Simulazione 15 – Problema 1 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del punto a

Analisi dei dati geometrici dal grafico

Dal grafico della funzione \(y = f(x)\) si possono ricavare alcune informazioni fondamentali:

• La curva interseca gli assi nell'origine \(O(0,0)\) e nel punto \(A(3,0)\).
• La retta tratteggiata in verde rappresenta l'asintoto obliquo della funzione per \(x \to \pm\infty\). Tale retta interseca gli assi cartesiani nei punti \(B(1,0)\) e \(C(0,-1)\).

Equazione dell'asintoto obliquo

Dal grafico si deduce che l'asintoto \(y = mx + q\) passa per i punti \(B(1,0)\) e \(C(0,-1)\), da cui ricaviamo l'intercetta \(q = -1\) e il coefficiente angolare \(m = 1\):

\[y = x - 1\]

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Calcolo dei parametri \(a\) e \(b\)

Data la funzione \(f(x) = \sqrt[3]{ax^3 + bx^2 + c}\), determiniamo le espressioni teoriche del coefficiente angolare \(m\) e del termine noto \(q\) del suo asintoto obliquo. Per il coefficiente angolare:

\[m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \sqrt[3]{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^3}} = \sqrt[3]{a}\]

Confrontando con il valore ricavato dal grafico (\(m = 1\)):

\[\sqrt[3]{a} = 1 \implies a = 1\]

Calcoliamo ora il termine noto \(q\), con \(a = 1\):

\[q = \lim_{x \to \pm\infty} \left[f(x) - mx\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \left[\sqrt[3]{x^3 + bx^2 + c} - x\right]\]

Portando \(x\) fuori dalla radice e raccogliendo a fattor comune:

\[q = \lim_{x \to \pm\infty} x\left[\left(1 + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^3}\right)^{1/3} - 1\right]\]

Poiché per \(x \to \pm\infty\) la quantità \(\dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^3}\) tende a \(0\), usiamo l'approssimazione del binomio:

\[\left(1 + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^3}\right)^{1/3} - 1 \sim \frac{1}{3}\left(\frac{b}{x} + \frac{c}{x^3}\right)\]

Sostituendo nel limite:

\[q = \lim_{x \to \pm\infty} x \cdot \frac{1}{3}\left(\frac{b}{x} + \frac{c}{x^3}\right) = \lim_{x \to \pm\infty}\left(\frac{b}{3} + \frac{c}{3x^2}\right) = \frac{b}{3}\]

Confrontando con l'intercetta \(q = -1\) ricavata dal grafico:

\[\frac{b}{3} = -1 \implies b = -3\]

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Determinazione del parametro \(c\)

Con i coefficienti trovati, la funzione diventa:

\[f(x) = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + c}\]

Imponiamo il passaggio per il punto \(A(3,0)\):

\[f(3) = 0 \implies \sqrt[3]{27 - 27 + c} = 0 \implies c = 0\]

Verifica: sostituendo anche \(O(0,0)\) si ha \(f(0) = \sqrt[3]{0} = 0\), in pieno accordo con il grafico.

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Soluzione del punto b

Studio della derivata prima

Con \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 0\), la funzione è:

\[f(x) = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2}\]

La funzione è continua su tutto \(\mathbb{R}\). Calcoliamo la derivata prima con la regola di derivazione delle funzioni composte:

\[f'(x) = \frac{1}{3}(x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}}\cdot(3x^2-6x) = \frac{3x^2-6x}{3\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}}\]

Raccogliendo \(3\) al numeratore e scomponendo il radicando come \((x^3-3x^2)^2=[x^2(x-3)]^2=x^4(x-3)^2\):

\[f'(x) = \frac{x(x-2)}{\sqrt[3]{x^4(x-3)^2}}\]

Portando fuori \(x\) dalla radice cubica al denominatore (\(\sqrt[3]{x^4}=x\sqrt[3]{x}\)) e semplificando per \(x \neq 0\):

\[f'(x) = \frac{x-2}{\sqrt[3]{x(x-3)^2}}\]

Il dominio della derivata è \(D_{f'} = \mathbb{R}\setminus\{0,3\}\). I punti \(x=0\) e \(x=3\) appartengono al dominio di \(f\) ma non a quello di \(f'\): sono punti di non derivabilità. Ne studiamo la natura con i limiti della derivata.

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Analisi del punto \(O(0,0)\)

Calcoliamo i limiti della derivata per \(x \to 0\):

\[\lim_{x \to 0^{\pm}} f'(x) = \lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{x-2}{\sqrt[3]{x(x-3)^2}}\]

Il numeratore tende a \(-2\), mentre \((x-3)^2 \to 9 > 0\). Il segno del denominatore dipende quindi dal segno di \(x\) sotto la radice cubica:

• Per \(x \to 0^-\): la radice tende a \(0^-\), quindi \(\dfrac{-2}{0^-} = +\infty\).
• Per \(x \to 0^+\): la radice tende a \(0^+\), quindi \(\dfrac{-2}{0^+} = -\infty\).

I due limiti sono infiniti e di segno opposto: la pendenza tende a \(+\infty\) a sinistra e a \(-\infty\) a destra. Questo significa che la funzione cresce avvicinandosi a \(O\) da sinistra e decresce allontanandosi da \(O\) verso destra.

Verifichiamo i valori della funzione vicino a \(0\): \(f(-0{,}1) \approx -0{,}31\), \(f(0)=0\), \(f(0{,}1)\approx -0{,}31\). Poiché \(f(x) < 0\) in un intorno di \(0\) (escluso \(0\) stesso), il punto \(O\) è un punto di massimo relativo.

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Analisi del punto \(A(3,0)\)

Calcoliamo i limiti della derivata per \(x \to 3\):

\[\lim_{x \to 3^{\pm}} f'(x) = \lim_{x \to 3^{\pm}} \frac{x-2}{\sqrt[3]{x(x-3)^2}}\]

Il numeratore tende a \(1\). Al denominatore, \(x \to 3\) e \((x-3)^2 \to 0^+\) indipendentemente dal verso di avvicinamento (esponente pari), quindi il radicando si mantiene positivo:

\[\lim_{x \to 3^-} f'(x) = \lim_{x \to 3^+} f'(x) = \left[\frac{1}{0^+}\right] = +\infty\]

I limiti destro e sinistro coincidono ed entrambi tendono a \(+\infty\): la curva ha quindi una tangente verticale in \(A\), con la stessa pendenza (crescente) da entrambi i lati.

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Soluzione del punto c

Per dedurre il grafico di \(y = f'(x)\) analizziamo le proprietà geometriche di \(f(x)\) e i risultati dei punti precedenti.

1. Dominio e asintoti verticali

La derivata prima non è definita nei punti di non derivabilità di \(f\), cioè per \(x=0\) e \(x=3\). Quindi \(D_{f'} = \mathbb{R}\setminus\{0,3\}\). Dai limiti calcolati al punto b):

• Per \(x \to 0^-\), \(f'(x)\to+\infty\) e per \(x \to 0^+\), \(f'(x)\to-\infty\): la retta \(x=0\) (asse \(y\)) è un asintoto verticale.
• Per \(x \to 3^{\pm}\), \(f'(x)\to+\infty\): la retta \(x=3\) è un secondo asintoto verticale.

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2. Zeri e segno della derivata prima

Il segno di \(f'(x)\) corrisponde all'andamento (crescenza/decrescenza) di \(f(x)\):

• Per \(x < 0\): \(f(x)\) cresce, quindi \(f'(x) > 0\).
• Per \(0 < x < 2\): \(f(x)\) decresce, quindi \(f'(x) < 0\).
• Per \(x = 2\): \(f(x)\) ha un minimo relativo a tangente orizzontale, quindi \(f'(2)=0\) (intersezione con l'asse \(x\)).
• Per \(2 < x < 3\) e per \(x > 3\): \(f(x)\) è strettamente crescente, quindi \(f'(x) > 0\).

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3. Comportamento all'infinito

La funzione \(f(x)\) ammette l'asintoto obliquo completo \(y = x - 1\), con coefficiente angolare \(m=1\). Poiché la pendenza della curva tende al coefficiente angolare dell'asintoto:

\[\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = 1\]

La retta \(y=1\) è quindi un asintoto orizzontale completo per il grafico di \(f'(x)\).

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4. Concavità e monotonia di \(f'(x)\)

La monotonia di \(f'(x)\) si deduce dalla concavità di \(f(x)\) (cioè dal segno di \(f''(x)\)):

• Per \(x < 3\) (con \(x \neq 0\)): \(f(x)\) ha concavità verso l'alto (\(f''(x)>0\)), quindi \(f'(x)\) è strettamente crescente sia in \((-\infty,0)\) che in \((0,3)\).
• Per \(x > 3\): \(f(x)\) ha concavità verso il basso (\(f''(x)<0\)), quindi \(f'(x)\) è strettamente decrescente in \((3,+\infty)\).

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5. Grafico di \(f'(x)\)

Unendo tutte le informazioni (asintoti verticali in \(x=0\) e \(x=3\), asintoto orizzontale \(y=1\), passaggio per \((2,0)\), studio di segno e monotonia) si ottiene la curva verde nella figura sottostante.

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Soluzione del punto d

1. Espressione analitica e dominio

Sostituendo \(f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2}\):

\[g(x) = \left[\sqrt[3]{x^3-3x^2}\right]^{\frac{3}{2}} = (x^3-3x^2)^{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}} = \sqrt{x^3-3x^2}\]

Essendo una radice quadrata, il dominio \(D_g\) richiede il radicando non negativo:

\[x^3-3x^2 \ge 0 \implies x^2(x-3)\ge 0\]

Analizzando i fattori:

• \(x^2 \ge 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\)
• \(x-3 \ge 0 \implies x \ge 3\)

Il radicando si annulla anche nel punto isolato \(x=0\). Il dominio è quindi:

\[D_g = \{0\} \cup [3,+\infty)\]

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2. Segno e intersezioni con gli assi

Essendo una radice quadrata reale, \(g(x)\) è non negativa in tutto il dominio:

• \(g(x)=0 \implies x=0\) e \(x=3\): punti \(O(0,0)\) e \(A(3,0)\).
• \(g(x)>0\) per ogni \(x>3\).

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3. Limiti e comportamento all'infinito

L'unico estremo significativo è \(+\infty\):

\[\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^3-3x^2} = +\infty\]

Per \(x\) grande, la funzione si comporta come una potenza di ordine \(\frac{3}{2}\):

\[g(x)=\sqrt{x^3\left(1-\frac{3}{x}\right)} \sim x^{\frac{3}{2}}\]

Poiché l'ordine di infinito è superiore a \(1\), \(g(x)\) non ammette asintoti obliqui a \(+\infty\).

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4. Derivata prima e monotonia

Per \(x>3\), calcoliamo la derivata di \(g(x)=(x^3-3x^2)^{\frac{1}{2}}\):

\[g'(x) = \frac{3x^2-6x}{2\sqrt{x^3-3x^2}} = \frac{3x(x-2)}{2\sqrt{x^2(x-3)}}\]

Poiché per \(x>3\) è \(\sqrt{x^2}=x\), semplifichiamo il fattore \(x\):

\[g'(x) = \frac{3x(x-2)}{2x\sqrt{x-3}} = \frac{3(x-2)}{2\sqrt{x-3}}\]

La derivata non esiste in \(x=3\) e risulta \(g'(x)>0\) per ogni \(x>3\): il grafico di \(g\) è formato dal punto isolato \((0,0)\) ed è strettamente crescente per \(x>3\).

In \(x=3\) la funzione non è derivabile:

\[\lim_{x\to3^+}g'(x) = \lim_{x\to3^+}\frac{3(x-2)}{2\sqrt{x-3}} = \left[\frac{3}{0^+}\right] = +\infty\]

Il punto \(A(3,0)\) è un punto a semi-tangente verticale destra.

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5. Volume del solido di rotazione di \(120^\circ\)

Il volume generato dalla rotazione completa (\(360^\circ\)) di una funzione attorno all'asse \(x\) nell'intervallo \([a,b]\) è dato da \(V=\pi\displaystyle\int_a^b[g(x)]^2\,dx\). Poiché la rotazione richiesta è di \(120^\circ\), il volume sarà proporzionale alla frazione d'angolo giro:

\[\text{Frazione di volume} = \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}\]

Impostiamo l'integrale tra \(x=3\) e \(x=4\):

\[V_{120^\circ} = \frac{1}{3}\pi\int_{3}^{4}[g(x)]^2\,dx = \frac{1}{3}\pi\int_{3}^{4}\left(\sqrt{x^3-3x^2}\right)^2 dx\] \[V_{120^\circ} = \frac{1}{3}\pi\int_{3}^{4}(x^3-3x^2)\,dx\]

Una primitiva è:

\[\int(x^3-3x^2)\,dx = \frac{x^4}{4}-x^3\]

Applichiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale:

\[V_{120^\circ} = \frac{1}{3}\pi\left[\frac{x^4}{4}-x^3\right]_3^4\]

• In \(x=4\): \(\dfrac{4^4}{4}-4^3 = 64-64 = 0\)
• In \(x=3\): \(\dfrac{3^4}{4}-3^3 = \dfrac{81}{4}-27 = \dfrac{81-108}{4} = -\dfrac{27}{4}\)

Calcoliamo la differenza:

\[V_{120^\circ} = \frac{1}{3}\pi\left[0-\left(-\frac{27}{4}\right)\right] = \frac{1}{3}\pi\cdot\frac{27}{4} = \frac{9}{4}\pi\;\text{u}^3\] ↑ Nascondi soluzione