Simulazione 15 - Problema 2 - Esame di Stato 2026

Soluzione del punto 1

Studio della funzione

La funzione è definita, per tutti gli \(x\) reali, da: \[f(x) = \frac{8}{4 + x^2}\]

• Dominio: La funzione è definita su tutto \(\mathbb{R}\), poiché il denominatore \(4+x^2\) è la somma di due quadrati sempre positiva e non si annulla mai.
• Simmetrie: La funzione è pari, essendo \(f(-x) = f(x)\). Il grafico \(\Phi\) risulta quindi simmetrico rispetto all'asse \(y\).
• Segno e intersezioni: La funzione è sempre positiva, non interseca l'asse \(x\) e interseca l'asse \(y\) nel punto di ordinata \(y=2\).
• Limiti e asintoti: I limiti a \(+\infty\) e \(-\infty\) sono uguali a \(0^+\), pertanto l'asse \(x\) è un asintoto orizzontale.
• Derivata prima e monotonia: La derivata prima è: \[y' = \frac{-16x}{(4 + x^2)^2}\] Essa è positiva per \(x < 0\), negativa per \(x > 0\) e nulla in \(x = 0\). La funzione cresce quindi fino a \(0\), presenta un punto di massimo assoluto in \(x = 0\) (con ordinata \(y = 2\)) e decresce da \(0\) in poi.
• Derivata seconda e flessi: La derivata seconda semplificata è: \[y'' = \frac{16(3x^2 - 4)}{(4 + x^2)^3}\] Essa risulta positiva quando \(3x^2 - 4 > 0\), cioè quando \(x < -\frac{2}{\sqrt{3}}\) oppure \(x > \frac{2}{\sqrt{3}}\).
  La concavità della curva è rivolta verso l'alto in tali intervalli esterni e verso il basso per \(-\frac{2}{\sqrt{3}} < x < \frac{2}{\sqrt{3}}\). In \(x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}\) si hanno due punti di flesso, entrambi di ordinata \(\frac{3}{2}\).

Studio del quadrilatero

Cerchiamo le tangenti nei punti \(P(-2; 1)\) e \(Q(2; 1)\).

Risulta \(f'(-2) = \frac{1}{2}\) ed \(f'(2) = -\frac{1}{2}\), di conseguenza le equazioni delle rette tangenti in \(P\) e \(Q\) sono rispettivamente: \[\text{tangente in } P: y = \frac{1}{2}x + 2\] \[\text{tangente in } Q: y = -\frac{1}{2}x + 2\]

La distanza \(OQ\), uguale per simmetria alla distanza \(OP\), è pari a \(\sqrt{5}\).
Le rette \(OP\) e \(OQ\) si intersecano nell'origine, mentre le due rette tangenti si intersecano sull’asse delle ordinate nel punto \(M(0; 2)\).
Le distanze \(PM\) e \(QM\) sono uguali anch'esse a \(\sqrt{5}\): avendo tutti e quattro i lati congruenti (\(OP = OQ = PM = QM = \sqrt{5}\)), il quadrilatero \(OQMP\) è un rombo.

Determinazione degli angoli del rombo

Metodo principale:
Detto \(\beta\) l’angolo che la retta \(OQ\) forma con l’asse delle \(x\), risulta \(\operatorname{tg}\beta = \frac{1}{2}\). Per l’evidente simmetria della figura, l’angolo \(\widehat{POQ}\) è uguale a: \[180^\circ - 2\beta = 180^\circ - 2\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) \cong 126^\circ 52'\] Di conseguenza, gli angoli opposti \(\widehat{POQ}\) e \(\widehat{PMQ}\) misurano \(126^\circ 52'\).
L’angolo \(\widehat{MQO}\) (e l'opposto \(\widehat{MPO}\)) è supplementare di \(\widehat{POQ}\), quindi misura: \[2\beta = 2\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) \cong 53^\circ 08'\]

Metodo alternativo per gli angoli:
L’angolo \(\alpha\) formato dalle rette \(MP\) e \(MQ\) è ottuso, poiché l’angolo che la retta \(OQ\) forma con l’asse \(x\) misura meno di \(45^\circ\); esso è tale che: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = -\frac{4}{3} \quad \implies \quad \alpha =\] \[=\operatorname{arctg}\left(-\frac{4}{3}\right) \cong 126.87^\circ \cong 126^\circ 52'\] I restanti angoli acuti \(\widehat{MPO}\) e \(\widehat{MQO}\), supplementari di \(\alpha\), misureranno: \[180^\circ - 126^\circ 52' = 53^\circ 08'\]

Soluzione del punto 2

La circonferenza richiesta ha centro in \((0;1)\) e raggio \(1\), pertanto la sua equazione cartesiana è: \[x^2 + (y-1)^2 = 1 \implies x^2 + y^2 - 2y = 0\]

La retta \(t\) passante per l'origine ha equazione del tipo \(y = mx\) (se la retta è \(x=0\), ovvero l'asse \(y\), troviamo per intersezione con la circonferenza il punto limite superiore di coordinate \((0;2)\)). Mettendo a sistema l'equazione della retta \(t\) e della circonferenza \(\Gamma\) otteniamo le coordinate di \(A\): \[\begin{cases} y = mx \\ x^2 + y^2 - 2y = 0 \end{cases} \implies x^2 + m^2x^2 - 2mx = 0 \implies x\left[x(1+m^2) - 2m\right] = 0\] Escludendo la soluzione geometrica banale coincidente con l'origine \(O(0;0)\), si ricava l'ascissa del punto \(A\). Le sue coordinate sono quindi: \[A = \left( \frac{2m}{1+m^2} \;;\; \frac{2m^2}{1+m^2} \right)\]

Mettendo a sistema l'equazione di \(t\) con la retta d'equazione \(y = 2\), otteniamo in modo analogo le coordinate del punto \(B\): \[\begin{cases} y = mx \\ y = 2 \end{cases} \implies mx = 2 \implies x = \frac{2}{m}\] Ossia: \[B = \left( \frac{2}{m} \;;\; 2 \right)\] Nota: Se \(m = 0\), la retta \(t\) coincide con l'asse delle \(x\) e non taglia la retta parallela \(y = 2\).

Il luogo geometrico richiesto, avente per ascissa l'aliquota \(x\) di \(B\) e per ordinata l'aliquota \(y\) di \(A\), ammette le seguenti equazioni parametriche: \[\begin{cases} x = \dfrac{2}{m} \\\\ y = \dfrac{2m^2}{1+m^2} \end{cases}\]

Ricavando il parametro \(m\) dalla prima relazione (\(m = \frac{2}{x}\)) e andandolo a sostituire opportunamente all'interno della seconda equazione, otteniamo l'espressione analitica in forma cartesiana del luogo: \[y = \frac{2\left(\dfrac{2}{x}\right)^2}{1 + \left(\dfrac{2}{x}\right)^2} = \frac{\dfrac{8}{x^2}}{1 + \dfrac{4}{x^2}} = \frac{\dfrac{8}{x^2}}{\dfrac{x^2 + 4}{x^2}} = \frac{8}{4 + x^2}\] La funzione così ottenuta coincide perfettamente con la legge analitica della curva \(\Phi\) definita all'inizio della traccia (curva storicamente nota come Versiera di Agnesi). La proprietà richiesta è pertanto dimostrata.

Soluzione del punto 3

Calcolo dell'area della regione R

Per trovare l’area della regione \(R\) si calcola il seguente integrale definito nell'intervallo \([0; 2]\):

\[A(R) = \int_{0}^{2} \frac{8}{4 + x^2} \, dx = 4 \int_{0}^{2} \frac{\frac{1}{2}}{1 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \, dx\]

Riconoscendo l'integrale immediato che conduce alla funzione arcotangente, otteniamo:

\[A(R) = 4 \left[ \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{2} = 4 \cdot (\operatorname{arctg}1 - \operatorname{arctg}0) = 4 \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right) = \pi\]

Confronto con l'area del cerchio

La circonferenza \(\Gamma\) ha raggio pari a \(1\). L'area del cerchio corrispondente è:

\[A(\Gamma) = \pi \cdot 1^2 = \pi\]

Quindi le due aree sono perfettamente uguali.

Area della regione illimitata

L’area della regione illimitata compresa tra la curva \(\Phi\) e tutto l’asse \(x\) si ottiene sfruttando la simmetria della funzione pari e calcolando il seguente integrale improprio da \(0\) a \(+\infty\):

\[2 \int_{0}^{+\infty} \frac{8}{4 + x^2} \, dx = 2 \lim_{k \to +\infty} \int_{0}^{k} \frac{8}{4 + x^2} \, dx\]

Risolvendo il limite del valore dell'integrale passante per il parametro \(k\):

\[2 \lim_{k \to +\infty} \left[ 4\operatorname{arctg}\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{k} = 8 \lim_{k \to +\infty} \left(\operatorname{arctg}\left(\frac{k}{2}\right)\right) = 8 \cdot \frac{\pi}{2} = 4\pi\]

Il risultato ottenuto è appunto uguale a quattro volte l’area del cerchio in questione (\(4 \cdot \pi\)).

Soluzione del punto 4

Metodo principale: Gusci cilindrici (Integrazione rispetto a \(x\))

Il metodo dei gusci cilindrici si rivela l'approccio più efficiente e lineare, in quanto permette di determinare il volume del solido di rotazione attorno all'asse delle ordinate integrando direttamente rispetto alla variabile \(x\) sull'intervallo \([0,2]\), evitando così di dover invertire la funzione analitica della curva.

La formula per il calcolo del volume è:

\[V(W) = 2\pi \int_{0}^{2} x \cdot f(x) \, dx = 2\pi \int_{0}^{2} x \cdot \frac{8}{4 + x^2} \, dx = 8\pi \int_{0}^{2} \frac{2x}{4 + x^2} \, dx\]

Poiché al numeratore è presente l'esatta derivata del denominatore, l'integrale immediato conduce alla funzione logaritmo naturale:

\[V(W) = 8\pi \Big[ \ln(4 + x^2) \Big]_{0}^{2} = 8\pi \Big( \ln(4 + 2^2) - \ln(4 + 0^2) \Big)\] \[V(W) = 8\pi \Big( \ln 8 - \ln 4 \Big) = 8\pi \ln\left(\frac{8}{4}\right) = 8\pi\ln 2 \cong 17.42\]

📘 Approfondimento: Per una trattazione teorica completa e per comprendere la visualizzazione geometrica tridimensionale di questo approccio, puoi consultare la dispensa sul Metodo dei gusci cilindrici disponibile su Matefilia.

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Metodo alternativo: Integrazione rispetto a \(y\)

In alternativa, è possibile calcolare il volume tramite l'integrazione classica lungo l'asse delle ordinate. Sfruttando l'equazione della funzione, ricaviamo prima la relazione esplicita per la variabile \(x^2\) in funzione di \(y\). Ricordando che per \(x = 2\) si ha \(y = 1\), risulta:

\[y = \frac{8}{4 + x^2} \implies 4 + x^2 = \frac{8}{y} \implies x^2 = \frac{8}{y} - 4\]

Geometricamente, esaminando l'intervallo sull'asse delle ordinate \(y \in [0,2]\), la rotazione attorno all'asse \(y\) della regione \(R\) genera un solido composto da due parti distinte:

• Per \(y \in [0, 1]\): Un cilindro circolare retto standard avente raggio di base \(R = 2\) e altezza \(h = 1\), il cui volume vale complessivamente \(\pi \cdot 2^2 \cdot 1 = 4\pi\).
• Per \(y \in [1, 2]\): La porzione sommitale delimitata dalla curva, determinabile immaginando di sommare infiniti cilindri infinitesimi di raggio \(x\) e altezza \(dy\): \[dV = \pi x^2 \, dy = \pi \left(\frac{8}{y} - 4\right) dy\]

Sommando i due volumi parziali otteniamo:

\[V(W) = \pi \int_{0}^{1} 2^2 \, dy + \pi \int_{1}^{2} \left(\frac{8}{y} - 4\right) dy = 4\pi + \pi \Big[ 8\ln|y| - 4y \Big]_{1}^{2}\] \[V(W) = 4\pi + \pi \Big[ (8\ln 2 - 8) - (8\ln 1 - 4) \Big] = 4\pi + \pi (8\ln 2 - 4) = 8\pi\ln 2 \cong 17.42\]