Simulazione 14 – Problema 1 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del punto a

Dominio

La funzione è definita quando l'argomento del logaritmo è strettamente positivo e il denominatore è diverso da zero. Pertanto, il dominio è:

\[x > 0 \implies D: 0 < x < +\infty\]

Visto il dominio, la funzione non può essere pari né dispari.

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Intersezioni con gli assi

• Se \(x = 0\): la funzione non esiste (valore esterno al dominio).
• Se \(y = 0\): poniamo il numeratore uguale a zero: \[\ln^2 x + 2\ln x + 2 = 0\] Risolvendo come un'equazione di secondo grado in \(\ln x\), calcoliamo il discriminante: \[\Delta = 4 - 8 = -4 < 0\] Poiché \(\Delta < 0\), l'equazione non ammette soluzioni reali. La curva non interseca l'asse delle ascisse.

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Positività

Studiamo il segno della funzione imponendo \(f(x) \ge 0\):

\[\frac{\ln^2 x + 2\ln x + 2}{x} \ge 0\]

Poiché il denominatore è sempre positivo nel dominio (\(x > 0\)) e il numeratore ha \(\Delta < 0\) con primo coefficiente positivo, l'espressione è sempre positiva nel dominio:

\[f(x) > 0 \quad \forall x \in D\]

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Limiti e asintoti

Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio per determinare il comportamento asintotico:

\[\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln^2 x + 2\ln x + 2}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln^2 x}{x} = +\infty\]

Pertanto, la retta \(x = 0\) è un asintoto verticale per \(x \to 0^+\).

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^2 x + 2\ln x + 2}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^2 x}{x} = 0^+\]

Di conseguenza, la retta \(y = 0\) è un asintoto orizzontale per \(x \to +\infty\).

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Derivata prima

Applicando la regola di derivazione del rapporto, scriviamo i passaggi su più righe:

\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{\left(2\ln x \cdot \frac{1}{x} + \frac{2}{x}\right) \cdot x - (\ln^2 x + 2\ln x + 2) \cdot 1}{x^2} = \\ &= \frac{2\ln x + 2 - \ln^2 x - 2\ln x - 2}{x^2} = \\ &= \frac{-\ln^2 x}{x^2} \end{aligned}\]

Studiamo la monotonia ponendo \(f'(x) \ge 0\):

\[\frac{-\ln^2 x}{x^2} \ge 0 \implies -\ln^2 x \ge 0 \implies \ln^2 x \le 0\]

• L'uguaglianza è verificata solo se \(\ln x = 0 \implies x = 1\).
• Per ogni altro valore del dominio, la derivata è strettamente negativa (\(f'(x) < 0\)).

Pertanto la funzione è sempre decrescente ed ha un punto a tangente orizzontale per \(x = 1\), con ordinata \(f(1) = 2\).

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Derivata seconda

Deriviamo ulteriormente per analizzare la concavità, scrivendo i passaggi su più righe:

\[\begin{aligned} f''(x) &= \frac{\left(-2\ln x \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x^2 - (-\ln^2 x) \cdot 2x}{x^4} = \\ &= \frac{-2x\ln x + 2x\ln^2 x}{x^4} = \\ &= \frac{2\ln^2 x - 2\ln x}{x^3} \end{aligned}\]

Studiamo il segno ponendo \(f''(x) \ge 0\). Essendo il denominatore positivo nel dominio, consideriamo il numeratore:

\[2\ln^2 x - 2\ln x \ge 0 \implies 2\ln x(\ln x - 1) \ge 0 \implies \ln x \le 0 \quad \text{oppure} \quad \ln x \ge 1\]

Otteniamo così gli intervalli di concavità:

\[0 < x \le 1 \quad \text{oppure} \quad x \ge e\]

Il grafico volge la concavità verso l'alto se \(0 < x < 1\) e \(x > e\), mentre volge la concavità verso il basso se \(1 < x < e\). Abbiamo quindi due punti di flesso:

• \(F_1(1;\,2)\) — punto a tangente orizzontale.
• \(F_2\left(e;\,\dfrac{5}{e}\right)\) con ordinata \(f(e) = \dfrac{5}{e} \cong 1{,}84\).

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Soluzione del punto b

Equazioni delle rette tangenti nei punti di flesso

Dai risultati del punto precedente, i due punti di flesso della curva \(\gamma\) sono:

\[F_1 = (1;\,2) \quad \text{e} \quad F_2 = \left(e;\,\frac{5}{e}\right)\]

Calcoliamo il coefficiente angolare delle tangenti valutando la derivata prima in tali punti:

\[f'(1) = 0 \quad \text{e} \quad f'(e) = -\frac{1}{e^2}\]

L'equazione della retta tangente nel punto \(F_1\) è immediata, trattandosi di un punto a tangente orizzontale:

\[y = 2\]

Per la retta tangente nel punto \(F_2\), applichiamo la formula del fascio di rette, scrivendo i passaggi su più righe:

\[\begin{aligned} y - \frac{5}{e} &= -\frac{1}{e^2}(x - e) = \\ &= -\frac{1}{e^2}x + \frac{1}{e} = \\ &= -\frac{1}{e^2}x + \frac{6}{e} \end{aligned}\]

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Intersezione tra le rette tangenti

Troviamo il punto di intersezione \(C\) tra le due rette tangenti risolvendo il sistema lineare:

\[\begin{cases} y = 2 \\ y = -\dfrac{1}{e^2}x + \dfrac{6}{e} \end{cases}\]

Sostituendo la prima equazione nella seconda si ottiene:

\[-\frac{1}{e^2}x + \frac{6}{e} = 2 \implies -x + 6e = 2e^2 \implies x = 6e - 2e^2 \cong 1{,}5\]

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Intersezione della seconda tangente con l'asse delle ascisse

Determiniamo il punto \(F\) in cui la tangente in \(F_2\) interseca l'asse \(x\) ponendo \(y = 0\):

\[-\frac{1}{e^2}x + \frac{6}{e} = 0 \implies -x + 6e = 0 \implies x = 6e \cong 16{,}3\]

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Calcolo dell'area del trapezio

Le rette tangenti e gli assi cartesiani delimitano un trapezio rettangolo \(EDCF\) i cui vertici sono:

• \(E(0;\,0)\): l'origine degli assi.
• \(D(0;\,2)\): l'intersezione della prima tangente con l'asse delle ordinate.
• \(C(6e - 2e^2;\,2)\): il punto di intersezione tra le due tangenti.
• \(F(6e;\,0)\): l'intersezione della seconda tangente con l'asse delle ascisse.

Il trapezio ha la base maggiore sull'asse \(x\) di lunghezza \(B = 6e\), la base minore sulla retta \(y = 2\) di lunghezza \(b = 6e - 2e^2\) e l'altezza sull'asse \(y\) pari a \(h = 2\). L'area risulta:

\[\begin{aligned} \text{Area}(\text{trapezio}) &= \frac{(B + b) \cdot h}{2} = \\ &= \frac{(6e + 6e - 2e^2) \cdot 2}{2} = \\ &= 12e - 2e^2 \;\text{u}^2 \cong 17{,}84\;\text{u}^2 \end{aligned}\] ↑ Nascondi soluzione

Soluzione del punto c

Analisi della rotazione geometrica

La rotazione completa del trapezio rettangolo \(EDCF\) attorno all'asse delle ascisse genera un solido composto da due parti distinte adiacenti:

• Un cilindro, generato dalla rotazione del rettangolo sottostante la tangente orizzontale \(y = 2\).
• Un cono, generato dalla rotazione del triangolo rettangolo sottostante la tangente obliqua.

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Volume del cilindro

Il cilindro ha come raggio di base l'altezza della tangente orizzontale, pari a \(2\), e come altezza la lunghezza del segmento sull'asse \(x\) che va dall'origine fino all'ascissa del punto di intersezione delle tangenti, ovvero \(6e - 2e^2\). Il suo volume è:

\[\begin{aligned} V_{\text{cilindro}} &= \pi \cdot (2)^2 \cdot (6e - 2e^2) = \\ &= 8\pi(3e - e^2) \end{aligned}\]

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Volume del cono

Il cono condivide il raggio di base con il cilindro, pari a \(2\). La sua altezza è data dalla differenza tra l'intersezione della tangente obliqua con l'asse \(x\) e l'altezza del cilindro, ossia \(6e - (6e - 2e^2) = 2e^2\). Il suo volume è:

\[\begin{aligned} V_{\text{cono}} &= \frac{1}{3}\pi \cdot (2)^2 \cdot (6e - 6e + 2e^2) = \\ &= \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot (2e^2) = \\ &= \frac{8}{3}\pi e^2 \end{aligned}\]

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Volume totale del solido di rotazione

Sommando i due volumi parziali otteniamo il volume complessivo del solido richiesto:

\[\begin{aligned} V_{\text{solido}} &= 8\pi(3e - e^2) + \frac{8}{3}\pi e^2 = \\ &= \frac{8}{3}\pi(9e - 2e^2) \cong \\ &\cong 81{,}149\;\text{u}^3 \end{aligned}\] ↑ Nascondi soluzione

Soluzione del punto d

Impostazione dell'integrale definito

L'area della regione di piano considerata si ottiene calcolando l'integrale definito della funzione nell'intervallo richiesto, poiché in tale intervallo la curva si trova interamente al di sopra dell'asse delle ascisse:

\[\text{Area} = \int_{1}^{e} \frac{\ln^2 x + 2\ln x + 2}{x}\,dx\]

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Calcolo della primitiva

Per risolvere l'integrale, decomponiamo la frazione e scriviamo i passaggi su più righe:

\[\begin{aligned} \text{Area} &= \int_{1}^{e} \frac{\ln^2 x + 2\ln x + 2}{x}\,dx = \\ &= \int_{1}^{e} \left(\frac{1}{x}\ln^2 x + \frac{2}{x}\ln x + \frac{2}{x}\right)dx = \\ &= \left[\frac{1}{3}\ln^3 x + \ln^2 x + 2\ln|x|\right]_{1}^{e} \end{aligned}\]

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Calcolo finale del valore dell'area

Valutiamo la primitiva nell'estremo superiore \(e\) e nell'estremo inferiore \(1\):

• Valore in \(e\): \(\dfrac{1}{3}\ln^3(e) + \ln^2(e) + 2\ln(e) = \dfrac{1}{3}(1) + 1 + 2 = \dfrac{10}{3}\)
• Valore in \(1\): \(\dfrac{1}{3}\ln^3(1) + \ln^2(1) + 2\ln(1) = 0 + 0 + 0 = 0\)

Sottraendo i due valori otteniamo:

\[\begin{aligned} \text{Area} &= \frac{10}{3} - 0 = \\ &= \frac{10}{3}\;\text{u}^2 \cong 3{,}33\;\text{u}^2 \end{aligned}\] ↑ Nascondi soluzione