Problema 2 Simulazione 3 Esame di Stato

Simulazione 3 - PROBLEMA 2

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Il dottor Rossi lavora in una clinica veterinaria e si sta occupando di un cucciolo di gatto colpito da un'infezione batterica. Per contrastare la malattia è necessaria una dose di antibiotico da somministrare per via intramuscolare. A partire dall'istante \(x=0\) in cui viene eseguita l'iniezione, la concentrazione del farmaco nel sangue dell'animale, espressa in mg/L, è modellizzata da una funzione del tipo \(f(x) = ax e^{-bx}\), dove \(a\) e \(b\) sono parametri reali positivi e \(x \ge 0\) indica il tempo trascorso dalla somministrazione iniziale espresso in ore.

a)

Determina per quali valori dei parametri \(a\) e \(b\) il valore massimo della concentrazione del farmaco, pari a 2 mg/L, si raggiunge dopo 1 ora.

Soluzione del punto a

Derivata della funzione

Per trovare il valore massimo della funzione, calcoliamo la derivata prima e la poniamo uguale a zero. Applichiamo la regola del prodotto con \(u = ax\) e \(v = e^{-bx}\):

\[f'(x) = a \cdot e^{-bx} + ax \cdot (-b)e^{-bx} = ae^{-bx}(1 - bx)\]

Ricerca del punto di massimo

Poniamo \(f'(x) = 0\). Poiché \(a > 0\) e \(e^{-bx} > 0\) per ogni \(x\), deve essere:

\[1 - bx = 0 \implies x = \frac{1}{b}\]

Studiamo il segno di \(f'(x)\):

per \(x < \dfrac{1}{b}\): \(f'(x) > 0\) → funzione crescente
per \(x > \dfrac{1}{b}\): \(f'(x) < 0\) → funzione decrescente

Quindi in \(x = \dfrac{1}{b}\) la funzione ha un massimo relativo.

Applicazione delle condizioni

Il massimo si raggiunge dopo 1 ora, quindi:

\[\frac{1}{b} = 1 \implies \boxed{b = 1}\]

Il valore massimo è 2 mg/L, quindi:

\[f(1) = a \cdot 1 \cdot e^{-1} = \frac{a}{e} = 2 \implies \boxed{a = 2e}\]

Con questi valori la funzione diventa \(f(x) = 2ex\, e^{-x} = 2x\,e^{1-x}\).

b)

Il dottor Rossi dichiara che, in corrispondenza dei valori trovati nel punto precedente, l'espressione analitica della funzione è \(f(x) = 2xe^{(1-x)}\). Dopo aver verificato l'affermazione, rappresenta il grafico della funzione \(f(x)\) per \(x \ge 0\) determinando le coordinate del flesso \(F\), verificando che ha ascissa uguale a 2, e l'equazione della tangente nel punto F.

Soluzione del punto b

Verifica dell'espressione analitica

Con \(a = 2e\) e \(b = 1\):

\[f(x) = 2e \cdot x \cdot e^{-x} = 2x\,(e \cdot e^{-x}) = 2x\,e^{1-x}\]

L'affermazione del dottor Rossi è verificata. ✓

Studio di funzione

Dominio: \(x \ge 0\).

Intersezioni con gli assi: \(f(0) = 0\) (origine); \(f(x) = 0 \implies x = 0\) (unica intersezione).

Comportamento agli estremi:

\(x \to 0^+\): \(f(x) \to 0\)
\(x \to +\infty\): \(f(x) = \dfrac{2x}{e^{x-1}} \to 0\) (l'esponenziale vince sul polinomio) → asintoto orizzontale \(y = 0\)

Derivata prima: \(f'(x) = 2e^{1-x}(1-x)\)

per \(0 \le x < 1\): \(f'(x) > 0\) → crescente
per \(x = 1\): massimo, \(f(1) = 2\) → punto \((1, 2)\)
per \(x > 1\): \(f'(x) < 0\) → decrescente

Determinazione del flesso F

Calcoliamo la derivata seconda con la regola del prodotto (\(u = 2e^{1-x}\), \(v = 1-x\)):

\[f''(x) = (-2e^{1-x})(1-x) + 2e^{1-x}(-1) = 2e^{1-x}(x-2)\]

Poniamo \(f''(x) = 0\): poiché \(2e^{1-x} > 0\) per ogni \(x\), deve essere \(x - 2 = 0 \implies x = 2\). ✓

per \(0 \le x < 2\): \(f''(x) < 0\) → concava verso il basso
per \(x > 2\): \(f''(x) > 0\) → concava verso l'alto

Il cambio di concavità in \(x=2\) conferma il flesso. L'ordinata vale:

\[f(2) = 2 \cdot 2 \cdot e^{1-2} = \frac{4}{e}\]

Flesso: \(\displaystyle F = \left(2,\; \frac{4}{e}\right)\)

Equazione della tangente in F

\[f'(2) = 2e^{1-2}(1-2) = 2e^{-1}(-1) = -\frac{2}{e}\] \[y - \frac{4}{e} = -\frac{2}{e}(x-2) \implies \boxed{y = -\frac{2}{e}x + \frac{8}{e}}\]

Grafico

c)

In quale intervallo di tempo la velocità di variazione della concentrazione del farmaco nel sangue del cucciolo è positiva? Qual è il valore della velocità di variazione della concentrazione del farmaco dopo 2 ore?

Soluzione del punto c

Intervallo in cui la velocità di variazione è positiva

La velocità di variazione della concentrazione è la derivata prima \(f'(x) = 2e^{1-x}(1-x)\). Poiché \(2e^{1-x} > 0\) sempre, il segno di \(f'(x)\) dipende da \((1-x)\):

\(1 - x > 0 \implies x < 1\): \(f'(x) > 0\)
\(1 - x = 0 \implies x = 1\): \(f'(x) = 0\)
\(1 - x < 0 \implies x > 1\): \(f'(x) < 0\)

La velocità di variazione è positiva nell'intervallo:

\[0 \le x < 1 \text{ ore}\]

La concentrazione del farmaco aumenta dal momento della somministrazione fino a 1 ora dopo.

Velocità di variazione dopo 2 ore

\[f'(2) = 2e^{1-2}(1-2) = 2e^{-1} \cdot (-1) = -\frac{2}{e} \approx -0{,}736 \text{ mg/L per ora}\]

Il segno negativo indica che la concentrazione sta diminuendo dopo 2 ore dalla somministrazione.

d)

Il dottor Rossi osserva che la funzione \(f(x)\) è un ottimo modello per la concentrazione del farmaco nel sangue solo nelle prime 2 ore dalla somministrazione. Da questo momento in poi la concentrazione decresce linearmente, seguendo l'andamento della tangente nel punto F.

Dopo quanto tempo dall'iniezione il cucciolo avrà completamente smaltito l'antibiotico somministrato? Scrivi l'espressione analitica del nuovo modello dall'istante iniziale \(x = 0\), fino all'istante in cui non ci sarà più traccia del farmaco nel sangue dell'animale e rappresenta il grafico della funzione trovata.

Soluzione del punto d

Nuovo modello a tratti

Dal punto b sappiamo che il flesso è \(F = \left(2, \dfrac{4}{e}\right)\) e la tangente in F ha equazione \(y = -\dfrac{2}{e}x + \dfrac{8}{e}\). Il nuovo modello è:

\[ C(x) = \begin{cases} 2x\,e^{1-x} & \text{per } 0 \le x \le 2 \\[6pt] -\dfrac{2}{e}x + \dfrac{8}{e} & \text{per } x > 2 \end{cases} \]

Tempo di smaltimento

La concentrazione si azzera quando la parte lineare interseca l'asse delle ascisse:

\[-\frac{2}{e}x + \frac{8}{e} = 0 \implies -2x + 8 = 0 \implies x = 4\]

Il cucciolo smaltirà completamente l'antibiotico dopo 4 ore dall'iniezione.

Grafico del nuovo modello

Grafico del modello a tratti C(x): curva esponenziale per 0 ≤ x ≤ 2, poi retta tangente fino a x=4

Il grafico mostra:

per \(0 \le x \le 2\): la curva \(f(x) = 2x\,e^{1-x}\), che parte dall'origine, raggiunge il massimo in \((1, 2)\) e ha il flesso in \(\left(2, \dfrac{4}{e}\right)\);
per \(2 < x \le 4\): il segmento della tangente in F, che scende linearmente fino al punto \((4, 0)\) dove la concentrazione si azzera.

Simulazione 3 - Problema 2 - Esame di Stato 2026

a)