Simulazione 14 - Problema 2 - Esame di Stato 2026

Soluzione del punto 1

L'angolo \(\widehat{ACB}\) misura \(135^\circ\), poiché il suo corrispondente angolo al centro misura \(270^\circ\) (ovvero l'angolo esplementare dell'angolo retto \(\widehat{AOB}\)).

Di conseguenza, l'angolo adiacente \(\widehat{MCD}\) vale:

\[180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\]

Inoltre, la retta \(OD\) è perpendicolare alla corda \(AC\), poiché passa per il centro \(O\) della circonferenza e per il punto medio \(M\) della corda stessa.

Segue che il triangolo \(CDM\) è rettangolo in \(M\). Essendo l'angolo \(\widehat{MCD}\) di \(45^\circ\), anche l'angolo \(\widehat{MDC}\) sarà di \(45^\circ\):

Nota geometrica: Il triangolo \(MCD\) è quindi un triangolo rettangolo isoscele per ogni scelta del punto \(C\) sull'arco \(AB\).

Calcolo del rapporto richiesto

Poniamo la lunghezza della corda \(AC = x\). Essendo \(M\) il punto medio di \(AC\), abbiamo:

\[AM = \frac{x}{2}\]

Per verificare la configurazione analitica fornita dal testo dell'esercizio, consideriamo il raggio della circonferenza come unità di misura geometrica del sistema, ponendo \(OA = 1\).

Essendo il triangolo \(CDM\) rettangolo isoscele con cateti \(CM = AM = \frac{x}{2}\), la sua ipotenusa \(CD\) risulta:

\[CD = CM \cdot \sqrt{2} = \frac{x}{2} \cdot \sqrt{2}\]

Sostituiamo ora i valori trovati nell'espressione del rapporto richiesto:

\[\frac{CD^2}{AM^2 + OA^2} = \frac{\left(\frac{x}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2}{\left(\frac{x}{2}\right)^2 + 1^2}\] \[\frac{CD^2}{AM^2 + OA^2} = \frac{\frac{2x^2}{4}}{\frac{x^2}{4} + 1}\] \[\frac{CD^2}{AM^2 + OA^2} = \frac{\frac{2x^2}{4}}{\frac{x^2 + 4}{4}}\]

Moltiplicando per la frazione inversa del denominatore, i due quattro si semplificano e otteniamo esattamente la funzione \(f(x)\) richiesta:

\[f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 4}\]

Moltiplicando per la frazione inversa del denominatore, i due quattro si semplificano e otteniamo esattamente la funzione \(f(x)\) richiesta:

Funzione ottenuta: \[f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 4}\]

Limiti di variabilità della variabile \(x\)

Il punto \(C\) si muove sull'arco \(AB\):

• Quando \(C\) coincide con \(A\), la corda \(AC\) si annulla, quindi \(x = 0\).
• Quando \(C\) coincide con \(B\), la corda \(AC\) diventa l'intero segmento \(AB\). Ciascun cateto del triangolo rettangolo isoscele \(OAB\) ha lunghezza pari al raggio \(1\), pertanto per il teorema di Pitagora l'ipotenusa \(AB\) vale \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

Il dominio di variabilità della scissa geometrica \(x\) è dunque:

\[0 \le x \le \sqrt{2}\]

Soluzione del punto 2

Studio della funzione \(y = \frac{2x^2}{x^2 + 4}\)

Dominio e continuità: La funzione è una funzione razionale fratta. Il denominatore \(x^2 + 4\) non si annulla mai nel campo dei numeri reali, essendo una somma di quadrati sempre positiva (\(x^2 + 4 \ge 4\)). Pertanto, la funzione è definita e continua su tutto l'insieme dei numeri reali:

\[\mathbb{R} = (-\infty, +\infty)\]

Simmetrie: Studiamo la parità della funzione sostituendo \(x\) con \(-x\):

\[f(-x) = \frac{2(-x)^2}{(-x)^2 + 4} = \frac{2x^2}{x^2 + 4} = f(x)\]

La funzione è pari, quindi il grafico risulta simmetrico rispetto all'asse delle ordinate (\(Y\)).

Intersezioni con gli assi e segno:

• Si annulla per \(x = 0\), con ordinata \(y = 0\). Il grafico interseca gli assi cartesiani unicamente nell'origine \(O(0,0)\).
• Essendo il numeratore \(2x^2 \ge 0\) e il denominatore \(x^2 + 4 > 0\), la funzione è strettamente positiva per tutti gli altri valori di \(x\) al di fuori dello zero.

Comportamento agli estremi e asintoti: Calcoliamo il limite per \(x\) che tende a \(\pm\infty\):

\[\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{x^2 + 4} = 2\]

Di conseguenza, abbiamo un asintoto orizzontale completo di equazione:

\[y = 2\]

Derivata prima: Utilizziamo la regola di derivazione del rapporto:

\[f'(x) = \frac{4x \cdot (x^2 + 4) - 2x^2 \cdot (2x)}{(x^2 + 4)^2}\] \[f'(x) = \frac{4x^3 + 16x - 4x^3}{(x^2 + 4)^2}\] \[f'(x) = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}\]

Analizziamo il segno della derivata prima per determinare gli intervalli di crescita e decrescita:

\[f'(x) \ge 0 \quad \text{se} \quad x \ge 0\]

La funzione è crescente se \(x > 0\), decrescente se \(x < 0\) ed ha un punto di minimo relativo (ed assoluto) in \(x = 0\), con ordinata \(y = 0\).

Derivata seconda: Deriviamo ulteriormente la funzione rispetto a \(x\):

\[f''(x) = \frac{16 \cdot (x^2 + 4)^2 - 16x \cdot 2(x^2 + 4) \cdot 2x}{(x^2 + 4)^4}\]

Semplificando per il fattore comune \((x^2 + 4)\):

\[f''(x) = \frac{16(x^2 + 4) - 64x^2}{(x^2 + 4)^3}\] \[f''(x) = \frac{64 - 48x^2}{(x^2 + 4)^3}\]

Studiamo il segno della derivata seconda per determinare la concavità:

\[f''(x) \ge 0 \quad \text{se} \quad x^2 \le \frac{4}{3} \quad \text{cioè:} \quad -\sqrt{\frac{4}{3}} \le x \le \sqrt{\frac{4}{3}}\]

Il grafico quindi volge la concavità verso l'alto se \(-\sqrt{\frac{4}{3}} < x < \sqrt{\frac{4}{3}}\) e verso il basso nella parte rimanente. Abbiamo due punti di flesso per \(x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}}\) con ordinata \(y = \frac{1}{2}\).

Studio del massimo sul ramo \(\gamma\)

Il testo dell'esercizio richiede di analizzare il comportamento della funzione sul ramo \(\gamma\), che rappresenta la porzione di grafico situata all'interno del primo quadrante, identificata dalle condizioni geometriche \(x > 0\) e \(y > 0\).

Dallo studio della derivata prima sappiamo che per ogni \(x > 0\) risulta \(f'(x) > 0\). Questo significa che sul ramo \(\gamma\) la funzione è strettamente e continuamente crescente.

Analisi della monotonia: Poiché la funzione cresce indefinitamente all'aumentare di \(x\) verso l'infinito, avvicinandosi progressivamente al valore limite dell'asintoto senza mai superarlo o toccarlo (\(y \to 2\)), la curva non inverte mai il suo andamento e non presenta punti di massimo relativo interni o estremi geometrici superiori vincolati.

Di conseguenza, per l'insieme dei punti appartenenti a questo ramo continuo:

Risposta al quesito:

Non esiste un punto di ordinata massima nel primo quadrante sul ramo \(\gamma\).

Soluzione del punto 3

Determinazione dell'equazione della retta \(r\)

La retta \(r\) passa per l'origine degli assi cartesiani \(O(0,0)\) e per il punto \(T(2,1)\). Trattandosi di una retta passante per l'origine, la sua equazione generica è della forma \(y = mx\), dove il coefficiente angolare \(m\) è dato dal rapporto delle coordinate di \(T\):

\[m = \frac{y_T}{x_T} = \frac{1}{2}\]

L'equazione della retta \(r\) risulta pertanto:

\[y = \frac{1}{2}x\]

Calcolo dell'area della regione di piano

Osservando il grafico, la regione di piano considerata è delimitata superiormente dalla retta \(r: y = \frac{1}{2}x\) e inferiormente dal ramo di curva \(\gamma: y = \frac{2x^2}{x^2 + 4}\). I due grafici si intersecano nell'origine \(O(0,0)\) e nel punto \(T(2,1)\), definendo l'intervallo di integrazione che va da \(x = 0\) a \(x = 2\).

L'area della regione compresa si calcola impostando il seguente integrale definito:

\[\text{Area} = \int_{0}^{2} \left( \frac{1}{2}x - \frac{2x^2}{x^2 + 4} \right) dx\]

Separando l'integrale nella differenza di due integrali distinti, otteniamo:

\[\text{Area} = \int_{0}^{2} \frac{1}{2}x \, dx - \int_{0}^{2} \frac{2x^2}{x^2 + 4} \, dx\]

Calcoliamo innanzitutto una primitiva per la seconda funzione razionale fratta, aggiungendo e sottraendo \(4\) al numeratore:

\[\int \frac{2x^2}{x^2 + 4} \, dx = 2 \int \frac{x^2 + 4 - 4}{x^2 + 4} \, dx\] \[= 2 \left( \int 1 \cdot dx - 4 \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \right)\] \[= 2 \left( x - 4 \cdot \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right) \right)\] \[= 2x - 4\arctan\left(\frac{x}{2}\right)\]

Assemblando i blocchi e applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale, ricaviamo la primitiva complessiva da valutare tra gli estremi del dominio:

\[\text{Area} = \left[ \frac{1}{4}x^2 - \left( 2x - 4\arctan\left(\frac{x}{2}\right) \right) \right]_{0}^{2}\] \[\text{Area} = \left[ \frac{1}{4}x^2 - 2x + 4\arctan\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{2}\]

Sostituiamo ora l'estremo superiore \(x = 2\):

\[\text{Area} = \left( \frac{1}{4}(2)^2 - 2(2) + 4\arctan\left(\frac{2}{2}\right) \right)\] \[\text{Area} = 1 - 4 + 4\arctan(1)\]

Essendo \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\), e poiché la valutazione nell'estremo inferiore \(x = 0\) annulla tutti i singoli termini, otteniamo il valore esatto:

\[\text{Area} = -3 + 4\left(\frac{\pi}{4}\right) = (\pi - 3)\text{ u}^2\]

Valore finale dell'area richiesto: \[\text{Area} = (\pi - 3)\text{ u}^2 \approx (3.1416 - 3)\text{ u}^2 = 0.14\text{ u}^2\]

L'area della regione di piano considerata misura esattamente \((\pi - 3\)) \(\text{u}^2\), che corrisponde a circa \(0.14\) unità quadrate.

Soluzione del punto 4

Determinazione dell'equazione della retta normale \(n\)

La retta normale \(n\) è la retta perpendicolare alla retta tangente \(r\) nel punto di contatto \(T(2,1)\). Sapendo che il coefficiente angolare della retta \(r\) è \(m_r = \frac{1}{2}\), il coefficiente angolare \(m_n\) della retta normale sarà l'antireciproco:

\[m_n = -\frac{1}{m_r} = -2\]

Utilizziamo la formula del fascio di rette passanti per il punto \(T(2,1)\) per trovare l'equazione di \(n\):

\[y - y_T = m_n \cdot (x - x_T)\] \[y - 1 = -2 \cdot (x - 2)\] \[y - 1 = -2x + 4\] \[y = -2x + 5\]

Determinazione del punto \(N\) e dell'area del triangolo \(OTN\)

Il punto \(N\) rappresenta l'intersezione della retta normale \(n\) con l'asse delle ascise (\(y = 0\)). Mettiamo a sistema le due equazioni:

\[\begin{cases} y = -2x + 5 \\ y = 0 \end{cases} \implies -2x + 5 = 0 \implies x = \frac{5}{2}\]

Il punto di intersezione cercato ha quindi coordinate:

\[N\left(\frac{5}{2}, 0\right)\]

Considerando il triangolo \(OTN\), possiamo assumere come base il segmento \(ON\) che giace sull'asse delle ascise, la cui lunghezza corrisponde all'ascissa di \(N\):

\[\text{base} = ON = \frac{5}{2}\]

L'altezza del triangolo è data dall'ordinata del terzo vertice, ovvero il punto \(T(2,1)\):

\[\text{altezza} = y_T = 1\]

Calcoliamo l'area del triangolo \(OTN\) (che rappresenta la superficie dei casi possibili):

\[\text{Area}_{OTN} = \frac{\text{base} \cdot \text{altezza}}{2} = \frac{\frac{5}{2} \cdot 1}{2} = \frac{5}{4}\text{ u}^2\]

Calcolo della probabilità geometrica

Secondo la definizione di probabilità geometrica, la probabilità che un punto \(P\) scelto a caso all'interno del triangolo \(OTN\) appartenga alla regione \(S\) (interamente contenuta nel triangolo, come visibile dal grafico) è pari al rapporto tra l'area della regione favorevole e l'area della regione totale dei casi possibili:

\[p = \frac{\text{Area favorevole}}{\text{Area totale}} = \frac{\text{Area}_S}{\text{Area}_{OTN}}\]

Dal punto 3 sappiamo che l'area della regione \(S\) è pari a \(\text{Area}_S = (\pi - 3)\text{ u}^2\). Sostituiamo i valori nell'espressione:

\[p = \frac{\pi - 3}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}(\pi - 3)\]

Valore di probabilità richiesto: \[p = \frac{4}{5}(\pi - 3) \approx 0.8 \cdot (3.1416 - 3) = 0.8 \cdot 0.1416 \approx 0.1133\]

La probabilità che il punto \(P\) appartenga alla regione \(S\) è esattamente \(\frac{4}{5}(\pi - 3)\), pari a circa l'\(11.33\%\).