Simulazione 15 - Problema 1 - Esame di Stato 2026

Soluzione del punto a

Analisi dei dati geometrici dal grafico

Dal grafico della funzione \(y = f(x)\) si possono ricavare alcune informazioni geometriche fondamentali:

• La curva interseca gli assi nell'origine \(O(0,0)\) e nel punto \(A(3,0)\).
• La retta tratteggiata in verde rappresenta l'asintoto obliquo della funzione per \(x \to \pm\infty\). Tale retta interseca gli assi cartesiani nei punti ben visibili \(B(1,0)\) e \(C(0,-1)\).

Equazione dell'asintoto obliquo

Dal grafico si deduce che l'asintoto \(y = mx + q\) passa per i punti \(B(1,0)\) e \(C(0,-1)\), da cui ricaviamo immediatamente l'intercetta \(q = -1\) e il coefficiente angolare \(m = 1\).

\[y = x - 1\]

Calcolo dei parametri \(a\) e \(b\)

Data la funzione \(f(x) = \sqrt[3]{ax^3 + bx^2 + c}\), determiniamo l'espressione teorica del coefficiente angolare \(m\) e del termine noto \(q\) del suo asintoto obliquo:

\[m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt[3]{ax^3 + bx^2 + c}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \sqrt[3]{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^3}} = \sqrt[3]{a}\]

Confrontando questo risultato con il valore del coefficiente angolare ricavato dal grafico (\(m = 1\)), otteniamo:

\[\sqrt[3]{a} = 1 \implies a = 1\]

Calcoliamo ora il termine noto \(q\):

\[q = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to \pm\infty} \left[\sqrt[3]{x^3 + bx^2 + c} - x\right]\]

Portando \(x^3\) fuori dalla radice cubica (che diventa \(x\)) e raccogliendo la \(x\) a fattor comune, il limite si presenta nella forma:

\[q = \lim_{x \to \pm\infty} \left[ x \sqrt[3]{1 + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^3}} - x \right] = \lim_{x \to \pm\infty} x \left[ \left(1 + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^3}\right)^{1/3} - 1 \right]\]

Poiché per \(x \to \pm\infty\) la quantità \(\left(\frac{b}{x} + \frac{c}{x^3}\right)\) tende a \(0\), possiamo apply l'estensione del limite notevole del binomio nella forma asintotica \((1 + f(x))^k - 1 \sim k \cdot f(x)\):

\[\left(1 + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^3}\right)^{1/3} - 1 \sim \frac{1}{3} \left(\frac{b}{x} + \frac{c}{x^3}\right)\]

Sostituendo questa equivalenza nel limite, il fattore \(x\) si moltiplica per i termini dentro la parentesi, semplificando il calcolo:

\[q = \lim_{x \to \pm\infty} x \cdot \frac{1}{3} \left(\frac{b}{x} + \frac{c}{x^3}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{b}{3} + \frac{c}{3x^2} \right) = \frac{b}{3}\]

Confrontando questo valore con l'intercetta \(q = -1\) ricavata direttamente dall'analisi del grafico, imponiamo la condizione di uguaglianza:

\[\frac{b}{3} = -1 \implies b = -3\]

Determinazione del parametro \(c\)

L'equazione parziale della funzione con i coefficienti trovati è:

\[f(x) = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + c}\]

Imponiamo il passaggio della curva per il punto noto \(A(3,0)\):

\[f(3) = 0 \implies \sqrt[3]{3^3 - 3(3)^2 + c} = 0 \implies \sqrt[3]{27 - 27 + c} = 0 \implies c = 0\]

Nota di verifica: Sostituendo anche l'origine \(O(0,0)\), si ha \(f(0) = \sqrt[3]{0} = 0\), il che conferma la perfetta coerenza del parametro con il grafico.

Soluzione del punto b

Studio della derivata prima e ricerca dei punti di non derivabilità

Sostituendo i valori trovati \(a = 1\), \(b = -3\) e \(c = 0\), la funzione assume l'espressione:

\[f(x) = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2}\]

La funzione è continua su tutto \(\mathbb{R}\). Calcoliamo la derivata prima applicando la regola di derivazione delle funzioni composte \([g(x)]^\alpha\):

\[f'(x) = \frac{1}{3}(x^3 - 3x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (3x^2 - 6x) = \frac{3x^2 - 6x}{3\sqrt[3]{(x^3 - 3x^2)^2}}\]

Semplifichiamo l'espressione raccogliendo il \(3\) al numeratore e scomponendo il radicando al denominatore come \((x^3 - 3x^2)^2 = [x^2(x-3)]^2 = x^4(x-3)^2\):

\[f'(x) = \frac{x(x - 2)}{\sqrt[3]{x^4(x - 3)^2}}\]

Portando fuori \(x\) dalla radice cubica al denominatore (\(\sqrt[3]{x^4} = x\sqrt[3]{x}\)), per \(x \neq 0\) possiamo semplificare il fattore \(x\) presente al numeratore:

\[f'(x) = \frac{x(x - 2)}{x\sqrt[3]{x(x - 3)^2}} = \frac{x - 2}{\sqrt[3]{x(x - 3)^2}}\]

Il dominio della derivata prima è \(D_{f'} = \mathbb{R} \setminus \{0, 3\}\). I punti \(x = 0\) e \(x = 3\) appartengono al dominio di \(f(x)\) ma non a quello di \(f'(x)\), pertanto sono punti di non derivabilità. Ne analizziamo la natura mediante il calcolo dei limiti destro e sinistro della derivata.

Analisi del punto d'origine \(O(0,0)\)

Calcoliamo il comportamento della derivata prima per \(x \to 0\):

\[\lim_{x \to 0^{\pm}} f'(x) = \lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{x - 2}{\sqrt[3]{x(x - 3)^2}}\]

Il numeratore tende a \(-2\), mentre il termine \((x-3)^2\) sotto radice tende a \(9 > 0\). Il segno del denominatore dipende quindi unicamente da \(x\) inserito nella radice cubica:

• Per \(x \to 0^-\): la radice tende a \(0^-\), di conseguenza \(\frac{-2}{0^-} = +\infty\).
• Per \(x \to 0^+\): la radice tende a \(0^+\), di conseguenza \(\frac{-2}{0^+} = -\infty\).

Essendo i due limiti infiniti e di segno opposto (\(f'\to +\infty\) da sinistra e \(f'\to -\infty\) da destra), la funzione cresce fino a \(O\) e poi decresce: il punto \(O(0,0)\) è quindi un punto di massimo relativo con una cuspide rivolta verso il basso.

Analisi del punto \(A(3,0)\)

Calcoliamo il comportamento della derivata prima per \(x \to 3\):

\[\lim_{x \to 3^{\pm}} f'(x) = \lim_{x \to 3^{\pm}} \frac{x - 2}{\sqrt[3]{x(x - 3)^2}}\]

Il numeratore tende a \(1\), mentre al denominatore il fattore \(x\) tende a \(3\) e il termine \((x-3)^2\) tende a \(0^+\), indipendentemente dal fatto che ci si avvicini da destra o da sinistra, a causa dell'esponente pari. Pertanto, l'intero radicando si mantiene strettamente positivo:

\[\lim_{x \to 3^-} f'(x) = \lim_{x \to 3^+} f'(x) = \left[ \frac{1}{0^+} \right] = +\infty\]

Poiché i limiti destro e sinistro coincidono ed entrambi tendono a \(+\infty\), la curva ammette in questo punto una retta tangente verticale. Il punto \(A(3,0)\) è un punto di flesso a tangente verticale ascendente.

Soluzione del punto c

Per dedurre il grafico della funzione derivata \(y = f'(x)\) analizziamo le proprietà geometriche della funzione principale \(f(x)\) e i risultati analitici precedentemente determinati.

1. Dominio e asintoti verticali

Come verificato nel punto precedente, la derivata prima non è definita nei punti di non derivabilità della funzione originale, ovvero per \(x = 0\) e \(x = 3\). Il dominio di \(f'(x)\) è quindi \(D_{f'} = \mathbb{R} \setminus \{0, 3\}\). Dall'analisi dei limiti della derivata prima si deduce che:

• Per \(x \to 0^-\), \(f'(x) \to +\infty\) e per \(x \to 0^+\), \(f'(x) \to -\infty\). Pertanto, l'asse \(Y\) (\(x = 0\)) è un asintoto verticale per il grafico di \(f'(x)\).
• Per \(x \to 3^{\pm}\), \(f'(x) \to +\infty\). Di conseguenza, la retta verticale \(x = 3\) è un secondo asintoto verticale per il grafico di \(f'(x)\).

2. Zeri e segno della derivata prima (Zeri e Monotonia)

Il segno di \(f'(x)\) corrisponde all'andamento (crescenza o decrescenza) del grafico di \(f(x)\):

• \(x < 0\): la funzione \(f(x)\) cresce, quindi \(f'(x) > 0\).
• \(0 < x < 2\): la funzione \(f(x)\) decresce, quindi \(f'(x) < 0\).
• \(x = 2\): la funzione \(f(x)\) presenta un punto di minimo relativo a tangente orizzontale. In questo punto la derivata si annulla, determinando l'intersezione con l'asse delle ascisse: \(f'(2) = 0\).
• \(2 < x < 3\) e \(x > 3\): la funzione \(f(x)\) è strettamente crescente, quindi \(f'(x) > 0\).

3. Comportamento all'infinito (Asintoti orizzontali)

Dal grafico di \(f(x)\) e dallo studio iniziale sappiamo che la funzione ammette un asintoto obliquo completo di equazione \(y = x - 1\) sia a \(+\infty\) che a \(-\infty\). Poiché la pendenza della curva tende a stabilizzarsi sul valore del coefficiente angolare della retta asintotica (\(m = 1\)), si ha:

\[\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = 1\]

Ciò implica che la retta \(y = 1\) è un asintoto orizzontale completo per il grafico della derivata prima.

4. Studio della concavità e monotonia della derivata prima

La monotonia della derivata prima \(f'(x)\) può essere dedotta geometricamente dallo studio della concavità della funzione originale \(f(x)\), che corrisponde analiticamente al segno della derivata seconda \(f''(x)\):

• Per \(x < 3\) (con \(x \neq 0\)), il grafico di \(f(x)\) volge la concavità verso l'alto, il che significa che \(f''(x) > 0\). Di conseguenza, la derivata prima \(f'(x)\) è strettamente crescente sia nell'intervallo \((-\infty, 0)\) che nell'intervallo \((0, 3)\).
• Per \(x > 3\), il grafico di \(f(x)\) volge la concavità verso il basso, il che significa che \(f''(x) < 0\). Di conseguenza, la derivata prima \(f'(x)\) è strettamente decrescente nell'intervallo \((3, +\infty)\).

5. Tracciamento del grafico di \(f'(x)\)

Unendo tutte le informazioni raccolte (asintoti verticali in \(x=0\) e \(x=3\), asintoto orizzontale \(y=1\), passaggio per il punto \((2,0)\), studio dei segni e della monotonia), si ottiene la curva verde riportata nella figura sottostante.

Soluzione del punto d

1. Espressione analitica e Dominio

Sostituendo l'espressione di \(f(x) = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2}\), la funzione \(g(x)\) diventa:

\[g(x) = \left[\sqrt[3]{x^3 - 3x^2}\right]^{\frac{3}{2}} = (x^3 - 3x^2)^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{x^3 - 3x^2}\]

Trattandosi di una radice quadrata, il dominio \(D_g\) è definito dalla condizione di non-negatività del radicando:

\[x^3 - 3x^2 \geq 0 \implies x^2(x - 3) \geq 0\]

Analizzando i fattori:

• \(x^2 \geq 0 \implies \forall x \in \mathbb{R}\)
• \(x - 3 \geq 0 \implies x \geq 3\)

Il radicando si annulla anche nel punto isolato \(x = 0\). Di conseguenza, il dominio della funzione è formato da un punto isolato e da una semiretta continua:

\[D_g = \{0\} \cup [3, +\infty)\]

2. Segno e intersezioni con gli assi

Essendo definita mediante una radice quadrata reale, la funzione \(g(x)\) è non-negativa in tutto il suo dominio:

• \(g(x) = 0 \implies x = 0 \quad \text{e} \quad x = 3\), da cui si ottengono i punti d'intersezione \(O(0,0)\) e \(A(3,0)\).
• \(g(x) > 0 \implies \forall x > 3\).

3. Limiti e comportamento all'infinito

L'unico estremo significativo del dominio in cui calcolare il limite è \(+\infty\):

\[\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^3 - 3x^2} = +\infty\]

Per grandi valori di \(x\), la funzione si comporta localmente come una potenza di ordine \(\frac{3}{2}\):

\[g(x) = \sqrt{x^3\left(1 - \frac{3}{x}\right)} \sim x^{\frac{3}{2}}\]

Poiché l'ordine di infinito è superiore a \(1\), la funzione non ammette asintoti obliqui a \(+\infty\).

4. Studio della derivata prima e monotonia

Per \(x > 3\), calcoliamo la derivata prima di \(g(x) = (x^3 - 3x^2)^{\frac{1}{2}}\):

\[g'(x) = \frac{3x^2 - 6x}{2\sqrt{x^3 - 3x^2}} = \frac{3x(x - 2)}{2\sqrt{x^2(x - 3)}}\]

Poiché per \(x > 3\) si ha \(\sqrt{x^2} = x\), possiamo semplificare il fattore \(x\) al numeratore e denominatore:

\[g'(x) = \frac{3x(x - 2)}{2x\sqrt{x - 3}} = \frac{3(x - 2)}{2\sqrt{x - 3}}\]

La derivata non esiste per \(x = 3\) e resulta \(g'(x) > 0\) per \(x > 3\).

Quindi il grafico di \(g\) è formato dal punto isolato \((0,0)\) ed è strettamente crescente per \(x > 3\).

Nel punto \(x = 3\) la funzione non è derivabile e risulta:

\[\lim_{x \to 3^+} g'(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{3(x - 2)}{2\sqrt{x - 3}} = \left[\frac{3}{0^+}\right] = +\infty\]

Il punto \(A(3,0)\) è un punto di non derivabilità, specificamente un punto a semi-tangente verticale destra.

5. Calcolo del volume del solido di rotazione di \(120^\circ\)

Il volume di un solido ottenuto dalla rotazione completa (\(360^\circ\)) di una funzione attorno all'asse \(x\) nell'intervallo \([a,b]\) è definito dalla formula standard \(V = \pi \int_a^b [g(x)]^2 dx\). Poiché la rotazione richiesta è parziale e pari a \(\alpha = 120^\circ\), il volume finale sarà proporzionale alla frazione d'angolo giro descritta:

\[\text{Frazione di volume} = \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}\]

Impostiamo l'integrale definito tra \(x = 3\) e \(x = 4\):

\[V_{120^\circ} = \frac{1}{3} \pi \int_{3}^{4} [g(x)]^2 \, dx = \frac{1}{3} \pi \int_{3}^{4} \left(\sqrt{x^3 - 3x^2}\right)^2 \, dx\] \[V_{120^\circ} = \frac{1}{3} \pi \int_{3}^{4} (x^3 - 3x^2) \, dx\]

Troviamo una funzione primitiva:

\[\int (x^3 - 3x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} - x^3\]

Applichiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale valutando la primitiva negli estremi dell'intervallo:

\[V_{120^\circ} = \frac{1}{3} \pi \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 \right]_{3}^{4}\]

• Valutazione nel limite superiore (\(x = 4\)): \(\left(\frac{4^4}{4} - 4^3\right) = 64 - 64 = 0\)
• Valutazione nel limite inferiore (\(x = 3\)): \(\left(\frac{3^4}{4} - 3^3\right) = \frac{81}{4} - 27 = \frac{81 - 108}{4} = -\frac{27}{4}\)

Calcoliamo la differenza dei valori ottenuti:

\[V_{120^\circ} = \frac{1}{3} \pi \cdot \left[ 0 - \left(-\frac{27}{4}\right) \right] = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{27}{4} = \frac{9}{4}\pi \,\text{u}^3\]