}8x^3 - 6{,}4 \ge 0 \implies x^3 \ge \frac{6{,}4}{0{,}8} \implies x^3 \ge 8 \implies x \ge 2 \] La derivata è negativa per \(0 < x < 2\) (funzione decrescente) e positiva per \(x > 2\) (funzione crescente). Pertanto, \(x = 2\text{ dm}\) corrisponde al punto di minimo assoluto.

3. Dimensioni e calcolo del costo minimo

Sostituendo il valore ottimale della base, ricaviamo l'altezza e il costo minimo risultante:

• Lato della base: \(x = 2\text{ dm}\)
• Altezza del parallelepipedo: \(h = \frac{16}{2^2} = 4\text{ dm}\)
• Costo minimo unitario: \(C(2) = 0{,}4 \cdot (2)^2 + \frac{6{,}4}{2} = 1{,}6 + 3{,}2 = 4{,}80\text{ €}\)

Soluzione del Quesito 7

1. Dimostrazione dell'esistenza e unicità della soluzione
Possiamo riscrivere l'equazione in forma equivalente separando la componente esponenziale da quella lineare: \[ e^x = -2x + 3 \]

Studiamo il problema graficamente analizzando l'intersezione tra le funzioni \(f(x) = e^x\) (funzione esponenziale strettamente crescente) e \(g(x) = -2x + 3\) (retta con pendenza negativa, strettamente decrescente):

Dal grafico emerge chiaramente la presenza di un unico punto di intersezione \(A\) posizionato nell'intervallo \([0, 1]\). Verifichiamo analiticamente il comportamento agli estremi di tale intervallo:

• Per \(x = 0\): \(f(0) = 1\) e \(g(0) = 3 \implies f(0) < g(0)\)
• Per \(x = 1\): \(f(1) = e \approx 2{,}72\) e \(g(1) = 1 \implies f(1) > g(1)\)

Poiché nell'intervallo \([0, 1]\) l'ordine tra le due curve si inverte e le funzioni sono continue, per il Teorema degli zeri applicato alla funzione differenza \(h(x) = e^x + 2x - 3\) deve esistere almeno una soluzione \(\alpha\). Essendo \(f(x)\) strettamente crescente e \(g(x)\) strettamente decrescente, tale intersezione è necessariamente unica.

2. Calcolo approssimato della soluzione al centesimo (\(\epsilon < 0{,}01\))

Approccio A: Metodo di Bisezione
Poniamo \(h(x) = e^x + 2x - 3\). Sappiamo che \(h(0) = -2 < 0\) e \(h(1) = e - 1 > 0\). Calcoliamo il punto medio \(m\) dimezzando l'intervallo ad ogni iterazione fino a quando l'ampiezza dell'intervallo \([a, b]\) diventa inferiore a \(0{,}01\):

It.	\(a\)	\(b\)	\(m\)	\(h(m)\)	Ampiezza
1	0.0000	1.0000	0.5000	-0.3513	1.0000
2	0.5000	1.0000	0.7500	+0.6170	0.5000
3	0.5000	0.7500	0.6250	+0.1182	0.2500
4	0.5000	0.6250	0.5625	-0.1203	0.1250
5	0.5625	0.6250	0.5938	-0.0020	0.0625
6	0.5938	0.6250	0.6094	+0.0578	0.0313
7	0.5938	0.6094	0.6016	+0.0278	0.0156
8	0.5938	0.6016	0.5977	+0.0129	0.0078

Approccio B: Metodo delle Tangenti (Newton-Raphson)

Per applicare il metodo in sicurezza nell'intervallo \([0, 1]\), verifichiamo le derivate di \(h(x) = e^x + 2x - 3\):

• \(h'(x) = e^x + 2 > 0\) (la derivata prima non si annulla mai e non cambia segno).
• \(h''(x) = e^x > 0\) (la derivata seconda non cambia segno, la concavità è costante verso l'alto).

Scegliamo come punto di partenza \(x_0\) l'estremo in cui la funzione ha lo stesso segno della derivata seconda (\(h(x_0) \cdot h''(x_0) > 0\)). Essendo \(h(1) = e-1 > 0\), poniamo \(x_0 = 1\).
La formula di ricorrenza è: \(x_{n+1} = x_n - \frac{h(x_n)}{h'(x_n)}\).

It. (\(n\))	\(x_n\)	\(h(x_n)\)	\(h'(x_n)\)	\(x_{n+1}\)
0	1.0000	1.7183	4.7183	0.6358
1	0.6358	0.1601	3.8886	0.5947
2	0.5947	0.0016	3.8124	0.5943
3	0.5943	0.0000	3.8116	0.5943

Entrambi i metodi convergono allo stesso valore decimale.

Soluzione del Quesito 8

1. Determinazione dello spazio totale percorso
Analizziamo le lunghezze dei singoli tratti verticali percorsi dalla palla:

• Caduta iniziale: la palla parte da \(h_0 = 2\text{ m}\) e scende fino al suolo. Spazio = \(2\text{ m}\).

Le altezze massime raggiunte dopo ciascun rimbalzo formano una progressione geometrica:

1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

poiché ogni rimbalzo raggiunge un’altezza pari alla metà della precedente, a partire dal primo valore di 1 metro.

Si tratta di una progressione geometrica con primo termine \(a_1 = 1\) e ragione \(q = 1/2\). Poiché ogni rimbalzo comprende sia la fase di salita che quella di discesa, lo spazio percorso in questa fase è pari al doppio dell'altezza di ciascun rimbalzo: \[ 2 \cdot 1 = 2\text{ m}, \quad 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\text{ m}, \quad 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\text{ m}, \quad \dots \]

Lo spazio totale \(S\) è la somma della caduta iniziale e delle altezze di tutti gli infiniti rimbalzi successivi (contati due volte): \[ S = 2 + 2(1) + 2\left(\frac{1}{2}\right) + 2\left(\frac{1}{4}\right) + \dots = 2 + \sum_{n=1}^{+\infty} 4 \left(\frac{1}{2}\right)^n \]

Raccogliendo il fattore \(4\), calcoliamo la somma degli infiniti termini della progressione geometrica: \[ S = 2 + 4 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n \]

Ricordando che la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica che parte da \(n=1\) è data da \(\frac{q}{1-q}\) quando la ragione soddisfa la condizione \(|q| < 1\), otteniamo: \[ S = 2 + 4 \cdot \left( \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \right) = 2 + 4 \cdot 1 = 6\text{ metri} \]

2. Giustificazione matematica della finitezza dello spazio
La bizzarria concettuale dietro cui si nasconde questo problema trova risposta nel calcolo infinitesimale. L'idea intuitiva che "infiniti elementi sommati tra loro debbano dare un risultato infinito" è smentita dal concetto di limite della somma dei termini di una progressione.

Dal punto di vista matematico, la somma di infiniti termini positivi genera un valore limitato e finito se gli elementi decrescono in modo sufficientemente rapido. Nel nostro caso, le quote dei rimbalzi seguono una progressione geometrica in cui la ragione soddisfa la condizione di convergenza: \[ |q| = \left|\frac{1}{2}\right| < 1 \]

Poiché i passi tendono a zero velocemente, l'infinità dei rimbalzi si comprime all'interno di un confine numerico ben preciso, stabilendo che un processo composto da infiniti eventi discreti può realizzarsi interamente in un perimetro di misura finita (\(6\text{ metri}\)).