Problema 1 – Simulazione 3

Simulazione 3 — PROBLEMA 1

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Una piramide retta, di vertice V, ha per base il triangolo ABC, rettangolo in A, la cui area è \(24a^2\), dove \(a\) è una lunghezza assegnata. Si sa inoltre che \(AB/BC=3/5\) e che il piano della faccia VAB della piramide forma con il piano della base ABC un angolo \(\phi\) tale che \(\text{sen}\,\phi=12/13\).

Una piramide retta, di vertice V, ha per base il triangolo ABC, rettangolo in A, la cui area e 24 a quadro, dove a e una lunghezza assegnata. Si sa inoltre che AB fratto BC uguale a 3 fratto 5 e che il piano della faccia VAB forma con il piano della base ABC un angolo fi tale che seno di fi uguale a 12 fratto 13.

a)

Calcolare l'altezza della piramide.

Punto a. Calcolare laltezza della piramide.

Soluzione del punto a

Figura per il Problema, punto a: piramide retta con base triangolo rettangolo ABC

Posto \(BC = x\), ricaviamo i lati del triangolo rettangolo ABC:

\[AB = \frac{3}{5}x, \qquad AC = \sqrt{x^2 - \frac{9}{25}x^2} = \frac{4}{5}x\]

L'area del triangolo ABC è:

\[A(ABC) = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}x \cdot \frac{4}{5}x = \frac{6}{25}x^2 = 24a^2\] \[x^2 = 100a^2 \implies x = 10a\]

I lati misurano quindi: \(AB = 6a\), \(AC = 8a\), \(BC = 10a\).

Raggio della circonferenza inscritta

Il piede O dell'altezza della piramide è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo ABC, con raggio \(r\). Usando la formula \(A = p \cdot r\) (con \(p\) semiperimetro):

\[r = \frac{A}{p} = \frac{24a^2}{\frac{6a+8a+10a}{2}} = \frac{24a^2}{12a} = 2a\]

Altezza della piramide

Dal triangolo VOH rettangolo in O, con \(\sin\phi = \dfrac{12}{13}\):

\[\tan\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{\sin\phi}{\sqrt{1-\sin^2\phi}}=\frac{\dfrac{12}{13}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^2}}=\] \[=\frac{\dfrac{12}{13}}{\sqrt{\dfrac{25}{169}}}=\frac{\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}}=\frac{12}{5}\] \[VO = r \cdot \tan\phi = 2a \cdot \frac{12}{5} = \frac{24}{5}a\]

L'altezza della piramide è \(\displaystyle VO = \frac{24}{5}a\).

b)

Controllato che l'altezza è \(\dfrac{24}{5}a\), calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB.

Punto b. Controllato che laltezza e 24 fratto 5 per a, calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB.

Soluzione del punto b

Figura per il Problema, punto b: piramide retta con base triangolo rettangolo ABC

La distanza di C dal piano VAB è l'altezza della piramide rispetto alla base ABV. Calcoliamo prima il volume della piramide:

\[V = \frac{1}{3} A(ABC) \cdot VO = \frac{1}{3} \cdot 24a^2 \cdot \frac{24}{5}a = \frac{192}{5}a^3\]

Per l'area della faccia ABV, cerchiamo VH (apotema rispetto ad AB):

\[VH = \frac{r}{\cos\phi} = \frac{2a}{5/13} = \frac{26}{5}a\] \[A(ABV) = \frac{AB \cdot VH}{2} = \frac{1}{2} \cdot 6a \cdot \frac{26}{5}a = \frac{78}{5}a^2\]

La distanza \(h\) di C dalla faccia ABV è:

\[h = \frac{3V}{A(ABV)} = \frac{3 \cdot \dfrac{192}{5}a^3}{\dfrac{78}{5}a^2} = \frac{576}{78}a = \frac{96}{13}a\]

La distanza di C dal piano della faccia ABV è \(\displaystyle h = \frac{96}{13}a\).

c)

Condotto, parallelamente alla base ABC, un piano \(\alpha\) che sechi la piramide e considerato il prisma retto avente una base coincidente con il triangolo sezione e per altezza la distanza di \(\alpha\) dalla base ABC, calcolare per quale valore di tale distanza il prisma ha volume massimo.

Punto c. Condotto, parallelamente alla base ABC, un piano alfa che seziona la piramide e considerato il prisma retto avente una base coincidente con il triangolo sezione e per altezza la distanza di alfa dalla base ABC, calcolare per quale valore di tale distanza il prisma ha volume massimo.

Soluzione del punto c

Figura per il Problema, punto c: piano alfa parallelo alla base che seziona la piramide

Sia \(x\) la distanza del piano \(\alpha\) dalla base (con \(0 < x < \dfrac{24}{5}a\)). La distanza del piano alfa dal vertice V vale:

\[VK = \frac{24}{5}a - x\]

Il triangolo sezione EFG è simile ad ABC con rapporto \(VK/VO\), quindi:

\[A(EFG) = A(ABC) \cdot \frac{VK^2}{VO^2} = 24a^2 \cdot \frac{\left(\dfrac{24}{5}a - x\right)^2}{\left(\dfrac{24}{5}a\right)^2} =\] \[= \frac{25}{24}\left(\frac{24}{5}a - x\right)^2\]

Il volume del prisma è:

\[V(x) = A(EFG) \cdot x = \frac{25}{24}\left(\frac{24}{5}a - x\right)^2 \cdot x\]

Il volume è massimo quando lo è \(f(x) = \left(\dfrac{24}{5}a - x\right)^2 \cdot x\).

Metodo 1 — Proprietà delle potenze

Il prodotto \(\left(\dfrac{24}{5}a-x\right)^2 \cdot x\) è il prodotto di potenze con somma delle basi costante pari a \(\dfrac{24}{5}a\). Esso è massimo quando le basi sono proporzionali agli esponenti:

\[\frac{\dfrac{24}{5}a-x}{2}=\frac{x}{1} \implies \frac{24}{5}a-x=2x \implies \] \[3x=\frac{24}{5}a \implies x=\frac{8}{5}a\]

Metodo 2: Derivate

Sviluppiamo \(f(x)\):

\[f(x) = \frac{576}{25}a^2x - \frac{48}{5}ax^2 + x^3\]

Calcoliamo la derivata prima:

\[f'(x) = \frac{576}{25}a^2 - \frac{96}{5}ax + 3x^2\]

Poniamo \(f'(x)=0\) e moltiplichiamo per 25:

\[75x^2 - 480ax + 576a^2 = 0\]

Con la formula risolutiva:

\[x = \frac{480a \pm \sqrt{230400a^2 - 172800a^2}}{150} = \frac{480a \pm 240a}{150}\]

Le due soluzioni sono:

\[x_1 = \frac{240a}{150} = \frac{8}{5}a, \qquad x_2 = \frac{720a}{150} =\] \[= \frac{24}{5}a\]

Poiché il coefficiente di \(x^2\) in \(f'(x)\) è positivo, la parabola è concava verso l'alto, quindi:

per \(0 < x < \dfrac{8}{5}a\): \(f'(x) > 0\) → \(f\) crescente
per \(\dfrac{8}{5}a < x < \dfrac{24}{5}a\): \(f'(x) < 0\) → \(f\) decrescente

Il volume del prisma è massimo quando la sua altezza è \(\displaystyle x = \frac{8}{5}a\).

d)

Il prisma di volume massimo ha anche la massima area totale?

Punto d. Il prisma di volume massimo ha anche la massima area totale?

Soluzione del punto d

Figura per il Problema, punto d: confronto tra volume massimo e area totale massima del prisma

La superficie totale del prisma è:

\[S(x)=2A(EFG)+\text{perimetro}(EFG)\cdot x\]

Il rapporto di similitudine tra EFG e ABC vale:

\[k = \frac{VK}{VO} = \frac{\dfrac{24}{5}a-x}{\dfrac{24}{5}a} = \frac{24a-5x}{24a}\]

Quindi il perimetro di EFG è:

\[2p(EFG)=k\cdot 2p(ABC)=\frac{24a-5x}{24a}\cdot 24a=24a-5x\]

E l'area di EFG è:

\[A(EFG)=\frac{25}{24}\left(\frac{24}{5}a-x\right)^2\]

Sostituendo:

\[S(x)=2\cdot\frac{25}{24}\left(\frac{24}{5}a-x\right)^2+(24a-5x)\cdot x\] \[S(x)=\frac{25}{12}\left(\frac{576}{25}a^2 - \frac{48}{5}ax + x^2\right) + 24ax - 5x^2\] \[S(x)=24a^2 - 20ax + \frac{25}{12}x^2 + 24ax - 5x^2\] \[S(x)=48a^2 + 4ax - \frac{35}{12}x^2\]

Derivando e ponendo uguale a zero:

\[S'(x) = 4a - \frac{35}{6}x = 0 \implies x = \frac{24}{35}a\]

Poiché \(S'(x) > 0\) per \(x < \dfrac{24}{35}a\) e \(S'(x) < 0\) per \(x > \dfrac{24}{35}a\), la superficie totale è massima per \(x=\dfrac{24}{35}a\).

Poiché \(\dfrac{24}{35}a \neq \dfrac{8}{5}a\):

Il prisma di volume massimo non ha anche la massima area totale.
L'area totale è massima per \(x = \dfrac{24}{35}a\), il volume per \(x = \dfrac{8}{5}a\).

Simulazione 3 – Problema 1 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

a)