Simulazione 3 - PROBLEMA 1
Simulazione 3 - Problema 1 - Esame di Stato 2026
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Una piramide retta, di vertice V, ha per base il triangolo ABC, rettangolo in A, la cui area è \(24a^2\), dove \(a\) è una lunghezza assegnata. Si sa inoltre che \(AB/BC=3/5\) e che il piano della faccia VAB della piramide forma con il piano della base ABC un angolo \(\phi\) tale che \(\text{sen}\,\phi=12/13\).
Soluzione del punto a
Posto \(BC=x\), risulta:
\[AB=\frac{3}{5}x\] \[AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{x^2-\left(\frac{3}{5}x\right)^2}=\sqrt{x^2-\frac{9}{25}x^2}=\sqrt{\frac{16}{25}x^2}=\frac{4}{5}x\]L'area del triangolo rettangolo ABC di cateti AB e AC è:
\[A(ABC)=\frac{AB \cdot AC}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}x\right)\left(\frac{4}{5}x\right)=\frac{6}{25}x^2=24a^2\]Da cui:
\[x^2=\frac{24 \cdot 25}{6}a^2=100a^2 \implies x=10a\]I lati di ABC misurano quindi:
\[AB=6a, \quad AC=8a, \quad BC=10a\]Indichiamo con \(r\) la distanza \(OH\) del piede \(O\) dell'altezza della piramide dal cateto \(AB\). Poiché \(O\) è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo ABC (per definizione di piramide retta), \(r\) è il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo ABC.
Ricordiamo che, detto \(p\) il semiperimetro di un poligono circoscritto ad una circonferenza di raggio \(r\) ed \(A\) l'area del poligono stesso, risulta \(A=p \cdot r\), da cui:
\[r=\frac{A}{p}=\frac{24a^2}{\frac{1}{2}(6a+8a+10a)}=\frac{24a^2}{12a}=2a\]Considerando il triangolo VOH, rettangolo in O, essendo VHO una sezione normale del diedro formato dalle facce VAB ed ABC, si ha:
\[VO=OH \cdot \tan\phi = r \cdot \tan\phi = 2a \cdot \tan\phi\]Determiniamo \(\tan\phi\) sapendo che \(\sin\phi=\dfrac{12}{13}\). Poiché l'angolo \(\phi\) è acuto:
\[\tan\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{\sin\phi}{\sqrt{1-\sin^2\phi}}=\frac{\dfrac{12}{13}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^2}}=\frac{\dfrac{12}{13}}{\sqrt{\dfrac{25}{169}}}=\frac{\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}}=\frac{12}{5}\]Pertanto:
\[VO=2a \cdot \frac{12}{5}=\frac{24}{5}a\]L'altezza della piramide è \(\displaystyle VO=\frac{24}{5}a\).
b)
Controllato che l'altezza è \(\dfrac{24}{5}a\), calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB.
Soluzione del punto b
La distanza di C dal piano della faccia VAB è l'altezza della piramide relativa alla base ABV. Calcoliamo il volume della piramide e l'area della base ABV.
\[V=\frac{1}{3}A(ABC)\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 24a^2\cdot \frac{24}{5}a=\frac{192}{5}a^3\]Per trovare l'area di ABV cerchiamo VH:
\[VH=\frac{r}{\cos\phi}=\frac{2a}{\dfrac{5}{13}}=\frac{26}{5}a\]Pertanto:
\[A(ABV)=\frac{AB\cdot VH}{2}=\frac{1}{2}\cdot 6a\cdot\frac{26}{5}a=\frac{78}{5}a^2\]La distanza \(h\) di C dalla faccia ABV, altezza della piramide rispetto alla base ABV, è:
\[h=\frac{3V}{A(ABV)}=\frac{3\cdot \dfrac{192}{5}a^3}{\dfrac{78}{5}a^2}=\frac{576}{78}a=\frac{96}{13}a\]La distanza di C dal piano della faccia ABV è \(\displaystyle h=\frac{96}{13}a\).
c)
Condotto, parallelamente alla base ABC, un piano \(\alpha\) che sechi la piramide e considerato il prisma retto avente una base coincidente con il triangolo sezione e per altezza la distanza di \(\alpha\) dalla base ABC, calcolare per quale valore di tale distanza il prisma ha volume massimo.
Soluzione del punto c
Indicata con \(x\) l'altezza del prisma (con \(0 < x < \dfrac{24}{5}a\)), la distanza VK del piano \(\alpha\) dal vertice V è:
\[VK = VO - x = \frac{24}{5}a - x\]Detto EFG il triangolo sezione tra il piano \(\alpha\) e la piramide, per similitudine risulta:
\[A(ABC):A(EFG)=VO^2:VK^2\]da cui:
\[A(EFG)=A(ABC)\cdot\frac{VK^2}{VO^2}=24a^2\cdot\frac{\left(\dfrac{24}{5}a-x\right)^2}{\left(\dfrac{24}{5}a\right)^2}=\frac{25}{24}\cdot\left(\frac{24}{5}a-x\right)^2\]Il volume del prisma è:
\[V(x)= A(EFG)\cdot x=\frac{25}{24}\cdot\left(\frac{24}{5}a-x\right)^2\cdot x\]Tale volume è massimo se lo è la funzione:
\[f(x)=\left(\frac{24}{5}a-x\right)^2\cdot x\]Metodo 1: Proprietà delle potenze
Il prodotto \(\left(\dfrac{24}{5}a-x\right)^2 \cdot x\) è il prodotto di potenze con somma delle basi costante pari a \(\dfrac{24}{5}a\). Esso è massimo quando le basi sono proporzionali agli esponenti:
\[\frac{\dfrac{24}{5}a-x}{2}=\frac{x}{1} \implies \frac{24}{5}a-x=2x \implies 3x=\frac{24}{5}a \implies x=\frac{8}{5}a\]Metodo 2: Derivate
Sviluppiamo \(f(x)\):
\[f(x) = \frac{576}{25}a^2x - \frac{48}{5}ax^2 + x^3\]Calcoliamo la derivata prima:
\[f'(x) = \frac{576}{25}a^2 - \frac{96}{5}ax + 3x^2\]Poniamo \(f'(x)=0\) e moltiplichiamo per 25:
\[75x^2 - 480ax + 576a^2 = 0\]Con la formula risolutiva:
\[x = \frac{480a \pm \sqrt{230400a^2 - 172800a^2}}{150} = \frac{480a \pm 240a}{150}\]Le due soluzioni sono:
\[x_1 = \frac{240a}{150} = \frac{8}{5}a, \qquad x_2 = \frac{720a}{150} = \frac{24}{5}a\]Poiché il coefficiente di \(x^2\) in \(f'(x)\) è positivo, la parabola è concava verso l'alto, quindi:
- per \(0 < x < \dfrac{8}{5}a\): \(f'(x) > 0\) → \(f\) crescente
- per \(\dfrac{8}{5}a < x < \dfrac{24}{5}a\): \(f'(x) < 0\) → \(f\) decrescente
Da entrambi i metodi: il volume del prisma è massimo quando la sua altezza è \(\displaystyle\boxed{x=\frac{8}{5}a}\).
Soluzione del punto d
La superficie totale del prisma è:
\[S(x)=2A(EFG)+\text{perimetro}(EFG)\cdot x\]Il rapporto di similitudine tra EFG e ABC vale:
\[k = \frac{VK}{VO} = \frac{\dfrac{24}{5}a-x}{\dfrac{24}{5}a} = \frac{24a-5x}{24a}\]Quindi il perimetro di EFG è:
\[2p(EFG)=k\cdot 2p(ABC)=\frac{24a-5x}{24a}\cdot 24a=24a-5x\]E l'area di EFG è:
\[A(EFG)=\frac{25}{24}\left(\frac{24}{5}a-x\right)^2\]Sostituendo:
\[S(x)=2\cdot\frac{25}{24}\left(\frac{24}{5}a-x\right)^2+(24a-5x)\cdot x\] \[S(x)=\frac{25}{12}\left(\frac{576}{25}a^2 - \frac{48}{5}ax + x^2\right) + 24ax - 5x^2\] \[S(x)=24a^2 - 20ax + \frac{25}{12}x^2 + 24ax - 5x^2\] \[S(x)=48a^2 + 4ax - \frac{35}{12}x^2\]Calcoliamo la derivata prima:
\[S'(x)=4a-\frac{35}{6}x\]Poniamo \(S'(x)=0\):
\[4a-\frac{35}{6}x=0 \implies x=\frac{24}{35}a\]Poiché \(S'(x) > 0\) per \(x < \dfrac{24}{35}a\) e \(S'(x) < 0\) per \(x > \dfrac{24}{35}a\), la superficie totale è massima per \(x=\dfrac{24}{35}a\).
Poiché \(\dfrac{24}{35}a \neq \dfrac{8}{5}a\), concludiamo che il prisma di volume massimo non ha anche la massima area totale.