Simulazione 3 — PROBLEMA 2
Simulazione 3 – Problema 2 – Versione DSA – Esame di Stato 2026
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Testo
100%
Il dottor Rossi lavora in una clinica veterinaria e si sta occupando di un cucciolo di gatto colpito da una infezione batterica. Per contrastare la malattia è necessaria una dose di antibiotico da somministrare per via intramuscolare. A partire dall'istante \(x=0\) in cui viene eseguita la iniezione, la concentrazione del farmaco nel sangue, espressa in mg/L, è modellizzata da una funzione del tipo \(f(x) = axe^{-bx}\), dove \(a\) e \(b\) sono parametri reali positivi e \(x \ge 0\) indica il tempo in ore.
Il dottor Rossi lavora in una clinica veterinaria e si sta occupando di un cucciolo di gatto colpito da una infezione batterica. La concentrazione del farmaco nel sangue e modellizzata da una funzione del tipo f di x uguale a a per x per e alla meno b x, dove a e b sono parametri reali positivi e x maggiore o uguale a 0 indica il tempo in ore.
a)
Determina per quali valori dei parametri \(a\) e \(b\) il valore massimo della concentrazione del farmaco, pari a 2 mg/L, si raggiunge dopo 1 ora.
Punto a. Determina per quali valori dei parametri a e b il valore massimo della concentrazione del farmaco, pari a 2 milligrammi per litro, si raggiunge dopo 1 ora.
Derivata della funzione
Applichiamo la regola del prodotto con \(u = ax\) e \(v = e^{-bx}\):
\[f'(x) = a \cdot e^{-bx} + ax \cdot (-b)e^{-bx} = ae^{-bx}(1 - bx)\]Punto di massimo
Poniamo \(f'(x) = 0\). Poiché \(a > 0\) e \(e^{-bx} > 0\) per ogni \(x\), deve essere:
\[1 - bx = 0 \implies x = \frac{1}{b}\]Studiamo il segno di \(f'(x)\):
- per \(x < \dfrac{1}{b}\): \(f'(x) > 0\) → funzione crescente
- per \(x > \dfrac{1}{b}\): \(f'(x) < 0\) → funzione decrescente
Il massimo si raggiunge dopo 1 ora, quindi:
\[\frac{1}{b} = 1 \implies \boxed{b = 1}\]Valore massimo
\[f(1) = a \cdot 1 \cdot e^{-1} = \frac{a}{e} = 2 \implies \boxed{a = 2e}\]
\(a = 2e,\quad b = 1\) — la funzione diventa \(f(x) = 2x\,e^{1-x}\).
b)
Il dottor Rossi dichiara che la funzione è \(f(x) = 2xe^{(1-x)}\). Dopo aver verificato l'affermazione, rappresenta il grafico di \(f(x)\) per \(x \ge 0\), determinando le coordinate del flesso \(F\) (che ha ascissa uguale a 2) e l'equazione della tangente in \(F\).
Punto b. Il dottor Rossi dichiara che la funzione e f di x uguale a 2 x per e alla 1 meno x. Dopo aver verificato laffermazione, rappresenta il grafico di f di x per x maggiore o uguale a 0, determinando le coordinate del flesso F, che ha ascissa uguale a 2, e l equazione della tangente in F.
Verifica
Con \(a = 2e\) e \(b = 1\): \(f(x) = 2e \cdot x \cdot e^{-x} = 2x\,e^{1-x}\). ✓
Studio di funzione
- Dominio: \(x \ge 0\). Origine unica intersezione con gli assi.
- Asintoto: \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) → asintoto orizzontale \(y = 0\).
- Derivata prima: \(f'(x) = 2e^{1-x}(1-x)\).
- per \(0 \le x < 1\): \(f'(x) > 0\) → crescente
- per \(x = 1\): massimo, \(f(1) = 2\) → punto \((1, 2)\)
- per \(x > 1\): \(f'(x) < 0\) → decrescente
Flesso F
Derivata seconda: \(f''(x) = 2e^{1-x}(x-2)\). Si annulla in \(x=2\) con cambio di concavità. ✓
\[f(2) = 2 \cdot 2 \cdot e^{-1} = \frac{4}{e}\]
Flesso: \(\displaystyle F = \left(2,\; \frac{4}{e}\right)\)
Tangente in F
\[f'(2) = 2e^{-1}(1-2) = -\frac{2}{e}\]
\[\displaystyle y = -\frac{2}{e}x + \frac{8}{e}\]
Grafico
c)
In quale intervallo di tempo la velocità di variazione della concentrazione del farmaco è positiva? Qual è il valore della velocità di variazione dopo 2 ore?
Punto c. In quale intervallo di tempo la velocità di variazione della concentrazione del farmaco e positiva? Qual è il valore della velocità di variazione della concentrazione del farmaco dopo 2 ore?
Segno della derivata prima
\(f'(x) = 2e^{1-x}(1-x)\). Poiché \(2e^{1-x} > 0\) sempre, il segno dipende da \((1-x)\):
- per \(0 \le x < 1\): \(f'(x) > 0\) → concentrazione in aumento
- per \(x = 1\): \(f'(x) = 0\) → massimo
- per \(x > 1\): \(f'(x) < 0\) → concentrazione in diminuzione
La velocità di variazione è positiva nell'intervallo \(0 \le x < 1\) ora.
Velocità di variazione dopo 2 ore
\[f'(2) = 2e^{-1}(1-2) = -\frac{2}{e} \approx -0{,}736 \text{ mg/L per ora}\]Il segno negativo indica che la concentrazione sta diminuendo.
d)
Il dottor Rossi osserva che \(f(x)\) è un buon modello solo nelle prime 2 ore. Da questo momento la concentrazione decresce linearmente seguendo la tangente nel punto \(F\). Dopo quanto tempo il cucciolo avrà smaltito completamente l'antibiotico? Scrivi l'espressione del nuovo modello e rappresenta il suo grafico.
Punto d. Il dottor Rossi osserva che f di x e un buon modello solo nelle prime 2 ore. Da questo momento la concentrazione decresce linearmente seguendo la tangente nel punto F. Dopo quanto tempo il cucciolo avrà smaltito completamente lantibiotico? Scrivi l espressione del nuovo modello e rappresenta il suo grafico.
Nuovo modello a tratti
\[C(x) = \begin{cases} 2x\,e^{1-x} & \text{per } 0 \le x \le 2 \\[6pt] -\dfrac{2}{e}x + \dfrac{8}{e} & \text{per } x > 2 \end{cases}\]Tempo di smaltimento
La concentrazione si azzera quando la retta raggiunge l'asse \(x\):
\[-\frac{2}{e}x + \frac{8}{e} = 0 \implies x = 4\]
Il cucciolo smaltirà completamente l'antibiotico dopo 4 ore dall'iniezione.
Grafico
- per \(0 \le x \le 2\): curva \(f(x) = 2x\,e^{1-x}\), massimo in \((1,2)\), flesso in \(\left(2, \dfrac{4}{e}\right)\);
- per \(2 < x \le 4\): segmento della tangente in \(F\), fino al punto \((4, 0)\).