Simulazione 2 - Questionario

Soluzione quesito 1:

Premessa

Il dado è regolare, quindi ad ogni lancio:

• esce un numero inferiore a 3 (cioè 1 o 2) con probabilità \[ p_A = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] e si assegnano 2 punti ad Angela;
• esce un numero maggiore di 2 (cioè 3, 4, 5 o 6) con probabilità \[ p_B = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] e si assegna 1 punto a Bernardo.

Angela raggiunge 6 punti dopo 3 esiti favorevoli; Bernardo raggiunge 6 punti dopo 6 esiti favorevoli.

Punto a) - Probabilità che entrambi realizzino almeno 1 punto

Utilizziamo la probabilità dell’evento contrario: almeno uno dei due non realizza nemmeno 1 punto.

Distinguiamo due casi:

• Angela non segna mai: tutti i lanci sono favorevoli a Bernardo, che vince 6-0 in esattamente 6 lanci. La probabilità è: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^6 = \frac{64}{729} \]
• Bernardo non segna mai: tutti i lanci sono favorevoli ad Angela, che vince 6-0 in esattamente 3 lanci. La probabilità è: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{27}{729} \]

I due eventi sono incompatibili, quindi:

\[ P(\text{almeno uno non segna}) = \frac{64}{729} + \frac{27}{729} = \frac{91}{729} \]

Pertanto:

\[ P(\text{entrambi segnano almeno 1 punto}) = 1-\frac{91}{729} = \frac{638}{729} \]

Punto b) - Probabilità che Angela conduca per 4 a 3

Se il punteggio è \(4\) a \(3\) in favore di Angela, significa che:

• Angela ha totalizzato 4 punti → si sono verificati esattamente 2 lanci favorevoli ad Angela (\(2 \times 2 = 4\));
• Bernardo ha totalizzato 3 punti → si sono verificati esattamente 3 lanci favorevoli a Bernardo (\(3 \times 1 = 3\)).

Sono stati effettuati in totale \(2+3=5\) lanci, di cui esattamente 2 favorevoli ad Angela e 3 favorevoli a Bernardo, in qualsiasi ordine.

Il numero delle sequenze possibili è:

poiché dobbiamo scegliere le posizioni dei due successi di Angela.

La probabilità cercata è quindi:

\[ P(4\text{-}3) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \]

\[ = 10 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{27} = \frac{80}{243} \]

Soluzione quesito 2:

Punto a) - Centro, raggio e piano secante

Completiamo il quadrato per ciascuna variabile:

\(\displaystyle (x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + (z-3)^2 - 9 + 9 = 0\)

\(\displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 5\)

La sfera ha centro \(C(1, -2, 3)\) e raggio \(r = \sqrt{5}\).

Calcoliamo la distanza del centro \(C\) dal piano \(\pi: x + 2y - 2z + 3 = 0\):

\(\displaystyle d = \frac{|1 + 2(-2) - 2(3) + 3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = \frac{|1 - 4 - 6 + 3|}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2\)

Poiché \(d = 2 < \sqrt{5} = r\), il piano è secante la sfera. ✓

Indichiamo con \(d = CH\) la distanza del centro della sfera dal piano e con \(AB\) il diametro della circonferenza sezione:

● Centro \(C(1,-2,3)\)  |  \(CH = d = 2\)  |  ● Raggio sezione \(\rho = 1\)  |  \(AB\) diametro della circonferenza sezione

Il raggio della circonferenza intersezione è:

\(\displaystyle \rho = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{5 - 4} = 1\)

Punto b) - Retta perpendicolare al piano e punti di intersezione con la sfera

La retta \(r\) passa per \(C(1, -2, 3)\) ed è perpendicolare al piano \(\pi\), quindi ha come vettore direttore il vettore normale al piano \(\mathbf{n} = (1, 2, -2)\). Le equazioni parametriche della retta sono:

\(\displaystyle r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2 + 2t \\ z = 3 - 2t \end{cases}\)

Sostituiamo nella sfera \((x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 5\):

\(\displaystyle (1+t-1)^2 + (-2+2t+2)^2 + (3-2t-3)^2 = 5\)

\(\displaystyle t^2 + 4t^2 + 4t^2 = 5 \implies 9t^2 = 5 \implies t = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}\)

Per \(t = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\):

\(\displaystyle P_1 = \left(1+\frac{\sqrt{5}}{3},\ -2+\frac{2\sqrt{5}}{3},\ 3-\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)\)

Per \(t = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}\):

\(\displaystyle P_2 = \left(1-\frac{\sqrt{5}}{3},\ -2-\frac{2\sqrt{5}}{3},\ 3+\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)\)

Soluzione quesito 3:

Calcolo del limite

Per \(x \to 0\) si ha \(\sin(3x) \to 0\) e \(x^2+3x \to 0\), quindi siamo in presenza di una forma indeterminata \(\dfrac{0}{0}\). Raccogliamo \(x\) al denominatore:

\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x^2+3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x(x+3)}\)

Moltiplichiamo e dividiamo per 3:

\(\displaystyle = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{3}{x+3} = 1 \cdot \frac{3}{3} = 1\)

dove si è usato il limite notevole \(\displaystyle\lim_{\alpha \to 0}\frac{\sin\alpha}{\alpha} = 1\) con \(\alpha = 3x\).

È possibile applicare il Teorema di De L'Hôpital?

Per applicare il Teorema di De L'Hôpital è necessario verificare le seguenti condizioni:

• Forma indeterminata \(\dfrac{0}{0}\): per \(x \to 0\) si ha \(\sin(3x) \to 0\) e \(x^2+3x \to 0\). ✓
• Derivabilità: le funzioni \(\sin(3x)\) e \(x^2+3x\) sono derivabili in un intorno di \(x = 0\). ✓
• Derivata del denominatore non nulla in un intorno di \(0\), \(0\) escluso: la derivata di \(x^2+3x\) è \(2x+3\). Poiché \(2x+3 = 0 \implies x = -\dfrac{3}{2}\), esiste un intorno di \(0\) in cui la derivata non sia nulla. ✓

Tutte le condizioni sono soddisfatte, quindi il Teorema di De L'Hôpital è applicabile. Applicandolo:

\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x^2+3x} = \lim_{x \to 0} \frac{3\cos(3x)}{2x+3} = \frac{3 \cdot 1}{3} = 1\)

Si ottiene lo stesso risultato.

Soluzione quesito 4:

Asintoto verticale

L'asintoto verticale ha equazione \(x = \dfrac{1}{3}\), quindi il denominatore deve annullarsi per \(x = \dfrac{1}{3}\):

\(\displaystyle cx - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{c} = \frac{1}{3} \implies c = 3\)

La funzione diventa quindi \(\displaystyle f(x) = \frac{ax^2+bx}{3x-1}\).

Asintoto obliquo

L'asintoto obliquo ha equazione \(y = mx + q\). Calcoliamo prima \(m\):

\(\displaystyle m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2+bx}{x(3x-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2+bx}{3x^2-x} = \frac{a}{3}\)

Poiché l'asintoto obliquo è \(y = 2x+1\), si ha \(m = 2\), quindi:

\(\displaystyle \frac{a}{3} = 2 \implies a = 6\)

Calcoliamo ora \(q\):

\(\displaystyle q = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - 2x\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{6x^2+bx}{3x-1} - 2x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{6x^2+bx - 2x(3x-1)}{3x-1}\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \frac{6x^2+bx - 6x^2+2x}{3x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{(b+2)x}{3x-1} = \frac{b+2}{3}\)

Poiché l'asintoto obliquo è \(y = 2x+1\), si ha \(q = 1\), quindi:

\(\displaystyle \frac{b+2}{3} = 1 \implies b+2 = 3 \implies b = 1\)

Conclusione

I valori dei parametri sono:

\(\displaystyle a = 6, \quad b = 1, \quad c = 3\)

La funzione è quindi \(\displaystyle f(x) = \frac{6x^2+x}{3x-1}\), con \(x \neq \dfrac{1}{3}\).

Soluzione quesito 5:

Punto a) - Area del rettangolo in funzione di x

Sia \(x\) la lunghezza del lato del rettangolo parallelo alla base del triangolo equilatero di lato 6. L'altezza del triangolo equilatero è:

\(\displaystyle h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\)

● Triangolo equilatero \(ABC\), lato \(= 6\), altezza \(h = 3\sqrt{3}\)  |  ▬ Rettangolo \(DGFE\) inscritto, base \(x\), altezza \(y\)

Sia \(y\) l'altezza del rettangolo. Poiché il rettangolo è inscritto simmetricamente, il triangolo al di sopra del rettangolo è simile al triangolo equilatero intero. Per similitudine:

\(\displaystyle \frac{x}{6} = \frac{3\sqrt{3}-y}{3\sqrt{3}} \implies y = 3\sqrt{3}\left(1-\frac{x}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}(6-x)\)

L'area del rettangolo in funzione di \(x\) è quindi:

\(\displaystyle A(x) = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}(6-x) = \frac{\sqrt{3}}{2}(6x - x^2), \quad 0 < x < 6\)

Punto b) - Dimensioni del rettangolo di area massima

Calcoliamo la derivata di \(A(x)\) e la poniamo uguale a zero:

\(\displaystyle A'(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}(6 - 2x)\)

Ponendo \(A'(x) = 0\):

\(\displaystyle 6 - 2x = 0 \implies x = 3\)

Studiamo il segno di \(A'(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}(6-2x)\):

• per \(0 < x < 3\): si ha \(6 - 2x > 0\), quindi \(A'(x) > 0\) e \(A\) è crescente;
• per \(3 < x < 6\): si ha \(6 - 2x < 0\), quindi \(A'(x) < 0\) e \(A\) è decrescente.

Poiché \(A\) passa da crescente a decrescente in \(x = 3\), si tratta di un massimo assoluto.

L'altezza del rettangolo vale:

\(\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{2}(6-3) = \frac{3\sqrt{3}}{2}\)

L'area massima è:

\(\displaystyle A(3) = \frac{\sqrt{3}}{2}(6 \cdot 3 - 9) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 9 = \frac{9\sqrt{3}}{2}\)

Il rettangolo di area massima ha base \(x = 3\), altezza \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2}\) e area massima \(\displaystyle\frac{9\sqrt{3}}{2}\).

Soluzione quesito 6:

Calcolo della derivata per definizione

Per definizione di derivata:

\(\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(2(x+h)+1) - \ln(2x+1)}{h}\)

Usando la proprietà dei logaritmi \(\ln a - \ln b = \ln\dfrac{a}{b}\):

\(\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\ln\!\left(\frac{2x+2h+1}{2x+1}\right) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\ln\!\left(1 + \frac{2h}{2x+1}\right)\)

Moltiplichiamo e dividiamo l'argomento del logaritmo per \(\dfrac{2}{2x+1}\):

\(\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{2x+1} \cdot \frac{1}{\dfrac{2h}{2x+1}}\ln\!\left(1 + \frac{2h}{2x+1}\right)\)

Poniamo \(\displaystyle\alpha = \frac{2h}{2x+1}\); quando \(h \to 0\) si ha \(\alpha \to 0\), e il limite diventa:

\(\displaystyle f'(x) = \frac{2}{2x+1} \cdot \lim_{\alpha \to 0} \frac{\ln(1+\alpha)}{\alpha} = \frac{2}{2x+1} \cdot 1 = \frac{2}{2x+1}\)

dove si è usato il limite notevole \(\displaystyle\lim_{\alpha \to 0} \frac{\ln(1+\alpha)}{\alpha} = 1\).

Quindi:

\(\displaystyle f'(x) = \frac{2}{2x+1}\)

Soluzione quesito 7:

Punto a) - Risoluzione dell'equazione differenziale

L'equazione differenziale \(\displaystyle\frac{dQ}{dt} = -kQ\) è a variabili separabili. Separiamo le variabili:

\(\displaystyle\frac{dQ}{Q} = -k\, dt\)

Integrando ambo i membri:

\(\displaystyle\int \frac{dQ}{Q} = \int -k\, dt \implies \ln|Q| = -kt + c\)

Poiché \(Q(t)\) rappresenta una quantità fisica (massa di una sostanza radioattiva), si ha \(Q(t) > 0\) per ogni \(t\), quindi \(|Q| = Q\) e possiamo scrivere:

\(\displaystyle \ln Q = -kt + c\)

Elevando a potenza di \(e\):

\(\displaystyle Q(t) = e^{-kt+c} = e^c \cdot e^{-kt} = Q_0\, e^{-kt}\)

dove \(Q_0 = Q(0)\) è la quantità iniziale. Dalla condizione iniziale \(Q(0) = 200\) g, otteniamo:

\(\displaystyle Q(t) = 200\, e^{-kt}\)

Punto b) - Determinazione di k e tempo per ridursi a 50 g

Usiamo la condizione \(Q(10) = 160\) g per determinare \(k\):

\(\displaystyle 200\, e^{-10k} = 160 \implies e^{-10k} = \frac{160}{200} = \frac{4}{5}\)

Applicando il logaritmo naturale:

\(\displaystyle -10k = \ln\!\left(\frac{4}{5}\right) \implies k = -\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{5}{4}\right)\)

Cerchiamo ora il tempo \(t^*\) per cui \(Q(t^*) = 50\) g:

\(\displaystyle 200\, e^{-kt^*} = 50 \implies e^{-kt^*} = \frac{1}{4}\)

Applicando il logaritmo naturale:

\(\displaystyle -kt^* = \ln\!\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln 4 \implies t^* = \frac{\ln 4}{k} = \frac{10\ln 4}{\ln\!\left(\frac{5}{4}\right)}\)

Poiché \(\ln 4 \approx 1{,}386\) e \(\ln\!\left(\dfrac{5}{4}\right) \approx 0{,}223\), si ottiene:

\(\displaystyle t^* \approx \frac{10 \times 1{,}386}{0{,}223} \approx 62{,}1 \text{ anni}\)

La sostanza si ridurrà a 50 g dopo circa 62 anni.

Soluzione quesito 8:

Grafico qualitativo della funzione:

— \(f(x) = x\sin(x)\) per \(x \in [0,\pi]\)  |  ■ Regione \(R\), area \(= \pi \approx 3{,}14\)  |  · · · Prolungamento della funzione

Punto a) - Area della regione R

Su \([0, \pi]\) la funzione \(f(x) = x\sin(x) \geq 0\), quindi l'area è:

\(\displaystyle A = \int_0^{\pi} x\sin(x)\, dx\)

Applichiamo il metodo di integrazione per parti, ponendo \(u = x\) e \(dv = \sin(x)\,dx\), da cui \(du = dx\) e \(v = -\cos(x)\):

\(\displaystyle A = \Big[-x\cos(x)\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos(x)\, dx = \pi + \Big[\sin(x)\Big]_0^{\pi} = \pi + 0 = \pi\)

L'area della regione \(R\) è \(A = \pi\).

Punto b) - Volume del solido di rotazione

Per calcolare il volume del solido \(S\) ottenuto dalla rotazione di \(R\) intorno all'asse \(y\), utilizziamo la formula dei gusci cilindrici:

\(\displaystyle V = 2\pi \int_0^{\pi} x \cdot f(x)\, dx = 2\pi \int_0^{\pi} x^2\sin(x)\, dx\)

Applichiamo la formula di integrazione per parti con \(u = x^2\) e \(dv = \sin(x)\,dx\), da cui \(du = 2x\,dx\) e \(v = -\cos(x)\):

\(\displaystyle \int_0^{\pi} x^2\sin(x)\, dx = \Big[-x^2\cos(x)\Big]_0^{\pi} + 2\int_0^{\pi} x\cos(x)\, dx = \pi^2 + 2\int_0^{\pi} x\cos(x)\, dx\)

Calcoliamo \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos(x)\, dx\) con un'altra integrazione per parti (\(u = x\), \(dv = \cos(x)\,dx\)):

Sostituendo:

\(\displaystyle V = 2\pi\left(\pi^2 + 2\cdot(-2)\right) = 2\pi(\pi^2 - 4)\)

Il volume del solido \(S\) è \(\displaystyle V = 2\pi(\pi^2 - 4)\).