Simulazione 2 – Problema 2 – Esame di Stato 2026

Soluzione del punto a

1. Dominio e Continuità

Il denominatore \( |x|+1 \) non si annulla mai perché \( |x| \ge 0 \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \), e quindi \( |x|+1 \ge 1 \).

Il dominio della funzione è l'intero insieme dei numeri reali: \( D = \mathbb{R} \).

Essendo il quoziente di due funzioni continue su tutto \( \mathbb{R} \) con denominatore non nullo, la funzione \( f_a(x) \) è continua su tutto \( \mathbb{R} \).

2. Studio della Derivabilità

Esplicitiamo il valore assoluto per esaminare l'espressione della funzione a tratti:

\[ f_a(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-ax}{x+1} & \text{se } x \ge 0 \\[10pt] \dfrac{x^2-ax}{-x+1} & \text{se } x < 0 \end{cases} \]

Nei due intervalli aperti \( (-\infty, 0) \) e \( (0, +\infty) \) la funzione è un quoziente di polinomi derivabili, quindi è sicuramente derivabile. Esaminiamo il comportamento nell'origine (\( x = 0 \)) studiando il limite destro e sinistro della derivata prima:

Per \( x > 0 \)

La funzione coincide con il primo tratto. Applichiamo la regola di derivazione del quoziente:

\[ f'(x) = \frac{(2x-a)(x+1) - (x^2-ax)}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-a}{(x+1)^2} \]

Il limite destro per \( x \to 0^+ \) vale:

\[ f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+2x-a}{(x+1)^2} = -a \]

Per \( x < 0 \)

La funzione coincide con il secondo tratto. Eseguiamo la derivata:

\[ f'(x) = \frac{(2x-a)(1-x) - (x^2-ax)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{-x^2+2x-a}{(1-x)^2} \]

Il limite sinistro per \( x \to 0^- \) vale:

\[ f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x^2+2x-a}{(1-x)^2} = -a \]

Conclusione sulla derivata prima

Poiché il limite destro e sinistro della derivata prima coincidono ed assumono lo stesso valore (\( f'_+(0) = f'_-(0) = -a \)), la funzione è derivabile anche in \( x = 0 \) per ogni \( a \in \mathbb{R} \).

3. Esistenza della Derivata Seconda in \( x = 0 \)

Calcoliamo le espressioni delle derivate seconde nei rispettivi intervalli per valutarne i limiti nell'origine:

Per \( x > 0 \)

\[ f''(x) = \frac{(2x+2)(x+1)^2 - (x^2+2x-a)\cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} = \] \[=\frac{2(x+1)[(x+1)^2 - (x^2+2x-a)]}{(x+1)^4} =\frac{2(1+a)}{(x+1)^3} \]

Il limite destro per \( x \to 0^+ \) è:

\[ \lim_{x \to 0^+} f''(x) = 2 + 2a \]

Per \( x < 0 \)

\[ f''(x) = \frac{(-2x+2)(1-x)^2 - (-x^2+2x-a)\cdot 2(1-x)(-1)}{(1-x)^4} =\] \[=\frac{2(1-x)[(1-x)^2 + (-x^2+2x-a)]}{(1-x)^4}=\frac{2(1-a)}{(1-x)^3} \]

Il limite sinistro per \( x \to 0^- \) è:

\[ \lim_{x \to 0^-} f''(x) = 2 - 2a \]

Condizione di esistenza nell'origine

La derivata seconda esiste nel punto \( x = 0 \) se e solo se il limite destro e sinistro coincidono:

\[ 2 + 2a = 2 - 2a \;\Longrightarrow\; 4a = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{a = 0} \]

La funzione ammette quindi la derivata seconda in \( x = 0 \) se e solo se \( a = 0 \).

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Soluzione del punto b

Dato che il dominio è tutto \( \mathbb{R} \), non ci sono asintoti verticali. Verifichiamo la presenza di asintoti obliqui a \( +\infty \) e a \( -\infty \).

Asintoto destro per \( x \to +\infty \) (\( x > 0 \))

\[ m_+ = \lim_{x \to +\infty} \frac{f_a(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-ax}{x(x+1)} = 1 \] \[ q_+ = \lim_{x \to +\infty} [f_a(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-ax - x(x+1)}{x+1} = \] \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-(a+1)x}{x+1} = -(a+1) \]

L'equazione dell'asintoto destro è: \( y = x - a - 1 \).

Asintoto sinistro per \( x \to -\infty \) (\( x < 0 \))

\[ m_- = \lim_{x \to -\infty} \frac{f_a(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-ax}{x(1-x)} = -1 \] \[ q_- = \lim_{x \to -\infty} [f_a(x) - (-x)] = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-ax + x(1-x)}{1-x} = \] \[\lim_{x \to -\infty} \frac{(1-a)x}{1-x} = a-1 \]

L'equazione dell'asintoto sinistro è: \( y = -x + a - 1 \).

Intersezione tra gli asintoti

Troviamo il punto di incontro \( A \) impostando il sistema tra le due rette:

\[ \begin{cases} y = x - a - 1 \\ y = -x + a - 1 \end{cases} \]

Uguagliando le espressioni delle ordinate:

\[ x - a - 1 = -x + a - 1 \;\Longrightarrow\; 2x = 2a \;\Longrightarrow\; x = a \]

Sostituendo il valore \( x = a \) in una delle due equazioni si ricava \( y = -1 \).

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Soluzione del punto c

Se poniamo \( a = 2 \), l'espressione analitica della funzione diventa: \( f_2(x) = \frac{x^2-2x}{|x|+1} \).

1. Intersezioni con gli assi e Segno

Il denominatore è sempre positivo, di conseguenza il segno della funzione è dettato unicamente dal numeratore \( x(x-2) \):

• Intersezioni con l'asse \( x \): impostando \( f_2(x) = 0 \) si ottengono i punti \( O(0,0) \) e \( B(2,0) \).
• Intersezione con l'asse \( y \): ponendo \( x = 0 \) si ritrova l'origine \( O(0,0) \).
• Segno: la funzione è positiva per \( x < 0 \;\cup\; x > 2 \), mentre risulta negativa nell'intervallo compreso \( 0 < x < 2 \).

2. Ricerca degli Asintoti

Dato che il dominio della funzione è tutto \( \mathbb{R} \), il denominatore non si annulla mai e non sono presenti punti di discontinuità. Pertanto, non esistono asintoti verticali.

Verifichiamo la presenza di asintoti obliqui della forma \( y = mx + q \) per \( x \to \pm\infty \):

Asintoto destro per \( x \to +\infty \) (\( x > 0 \))

Calcoliamo il coefficiente angolare \( m_+ \) e la quota \( q_+ \):

\[ m_+ = \lim_{x \to +\infty} \frac{f_2(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-2x}{x(x+1)} = 1 \] \[ q_+ = \lim_{x \to +\infty} [f_2(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-2x - x(x+1)}{x+1} = \] \[\lim_{x \to +\infty} \frac{-3x}{x+1} = -3 \]

L'equazione dell'asintoto obliquo destro è: \( y = x - 3 \).

Asintoto sinistro per \( x \to -\infty \) (\( x < 0 \))

Calcoliamo il coefficiente angolare \( m_- \) e la quota \( q_- \):

\[ m_- = \lim_{x \to -\infty} \frac{f_2(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-2x}{x(1-x)} = -1 \] \[ q_- = \lim_{x \to -\infty} [f_2(x) - (-x)] = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-2x + x(1-x)}{1-x} = \] \[=\lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{1-x} = 1 \]

L'equazione dell'asintoto obliquo sinistro è: \( y = -x + 1 \).

3. Monotonia e Punti di Estremo

Utilizziamo le relazioni delle derivate ricavate nel punto a, immettendo il valore \( a = 2 \):

• Per \( x > 0 \): \( f'(x) = \frac{x^2+2x-2}{(x+1)^2} \). Ponendo la derivata uguale a zero otteniamo \( x^2+2x-2=0 \), la cui unica radice accettabile (poiché positiva) è \( x = -1 + \sqrt{3} \approx 0.73 \). In questo punto si registra un minimo relativo.
• Per \( x < 0 \): \( f'(x) = \frac{-x^2+2x-2}{(1-x)^2} \). Il numeratore ha un discriminante negativo (\( \Delta < 0 \)) ed è sempre negativo, implicando che la funzione è strettamente decrescente in tutto questo intervallo.

4. Studio della Concavità e Punto di Flesso

Analizziamo la derivata seconda sostituendo \( a = 2 \):

• Per \( x > 0 \): \( f''(x) = \frac{6}{(x+1)^3} > 0 \longrightarrow \) la curva rivolge la concavità verso l'alto.
• Per \( x < 0 \): \( f''(x) = \frac{-6}{(1-x)^3} < 0 \longrightarrow \) la curva rivolge la concavità verso il basso.

Presenza del flesso: Nel punto \( x = 0 \) la funzione è continua e derivabile (con \( f'(0) = -2 \)). Poiché attraversando l'origine la derivata seconda cambia segno modificando la concavità della curva, l'origine \( O(0,0) \) è un punto di flesso a tangente obliqua.

5. Rette Tangenti nei punti di intersezione con l'asse x

Tangente \( t_1 \) nell'origine \( O(0,0) \)

Il coefficiente angolare è dato dal valore della derivata nell'origine: \( f'(0) = -a = -2 \). L'equazione passante per l'origine è:

\[ t_1: y = -2x \]

Tangente \( t_2 \) nel punto \( B(2,0) \)

Poiché il punto si trova nel semipiano delle ascisse positive, utilizziamo l'espressione della derivata valida per \( x > 0 \) inserendo il valore \( x = 2 \):

\[ f'(2) = \frac{2^2+2(2)-2}{(2+1)^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]

Scriviamo l'equazione della retta passante per \( B(2,0) \) con coefficiente angolare \( m = \frac{2}{3} \):

\[ y - 0 = \frac{2}{3}(x - 2) \;\Longrightarrow\; t_2: y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} \]

Grafico delle tangenti \( t_1 \) e \( t_2 \):

Conclusione

• La funzione presenta un punto di flesso nell’origine \( (0,0) \);
• la tangente nell’origine è \( t_1:y=-2x \);
• la tangente nel punto \( (2,0) \) è \( t_2:y=\dfrac23x-\dfrac43 \).

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Soluzione del punto d

1. Calcolo dell'Area del Triangolo \( T \)

I punti di intersezione delle tangenti \( t_1 \) e \( t_2 \) con l'asse \( x \) sono i punti di tangenza stessi, ossia \( O(0,0) \) e \( A(2,0) \). La base del triangolo giace sull'asse \( x \) e possiede una lunghezza pari a \( 2 \).

Troviamo il terzo vertice calcolando l'intersezione tra le rette \( t_1 \) e \( t_2 \) tramite sistema:

\[ \begin{cases} y = -2x \\ y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} \end{cases} \;\Longrightarrow\; -2x = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} \;\Longrightarrow\; -6x = 2x - 4 \;\Longrightarrow\;\] \[8x = 4 \;\Longrightarrow\; x = \frac{1}{2} \]

Sostituendo il valore dell'ascissa ricaviamo \( y = -1 \). L'altezza del triangolo, intesa come distanza del vertice dall'asse delle ascisse, è pari a \( 1 \).

\[ \mathcal{A}_T = \frac{\text{base} \cdot \text{altezza}}{2} = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1 \]

2. Calcolo dell'Area della Regione \( S \)

La regione \( S \) si sviluppa nell'intervallo \( [0,2] \), dove la funzione assume stabilmente valori negativi. L'area si calcola pertanto mediante l'integrale definito preceduto dal segno meno:

\[ \mathcal{A}_S = - \int_0^2 \frac{x^2-2x}{x+1} \, dx \]

Effettuiamo la divisione euclidea tra i polinomi per riscrivere la frazione algebrica:

\[ \frac{x^2-2x}{x+1} = x - 3 + \frac{3}{x+1} \]

Sostituiamo ed integriamo ciascun termine:

\[ \mathcal{A}_S = - \left[ \frac{x^2}{2} - 3x + 3\ln|x+1| \right]_0^2 = - \left( \left( \frac{4}{2} - 6 + 3\ln 3 \right) - 0 \right) =\] \[=- (2 - 6 + 3\ln 3) = 4 - 3\ln 3 \]

3. Rapporto tra le Aree

Calcoliamo infine il rapporto richiesto:

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