Problema 1 – Simulazione 4

Simulazione 4 — PROBLEMA 1

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Un'azienda produce un bene la cui funzione di costo totale di produzione è data da \(C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), dove \(x \ge 0\) è la quantità di bene prodotta (in migliaia di unità) e \(C(x)\) è il costo totale in migliaia di euro.

Si definisce Costo marginale la variazione del costo totale che si verifica quando si produce una unità aggiuntiva. Il Costo marginale è pari alla derivata prima \(C'(x)\) della funzione Costo totale:

\[C'(x) = \frac{dC(x)}{dx}\]

Sappiamo che:

il costo fisso iniziale (per \(x=0\)) è di 10 migliaia di euro;
il costo marginale ha un valore minimo di 1 migliaio di euro per unità in corrispondenza di \(x=1\);
il costo marginale è di 10 migliaia di euro per unità quando \(x=2\).

Un'azienda produce un bene la cui funzione di costo totale di produzione è data da C di x uguale a a x cubo più b x quadro più c x più d, dove x maggiore o uguale a zero è la quantità prodotta in migliaia di unità e C di x è il costo totale in migliaia di euro. Il Costo marginale è pari alla derivata prima C primo di x. Il costo fisso iniziale è di 10 migliaia di euro. Il costo marginale ha un valore minimo di 1 migliaio di euro per unità in corrispondenza di x uguale a 1. Il costo marginale è di 10 migliaia di euro per unità quando x è uguale a 2.

1)

Determina i valori dei parametri \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) e scrivi l'espressione analitica della funzione di costo totale \(C(x)\) e della funzione di costo marginale \(C'(x)\). Successivamente, studia la funzione \(C(x)\) e rappresentala graficamente per \(x \ge 0\).

Punto 1. Determina i valori dei parametri a, b, c e d e scrivi l'espressione analitica della funzione di costo totale C di x e della funzione di costo marginale C primo di x. Successivamente, studia la funzione C di x e rappresentala graficamente per x maggiore o uguale a zero.

Soluzione del punto 1

Determinazione dei parametri

La funzione di costo marginale è la derivata prima:

\[C'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\]

Applicando le quattro condizioni, si ottiene il sistema:

\[\begin{cases} C(0) = 10 \implies d = 10 \\ C'(1) = 1 \implies 3a + 2b + c = 1 \\ C''(1) = 0 \implies 6a + 2b = 0 \implies b = -3a \\ C'(2) = 10 \implies 12a + 4b + c = 10 \end{cases}\]

Risolvendo si trovano:

\[\mathbf{a = 3}, \quad \mathbf{b = -9}, \quad \mathbf{c = 10}, \quad \mathbf{d = 10}\]

Funzione di costo totale: \(\mathbf{C(x) = 3x^3 - 9x^2 + 10x + 10}\)
Funzione di costo marginale: \(\mathbf{C'(x) = 9x^2 - 18x + 10}\)

Studio di \(C(x)\) per \(x \ge 0\)

Intersezioni e limiti

Asse y: \(C(0) = 10\) → punto \((0, 10)\) (costo fisso)
Asse x: \(C(x) > 0\) per \(x \ge 0\) → nessuna intersezione
Limite: \(\lim_{x \to +\infty} C(x) = +\infty\)

Derivata Prima — Monotonia

\[C'(x) = 9x^2 - 18x + 10\] \[\Delta = (-18)^2 - 4(9)(10) = 324 - 360 = -36 < 0\]

Poiché \(\Delta < 0\) e il coefficiente dominante è positivo, \(\mathbf{C'(x) > 0}\) per ogni \(x\): la funzione è sempre crescente.

Derivata Seconda — Concavità e Flesso

\[C''(x) = 18x - 18 = 0 \implies x = 1\] \[C(1) = 14 \implies F = (1, 14)\]

Per \(x < 1\): \(C''(x) < 0\) → concavità verso il basso
Per \(x > 1\): \(C''(x) > 0\) → concavità verso l'alto

Grafico della funzione di costo totale C(x) = 3x^3 - 9x^2 + 10x + 10 per x >= 0

Legenda: La curva è sempre crescente per \(x \ge 0\). Il punto \(A = (0, 10)\) rappresenta il costo fisso iniziale. Il punto \(F = (1, 14)\) è il flesso: per \(x < 1\) la curva è concava verso il basso, per \(x > 1\) è concava verso l'alto.

2)

Verifica che la funzione di costo marginale \(C'(x)\) ha come asse di simmetria la retta \(x=1\). Dai un'interpretazione economica di questa simmetria e rappresenta il grafico di \(C'(x)\) per \(x \ge 0\).

Punto 2. Verifica che la funzione di costo marginale C primo di x ha come asse di simmetria la retta x uguale a 1. Dai un'interpretazione economica di questa simmetria e rappresenta il grafico di C primo di x per x maggiore o uguale a zero.

Soluzione del punto 2

Verifica dell'asse di simmetria

La funzione di costo marginale è una parabola: \(\mathbf{C'(x) = 9x^2 - 18x + 10}\).

L'ascissa del vertice di una parabola \(y = Ax^2 + Bx + C\) è:

\[x_v = -\frac{B}{2A} = -\frac{-18}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1\]

L'asse di simmetria è la retta \(\mathbf{x = 1}\). ✓

Interpretazione Economica

Il vertice della parabola in \(x=1\) corrisponde al minimo assoluto del costo marginale: \(C'(1) = 1\).

La simmetria significa che la deviazione da 1000 unità (il livello di produzione più efficiente) causa lo stesso aumento di costo marginale sia che si produca un po' meno che un po' di più. Ad esempio:

\(C'(0{,}5) = 9(0{,}5)^2 - 18(0{,}5) + 10 = 3{,}25\)
\(C'(1{,}5) = 9(1{,}5)^2 - 18(1{,}5) + 10 = 3{,}25\)

Punti chiave del grafico

Vertice (minimo): \(V = (1, 1)\)
Intersezione asse y: \(C'(0) = 10\) → punto \((0, 10)\)
Punto simmetrico: \(C'(2) = 10\) → punto \((2, 10)\)

Grafico della funzione di costo marginale C'(x) = 9x^2 - 18x + 10 per x >= 0

Legenda: La parabola ha il vertice (minimo) in \(V = (1, 1)\), che rappresenta il costo marginale minimo di 1 migliaio di euro per unità. La simmetria rispetto a \(x = 1\) è evidenziata dai punti simmetrici \((0, 10)\) e \((2, 10)\).

3)

Il costo medio è definito come il costo totale diviso per la quantità prodotta: \[C_m(x) = \frac{C(x)}{x} \quad \text{per } x > 0\] Determina per quale quantità prodotta il costo medio è minimo e calcola il valore minimo del costo medio.

Punto 3. Il costo medio è definito come il costo totale diviso per la quantità prodotta: C m di x uguale C di x fratto x, per x maggiore di zero. Determina per quale quantità prodotta il costo medio è minimo e calcola il valore minimo del costo medio.

Soluzione del punto 3

Funzione di Costo Medio

\[C_m(x) = \frac{3x^3 - 9x^2 + 10x + 10}{x} = 3x^2 - 9x + 10 + \frac{10}{x}\]

Ricerca del minimo

\[C_m'(x) = 6x - 9 - \frac{10}{x^2}\]

Poniamo \(C_m'(x) = 0\) e moltiplichiamo per \(x^2\):

\[6x^3 - 9x^2 - 10 = 0\]

Studio della cubica \(y(x) = 6x^3 - 9x^2 - 10\)

1. Dominio: \(x > 0\)

2. Valore in \(x=0\): \(y(0) = -10 < 0\)

3. Derivata prima:
\(y'(x) = 18x^2 - 18x = 18x(x-1)\)
Segno della derivata:

\(0 < x < 1 \Rightarrow y' < 0\) → funzione decrescente
\(x > 1 \Rightarrow y' > 0\) → funzione crescente

4. Minimo locale:
Il punto critico interno a \(x > 0\) è \(x=1\): \[y(1) = 6 - 9 - 10 = -13 < 0\]

Poiché \(y(1) = -13 < 0\) e \(y(x) \to +\infty\) per \(x \to +\infty\), la cubica ammette un'unica radice reale positiva \(x_0 > 1\). Il grafico della cubica è di questo tipo:

Legenda: La cubica \(y(x) = 6x^3 - 9x^2 - 10\) passa per \(D = (0, -10)\) e ha un minimo locale in \(m = (1, -13)\). Si annulla in \(x_0 \approx 1{,}94\), evidenziato dal punto \(E = (1{,}94, 0)\): è qui che il costo medio raggiunge il suo valore minimo.

Tabulazione per trovare \(x_0\)

\(x\)	\(y(x) = 6x^3 - 9x^2 - 10\)
1,8	\(\approx -3{,}4\)
1,9	\(\approx -1{,}3\)
1,94	\(\approx -0{,}07\)
1,95	\(\approx +0{,}20\)
2,0	\(= 2\)

La radice è \(x_0 \approx 1{,}94\): il costo medio è minimo per circa 1940 unità.

Valore del costo medio minimo

\[C_m(1{,}94) \approx 3(1{,}94)^2 - 9(1{,}94) + 10 + \frac{10}{1{,}94} \approx 8{,}99\]

Il costo medio è minimo per \(x \approx 1{,}94\) (circa 1 940 unità), con valore minimo di circa 9 migliaia di euro per unità.

Grafico del costo totale e del costo medio. È evidenziato il Costo Medio Minimo:

Grafico delle Funzioni Costo e Costo medio

Legenda: Il grafico mostra \(C(x)\) e \(C_m(x)\). Il costo medio raggiunge il suo minimo in \(x \approx 1{,}94\) con valore di circa 9 migliaia di euro per unità. Al di sotto di questa quantità i costi fissi incidono maggiormente; al di sopra, i costi variabili fanno risalire la media.

4)

Il profitto totale \(P(x)\) è la differenza tra il ricavo totale e il costo totale: \(P(x) = R(x) - C(x)\). Il prezzo di vendita è costante e pari a 15 migliaia di euro per unità, quindi il ricavo totale è \(R(x) = 15x\). Determina la quantità di produzione \(x\) che massimizza il profitto totale e il profitto massimo.

Punto 4. Il profitto totale P di x è la differenza tra il ricavo totale e il costo totale. Il prezzo di vendita è costante e pari a 15 migliaia di euro per unità, quindi il ricavo totale è R di x uguale a 15 x. Determina la quantità di produzione x che massimizza il profitto totale e il profitto massimo.

Soluzione del punto 4

Funzione di profitto totale \(P(x)\)

\[P(x) = 15x - (3x^3 - 9x^2 + 10x + 10) = -3x^3 + 9x^2 + 5x - 10\]

Ricerca del massimo

\[P'(x) = -9x^2 + 18x + 5\]

Poniamo \(P'(x) = 0\):

\[9x^2 - 18x - 5 = 0\] \[x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 180}}{18} = \frac{18 \pm \sqrt{504}}{18} = \frac{3 \pm \sqrt{14}}{3}\]

\(x_1 = \dfrac{3 - \sqrt{14}}{3} \approx -0{,}247\) → scartata (x < 0)
\(x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{14}}{3} \approx 2{,}247\) ✓

Poiché \(P''(2{,}247) = -18(2{,}247) + 18 < 0\), il punto è un massimo.

Profitto massimo

\[P(2{,}247) \approx -3(2{,}247)^3 + 9(2{,}247)^2 + 5(2{,}247) - 10 \approx 12{,}641\]

Il profitto è massimo per \(x \approx 2{,}247\) (circa 2 247 unità), con profitto massimo di circa 12 641 euro.

Grafico della Funzione Profitto con evidenziato il Profitto Massimo

Legenda: Il grafico mostra \(P(x) = -3x^3 + 9x^2 + 5x - 10\). Il profitto è negativo per valori piccoli di \(x\) (i costi fissi superano i ricavi) e raggiunge il suo massimo in \(x \approx 2{,}247\). Per \(x > 2{,}247\) il profitto torna a decrescere poiché i costi crescono più rapidamente dei ricavi.

Simulazione 4 – Problema 1 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

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