Questionario – Simulazione 14

Quesito 1

Sia \(R\) la regione del piano racchiusa tra il grafico di \(y = \sqrt{x - 1}\), la retta \(x = 10\) e l'asse \(x\). Si trovi il volume del solido generato da \(R\) nella rotazione attorno alla retta \(y = -1\).

Quesito uno. Sia Erre la regione del piano racchiusa tra il grafico di ipsilon uguale a radice quadrata di ics meno uno, la retta ics uguale a dieci e l'asse ics. Si trovi il volume del solido generato da Erre nella rotazione attorno alla retta ipsilon uguale a meno uno.

Soluzione del Quesito 1

Il grafico della funzione si ottiene traslando a destra di \(1\) il grafico di \(y = \sqrt{x}\); la regione \(R\) è quindi la seguente:

Grafico della regione R e asse di rotazione

La rotazione attorno a \(y = -1\) equivale a traslare la figura verso l'alto di \(1\) unità: la curva diventa il raggio esterno \(R(x) = \sqrt{x - 1} + 1\), mentre l'asse \(x\) diventa il raggio interno \(r = 1\).

Grafico del solido di rotazione ottenuto

Immaginando la retta \(y = -1\) come asse \(x\), il volume del solido è dato da:

\[V = \pi \int_{1}^{10} \left[ \left(\sqrt{x - 1} + 1\right)^2 - 1^2 \right] dx = \pi \int_{1}^{10} \left[ \left(x - 1 + 2\sqrt{x - 1} + 1\right) - 1 \right] dx =\] \[= \pi \int_{1}^{10} \left(x - 1 + 2\sqrt{x - 1}\right) dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - x + \frac{4}{3}(x - 1)^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{10} =\] \[= \pi \left[ 50 - 10 + \frac{4}{3} \cdot 27 - \left(\frac{1}{2} - 1\right) \right] = \frac{153}{2}\pi\text{ u}^3 \cong 240{,}332\text{ u}^3\]

Il volume del solido è: \(V = \frac{153}{2}\pi\text{ u}^3 \cong 240{,}332\text{ u}^3\).

Quesito 2

Si calcoli:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x) + 3x}{\text{sen}(5x)}\]

Quesito due. Si calcoli il limite, per ics che tende a zero, del rapporto con numeratore tangente di tre ics più tre ics, e denominatore seno di cinque ics.

Soluzione del Quesito 2

Ricordiamo che per \(x \to 0\) risulta: \(\tan(3x) \sim 3x\) e \(\text{sen}(5x) \sim 5x\), cioè \(\tan(3x)\) si comporta come \((3x)\) e \(\text{sen}(5x)\) si comporta come \((5x)\); quindi:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x) + 3x}{\text{sen}(5x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3x + 3x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{6x}{5x} = \frac{6}{5}\]

Il valore del limite è: \(\frac{6}{5}\).

Quesito 3

Sia \(AB\) un segmento di lunghezza \(20\text{ dm}\). Si determini il luogo dei punti \(C\) dello spazio tali che \(A\hat{B}C\) sia retto e \(B\hat{A}C\) misuri \(60^\circ\).

Quesito tre. Sia A B un segmento di lunghezza venti decimetri. Si determini il luogo dei punti C dello spazio tali che l'angolo A B C sia retto e l'angolo B A C misuri sessanta gradi.

Soluzione del Quesito 3

Se consideriamo un singolo piano passante per il segmento \(AB\), le condizioni del problema individuano un triangolo \(ABC\) rettangolo in \(B\). Sfruttando le proprietà dei triangoli rettangoli con angoli di \(30^\circ\) e \(60^\circ\), possiamo calcolare la lunghezza del cateto \(BC\):

\[BC = AB \cdot \tan(60^\circ) = 20 \cdot \sqrt{3}\text{ dm} \cong 34{,}64\text{ dm}\]

Nello spazio tridimensionale, poiché il vincolo di perpendicolarità e l'angolo rimangono costanti per qualsiasi piano ruotato attorno all'asse \(AB\), il punto \(C\) mantiene una distanza fissa da \(B\) pari a \(BC\).

Di conseguenza, \(C\) descrive la circonferenza di centro \(B\) e raggio \(BC\) nel piano passante per \(B\) e perpendicolare al segmento \(AB\), cioè la circonferenza di base del cono circolare retto con altezza \(AB\) e raggio di base \(BC\).

Rappresentazione geometrica del luogo dei punti C nello spazio

Il luogo descritto dai punti \(C\) è la circonferenza nello spazio di centro \(B\) e raggio \(BC = 20\sqrt{3}\text{ dm}\), giacente sul piano perpendicolare ad \(AB\) passante per \(B\).

Quesito 4

Quanti sono i numeri di \(6\) cifre che contengono: \(2\) volte esatte la cifra \(1\), \(2\) volte esatte la cifra \(2\) e non contengono la cifra \(0\)?

Quesito quattro. Quanti sono i numeri di sei cifre che contengono: due volte esatte la cifra uno, due volte esatte la cifra due e non contengono la cifra zero?

Soluzione del Quesito 4

Metodo 1: Analisi per casi distinti

Dobbiamo contare i possibili modi con cui possiamo occupare due posti su sei con sete oggetti (le cifre da \(3\) a \(9\)).

Caso A: se le due cifre aggiuntive (oltre a \(1\) e \(2\)) sono uguali tra loro, i possibili numeri (per ognuna delle sette cifre rimanenti) sono pari alle permutazioni con ripetizione di \(6\) oggetti di cui \(2\) uguali fra loro (\(1\)), altri \(2\) uguali fra loro (\(2\)) e altri \(2\) uguali fra loro (una delle sette cifre da \(3\) a \(9\)):

\[P_{6,(2,2,2)} = \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = 90\]

Considerando le \(7\) cifre disponibili, avremo quindi: \(90 \times 7 = 630\) possibili numeri.

Caso B: se le due cifre aggiuntive sono diverse tra loro, le coppie possibili con cui possiamo riempire gli altri due posti (a prescindere dall'ordine) sono le combinazioni di \(7\) oggetti a due a due. Tale numero deve essere poi moltiplicato per le permutazioni degli elementi nei \(6\) posti:

\[C_{7,2} \cdot P_{6,(2,2)} = \binom{7}{2} \cdot \frac{6!}{2! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6}{2} \cdot \frac{720}{4} = 21 \cdot 180 = 3780\]

In totale, sommando i due casi, avremo:

\[630 + 3780 = 4410\]

Metodo 2: Soluzione alternativa (combinazione dei posti)

Possiamo calcolare il risultato in modo più diretto determinando progressivamente le posizioni delle cifre all'interno delle \(6\) caselle disponibili:

Scegliamo i \(2\) posti su \(6\) in cui inserire la cifra \(1\): \(\binom{6}{2} = 15\) modi.
Scegliamo i \(2\) posti tra i \(4\) rimasti liberi in cui inserire la cifra \(2\): \(\binom{4}{2} = 6\) modi.
Le restanti \(2\) caselle vuote possono essere occupate indipendentemente da una qualsiasi delle \(7\) cifre rimanenti (da \(3\) a \(9\)), ovvero: \(7 \times 7 = 7^2 = 49\) modi.

Il numero totale richiesto si ottiene moltiplicando le possibilità ottenute:

\[15 \cdot 6 \cdot 49 = 90 \cdot 49 = 4410\]

I numeri di 6 cifre che soddisfano le condizioni richieste sono \(4410\).

Quesito 5

Calcolare il valore esatto del seguente integrale:

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan(x) \, dx\]

Si calcoli poi un valore approssimato dell'integrale utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.

Quesito cinque. Calcolare il valore esatto del seguente integrale: integrale tra zero e pi greco terzi di tangente di ics, in di ics. Si calcoli poi un valore approssimato dell'integrale utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.

Soluzione del Quesito 5

1. Calcolo del valore esatto

Per calcolare il valore esatto, iniziamo riscrivendo la funzione tangente como rapporto tra seno e coseno:

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan(x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)} \, dx\]

Ricordiamo che l'integrale si può ricondurre alla forma immediata \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)|\). Poiché la derivata del denominatore è \(D[\cos(x)] = -\text{sen}(x)\), moltiplichiamo per \(-1\) sia l'interno che l'esterno dell'integrale per ottenere al numeratore l'esatta derivata del denominatore:

\[= - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{-\text{sen}(x)}{\cos(x)} \, dx = \Big[ -\ln|\cos(x)| \Big]_{0}^{\frac{\pi}{3}}\]

Applichiamo ora il teorema fondamentale del calcolo integrale andando a sostituire gli estremi di integrazione superiore e inferiore:

\[= -\ln\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) - \big(-\ln(\cos(0))\big) =\] \[= -\ln\left(\frac{1}{2}\right) + \ln(1) = \ln(2) \cong 0{,}693\]

2. Calcolo del valore approssimato (metodo dei trapezi)

Utilizziamo il metodo dei trapezi dividendo l'intervallo in \(n=5\) parti:

Approssimazione dell'integrale con il metodo dei trapezi

La formula di approssimazione per il metodo dei trapezi è data da:

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan(x) \, dx \cong h \left[ \frac{f(x_0) + f(x_5)}{2} + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) \right]\]

Dove l'ampiezza degli intervalli risulta \(h = \frac{\frac{\pi}{3} - 0}{5} = \frac{\pi}{15}\), e i nodi campionati sono:

\[x_0 = 0,\;\; x_1 = \frac{\pi}{15},\;\; x_2 = \frac{2\pi}{15},\;\; x_3 = \frac{3\pi}{15},\;\; x_4 = \frac{4\pi}{15},\;\; x_5 = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}\]

Sostituendo i valori delle ordinate della funzione calcolati nei rispettivi nodi otteniamo:

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan(x) \, dx \cong \frac{\pi}{15} \left[ \frac{f(0) + f\left(\frac{\pi}{3}\right)}{2} + f\left(\frac{\pi}{15}\right) + f\left(\frac{2\pi}{15}\right) + f\left(\frac{3\pi}{15}\right) + f\left(\frac{4\pi}{15}\right) \right] =\] \[= \frac{\pi}{15} \cdot \left[ \frac{0 + \sqrt{3}}{2} + 0{,}213 + 0{,}445 + 0{,}727 + 1{,}111 \right] \cong \frac{\pi}{15} \cdot 3{,}362 \cong 0{,}70\]

Si nota la buona accuratezza del metodo numerico scelto, poiché le prime cifre esatte del valore teorico \(\ln(2)\) sono \(0{,}693\).

Valore esatto = \(\ln(2)\)
Valore approssimato (Trapezi, \(n=5\)) \(\cong 0{,}70\)

Quesito 6

Si determinino le equazioni degli asintoti della curva:

\[f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 3} - x\]

Quesito sei. Si determinino le equazioni degli asintoti della curva: effe di ics uguale a radice quadrata di ics quadro più due ics meno tre, meno ics.

Soluzione del Quesito 6

Cerchiamo il dominio della funzione:

\[x^2 + 2x - 3 \ge 0 \implies -\infty < x \le -3,\;\; 1 \le x < +\infty\]

La funzione può quindi ammettere asintoti orizzontali e/o obliqui.

Ricerca dell'asintoto per \(x \to -\infty\)

Risulta:

\[\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x\right) = +\infty\]

Quindi per \(x \to -\infty\) possiamo avere un asintoto obliquo \(y = mx + q\). Calcoliamo \(m\):

\[m = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(\frac{-x - x}{x}\right) = -2\]

Calcoliamo ora \(q\):

\[q = \lim_{x \to -\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to -\infty} \left[\left(\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x\right) + 2x\right] =\] \[= \lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x\right) =\] \[= \lim_{x \to -\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x\right) \cdot \left(\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x\right)}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x} =\] \[= \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 2x - 3 - x^2}{-x - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 3}{-2x} = -1\]

Quindi per \(x \to -\infty\) abbiamo l'asintoto obliquo di equazione: \(y = -2x - 1\).

Ricerca dell'asintoto per \(x \to +\infty\)

Vediamo se c'è un asintoto per \(x \to +\infty\):

\[\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x\right) = [F.I. \; +\infty - \infty]\]

Risolviamo la forma indeterminata tramite razionalizzazione:

\[\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x\right) \cdot \left(\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x\right)}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x} =\] \[= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2x - 3 - x^2}{+x + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 3}{2x} = 1\]

Quindi per \(x \to +\infty\) abbiamo l'asintoto orizzontale: \(y = 1\).

N.B. La funzione di equazione \(f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 3} - x\) equivale a \(y = \sqrt{x^2 + 2x - 3} - x\) che si può trasformare in:

\[ \begin{cases} y + x \ge 0 \\ (y + x)^2 = x^2 + 2x - 3 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge -x \\ y^2 + 2xy - 2x + 3 = 0 \end{cases} \]

che rappresenta geometricamente una parte di iperbole.

Grafico della funzione e dei suoi asintoti

La curva ammette un asintoto obliquo di equazione \(y = -2x - 1\) per \(x \to -\infty\) e un asintoto orizzontale di equazione \(y = 1\) per \(x \to +\infty\).

Quesito 7

Si divida il segmento \(AB = a\) in due parti \(AC\) e \(CB\), in modo che, costruito su \(AC\) il quadrato \(ACDE\) e su \(CB\) il triangolo equilatero \(CBF\), sia minima l'area del pentagono \(ABFDE\).

Quesito sette. Si divida il segmento A B uguale ad a in due parti A C e C B, in modo che, costruito su A C il quadrato A C D E e su C B il triangolo equilatero C B F, sia minima l'area del pentagono A B F D E.

Soluzione del Quesito 7

Rappresentazione geometrica del problema di minimo

Posto \(BC = x\) (con il vincolo geometrico \(0 \le x \le a\)) risulta che la parte rimanente del segmento è \(AC = a - x\).

Dall'analisi della figura, l'area del pentagono \(ABFDE\) può essere calcolata come la somma delle aree di tre figure geometriche distinte:

\[\text{Area}(ABFDE) = \text{Area}(ACDE) + \text{Area}(CBF) + \text{Area}(FCD)\]

Esprimiamo le singole aree in funzione della variabile \(x\):

Area del quadrato \(ACDE\): \((a - x)^2\)
Area del triangolo equilatero \(CBF\): \(x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\)
Area del triangolo \(FCD\): conoscendo i lati \(CD = a - x\), \(CF = x\) e l'angolo compreso \(\widehat{DCF} = 30^\circ\), applichiamo la formula trigonometrica: \[\frac{1}{2} \cdot x(a - x) \cdot \text{sen}(30^\circ)\]

Sviluppando e sommando i singoli contributi otteniamo la funzione area totale:

\[y = (a - x)^2 + x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\left(x(a - x) \cdot \text{sen}(30^\circ)\right) =\] \[= a^2 - 2ax + x^2 + x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}ax - \frac{1}{4}x^2 =\] \[= \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4}\right)x^2 - \frac{7}{4}ax + a^2\]

Metodo 1: Studio del vertice della parabola

La funzione ottenuta rappresenta la curva di una parabola con la concavità rivolta verso l'alto (essendo il coefficiente di \(x^2\) positivo). Il suo punto di minimo assoluto si trova in corrispondenza del vertice \(x_V = -\frac{b}{2a}\):

\[x = \frac{\frac{7}{4}a}{2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4}\right)} = \frac{\frac{7}{4}a}{\frac{\sqrt{3} + 3}{2}} = \frac{7a}{2(\sqrt{3} + 3)}\]

Razionalizzando il denominatore si ottiene infine:

\[x = \frac{7a(3 - \sqrt{3})}{2(9 - 3)} = \frac{7a(3 - \sqrt{3})}{12} \cong 0{,}74\,a\]

Metodo 2: Studio della derivata prima (soluzione alternativa)

Possiamo giungere allo stesso risultato calcolando la derivata prima della funzione area rispetto alla variabile \(x\):

\[y' = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4}\right)x - \frac{7}{4}a = \left(\frac{\sqrt{3} + 3}{2}\right)x - \frac{7}{4}a\]

Cerchiamo i punti stazionari ponendo la derivata prima uguale a zero (\(y' = 0\)):

\[\left(\frac{\sqrt{3} + 3}{2}\right)x - \frac{7}{4}a = 0 \implies \left(\frac{\sqrt{3} + 3}{2}\right)x = \frac{7}{4}a\] \[x = \frac{7}{4}a \cdot \frac{2}{\sqrt{3} + 3} = \frac{7a}{2(\sqrt{3} + 3)}\]

Studiando il segno della derivata (\(y' > 0\)), notiamo che:

\[y' > 0 \implies x > \frac{7a}{2(\sqrt{3} + 3)}\]

La funzione decresce per valori minori di \(x_V\) e cresce per valori maggiori; questo conferma che il punto trovato è un punto di minimo relativo e assoluto per l'area del pentagono.

Il pentagono \(ABFDE\) ha area minima quando il lato del triangolo equilatero misura \(x = \frac{7a(3 - \sqrt{3})}{12} \cong 0{,}74\,a\).

Quesito 8

Si scelga a caso un punto all'interno di un parallelogramma, avente i lati lunghi rispettivamente \(8\text{ m}\) e \(6\text{ m}\) e gli angoli acuti di \(30^\circ\). Si determini la probabilità che la sua distanza da ogni vertice sia maggiore di \(2\text{ m}\).

Quesito otto. Si scelga a caso un punto all'interno di un parallelogramma, avente i lati lunghi rispettivamente otto metri e sei metri e gli angoli acuti di trenta gradi. Si determini la probabilità che la sua distanza da ogni vertice sia maggiore di due metri.

Soluzione del Quesito 8

Rappresentazione geometrica dei settori circolari nel parallelogramma

Descrizione della figura: il grafico mostra un parallelogramma con i lati consecutivi di lunghezza \(6\text{ m}\) e \(8\text{ m}\). In corrispondenza di ciascuno dei quattro vertici è tracciata una circonferenza di raggio uguale a \(2\text{ m}\). Le zone colorate all'interno del poligono rappresentano i quattro settori circolari che racchiudono tutti i punti che si trovano a una distanza inferiore o uguale a \(2\text{ m}\) dai vertici stessi. Due settori corrispondono agli angoli acuti di \(\alpha = 30^\circ\) e gli altri due agli angoli ottusi di \(\beta = 150^\circ\).

1. Analisi geometrica e calcolo delle aree

Il problema può essere risolto applicando il concetto di probabilità geometrica. La probabilità che il punto scelto a caso si trovi a una distanza maggiore di \(2\text{ m}\) dai vertici è data dal rapporto tra l'area favorevole (l'area bianca interna, distante dai vertici) e l'area totale possibile (l'area del parallelogramma).

Calcoliamo l'area totale del parallelogramma conoscendo due lati e l'angolo acuto compreso:

\[\text{Area totale} = \text{lato}_1 \cdot \text{lato}_2 \cdot \text{sen}(30^\circ) = 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 24\text{ m}^2\]

I quattro settori circolari interni hanno tutti un raggio di \(2\text{ m}\). Poiché la somma degli angoli interni di un parallelogramma è pari a \(360^\circ\) (\(2 \cdot 30^\circ + 2 \cdot 150^\circ = 360^\circ\)), i quattro settori uniti insieme formano esattamente un intero cerchio di raggio \(r = 2\text{ m}\):

\[\text{Area dei 4 settori} = \text{Area di un cerchio} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\text{ m}^2 \cong 12{,}57\text{ m}^2\]

2. Calcolo della probabilità

L'area favorevole si ottiene sottraendo l'area del cerchio dall'area del parallelogramma. Impostiamo il rapporto di probabilità spezzando i passaggi matematici:

\[p = \frac{\text{Area favorevole}}{\text{Area possibile}} = \frac{\text{Area parallelogramma} - \text{Area quattro settori interni}}{\text{Area parallelogramma}} =\] \[= \frac{24 - 4\pi}{24} = 1 - \frac{\pi}{6}\]

Sviluppando il calcolo numerico approssimato otteniamo:

\[p \cong 1 - 0{,}524 = 0{,}476 \implies p \cong 47{,}6\%\]

La probabilità esatta è pari a \(1 - \frac{\pi}{6}\), che corrisponde a un valore percentuale approssimato di circa il \(48\%\) (più precisamente \(47{,}6\%\)).

Simulazione 14 – Questionario – Versione DSA – Esame di Stato 2026