Problema 2 – Simulazione 4

Simulazione 4 — PROBLEMA 2

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È data la seguente funzione reale di variabile reale: \[f(x) = axe^{-x} + b\] con \(a\) e \(b\) parametri reali positivi.

È data la seguente funzione reale di variabile reale: f di x uguale a a per x per e alla meno x, più b, con a e b parametri reali positivi.

1)

Determina i parametri \(a\) e \(b\) in modo che \(f(x)\) assuma il valore 2 nel suo punto di massimo assoluto e che: \[\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\]

Punto 1. Determina i parametri a e b in modo che f di x assuma il valore 2 nel suo punto di massimo assoluto e che il limite di f di x per x che tende a più infinito sia uguale a 1.

Soluzione del punto 1

Determinazione di \(b\) dal limite

Poiché \(xe^{-x} \to 0\) per \(x \to +\infty\) (l'esponenziale vince sul polinomio), si ha:

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty}(axe^{-x} + b) = 0 + b = b\]

Imponendo che questo limite valga 1:

\[\boxed{b = 1}\]

Determinazione di \(a\) dal massimo

Con \(b=1\) la funzione è \(f(x) = axe^{-x} + 1\). Calcoliamo la derivata prima con la regola del prodotto:

\[f'(x) = ae^{-x} + ax(-e^{-x}) = ae^{-x}(1-x)\]

Poiché \(a > 0\) e \(e^{-x} > 0\) sempre, il segno di \(f'(x)\) dipende da \((1-x)\):

per \(x < 1\): \(f'(x) > 0\) → funzione crescente
per \(x = 1\): \(f'(x) = 0\) → massimo assoluto
per \(x > 1\): \(f'(x) < 0\) → funzione decrescente

Imponendo che il valore massimo sia 2:

\[f(1) = a \cdot 1 \cdot e^{-1} + 1 = \frac{a}{e} + 1 = 2 \implies \frac{a}{e} = 1 \implies \boxed{a = e}\]

I parametri sono \(\mathbf{a = e}\) e \(\mathbf{b = 1}\).
La funzione diventa: \(\mathbf{f(x) = xe^{1-x} + 1}\)

2)

Dopo aver verificato che i valori dei parametri che soddisfano le richieste sono \(a = e\) e \(b = 1\), studia e traccia i grafici di \(f(x)\) e \(f'(x)\) in uno stesso riferimento cartesiano. Trova anche gli eventuali punti di flesso per \(f(x)\).

Punto 2. Dopo aver verificato che i valori dei parametri sono a uguale a e e b uguale a 1, studia e traccia i grafici di f di x e della sua derivata f primo di x in uno stesso riferimento cartesiano. Trova anche gli eventuali punti di flesso per f di x.

Soluzione del punto 2

La funzione da studiare è \(f(x) = xe^{1-x} + 1\), definita per \(x \in \mathbb{R}\).

Dominio, limiti e intersezioni

Dominio: \(\mathbb{R}\)
Limite per \(x \to -\infty\): \(xe^{1-x} \to -\infty\), quindi \(f(x) \to -\infty\)
Limite per \(x \to +\infty\): \(xe^{1-x} \to 0\), quindi \(f(x) \to 1\) → asintoto orizzontale \(\mathbf{y = 1}\)
Intersezione asse y (\(x=0\)): \(f(0) = 0 + 1 = 1\) → punto \(E = (0, 1)\)

Derivata Prima — Monotonia e Massimo

\[f'(x) = e^{1-x}(1-x)\]

per \(x < 1\): \(f'(x) > 0\) → crescente
per \(x = 1\): \(f'(1) = 0\) → massimo assoluto \(M = (1, 2)\)
per \(x > 1\): \(f'(x) < 0\) → decrescente

Derivata Seconda — Concavità e Flesso

\[f''(x) = e^{1-x}(x-2)\]

per \(x < 2\): \(f''(x) < 0\) → concavità verso il basso
per \(x = 2\): \(f''(x) = 0\) → flesso
per \(x > 2\): \(f''(x) > 0\) → concavità verso l'alto

\[f(2) = 2e^{-1} + 1 = \frac{2}{e} + 1 \approx 1{,}74\]

Punto di flesso: \(\displaystyle F = \left(2,\ \frac{2}{e}+1\right) \approx (2,\ 1{,}74)\)

Grafico di \(f(x\)

Legenda: In blu \(f(x) = xe^{1-x}+1\): massimo in \(M=(1,2)\), flesso in \(F=\!\left(2,\frac{2}{e}+1\right)\), asintoto \(y=1\). In verde \(f'(x) = e^{1-x}(1-x)\): si annulla in \(x=1\), ha un minimo in \(B=\!\left(2,-\frac{1}{e}\right)\) e tende a 0 per \(x\to+\infty\).

Studio di \(f'(x) = e^{1-x}(1-x)\)

Ricaviamo l'andamento di \(f'(x)\) direttamente dallo studio di \(f(x)\):

Segno: per \(x < 1\) la funzione \(f\) è crescente, quindi \(f'(x) > 0\). Per \(x > 1\) la funzione \(f\) è decrescente, quindi \(f'(x) < 0\).
Zero: in \(x = 1\), dove \(f\) ha il massimo assoluto, si ha \(f'(1) = 0\).
Monotonia di \(f'\): per \(x < 2\) la concavità di \(f\) è verso il basso, quindi \(f''(x) < 0\): poiché \(f''\) è la derivata di \(f'\), questo significa che \(f'\) è decrescente per \(x < 2\). Per \(x > 2\) la concavità di \(f\) è verso l'alto, quindi \(f''(x) > 0\) e \(f'\) è crescente.
Minimo di \(f'\): in \(x = 2\) (flesso di \(f\)) la derivata \(f'\) ha un minimo: \(f'(2) = e^{-1}(-1) = -\dfrac{1}{e} \approx -0{,}37\).
Valore in \(x=0\): \(f'(0) = e \approx 2{,}718\) → punto \(D = (0, e)\).
Limiti: \(\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0\) (asintoto \(y=0\)); \(\lim_{x \to -\infty} f'(x) = -\infty\).

3)

Calcola la superficie compresa tra la funzione \(f(x)\) e l'asse delle ascisse per l'intervallo \(x \in [0, 5]\).

Punto 3. Calcola la superficie compresa tra la funzione f di x e l'asse delle ascisse per l'intervallo x compreso tra 0 e 5.

Soluzione del punto 3

Segno di \(f(x)\) in \([0,5]\)

Per \(x \ge 0\) si ha \(xe^{1-x} \ge 0\), quindi \(f(x) = xe^{1-x}+1 \ge 1 > 0\) su tutto \([0,5]\). La funzione è sempre positiva, quindi:

\[S = \int_0^5 f(x)\,dx = \int_0^5 \left(xe^{1-x} + 1\right)dx\]

Calcolo dell'integrale

\[S = \int_0^5 xe^{1-x}\,dx + \int_0^5 1\,dx\]

Il secondo integrale vale \(5\). Per il primo usiamo l'integrazione per parti con \(u = x\) e \(dv = e^{1-x}dx\):

\[u = x \implies du = dx \qquad dv = e^{1-x}dx \implies v = -e^{1-x}\] \[\int xe^{1-x}dx = -xe^{1-x} + \int e^{1-x}dx = -xe^{1-x} - e^{1-x} + C =\] \[=-e^{1-x}(x+1) + C\]

Calcoliamo l'integrale definito:

\[\int_0^5 xe^{1-x}\,dx = \Big[-e^{1-x}(x+1)\Big]_0^5 = -6e^{-4} + e = e - \frac{6}{e^4}\]

\[S = e - \frac{6}{e^4} + 5 \approx 7{,}61 \text{ unità quadrate}\]

Legenda: La regione colorata rappresenta la superficie \(S = e - \dfrac{6}{e^4} + 5 \approx 7{,}61\) compresa tra \(f(x)\) e l'asse delle ascisse nell'intervallo \([0,5]\). La funzione è sempre positiva su questo intervallo.

4)

La funzione \(g(x)\) è così definita: \(g(x) = f(x) - 1\). Verifica, motivando la risposta, che la funzione \(g(x)\) è integrabile impropriamente nell'intervallo \(x \in [0, +\infty)\) e calcola l'integrale improprio: \[\int_0^{+\infty} g(x)\,dx\] specificando se l'integrale converge o diverge.

Punto 4. La funzione g di x è così definita: g di x uguale a f di x meno 1. Verifica che la funzione g di x è integrabile impropriamente nell'intervallo da zero a più infinito e calcola l'integrale improprio di g di x da zero a più infinito, specificando se l'integrale converge o diverge.

Soluzione del punto 4

Espressione di \(g(x)\)

\[g(x) = f(x) - 1 = xe^{1-x} + 1 - 1 = xe^{1-x}\]

Verifica dell'integrabilità impropria

L'integrale improprio è:

\[\int_0^{+\infty} xe^{1-x}\,dx = \lim_{t \to +\infty} \int_0^{t} xe^{1-x}\,dx\]

La funzione \(g(x) = xe^{1-x}\) è continua e non negativa su \([0,+\infty)\) e tende a 0 molto rapidamente per \(x \to +\infty\) (l'esponenziale domina qualsiasi potenza). Questo suggerisce che l'integrale converga.

Calcolo dell'integrale improprio

Dal punto 3 sappiamo che la primitiva di \(xe^{1-x}\) è \(-e^{1-x}(x+1)\). Quindi:

\[\int_0^{t} xe^{1-x}\,dx = \Big[-e^{1-x}(x+1)\Big]_0^{t} = e - (t+1)e^{1-t}\]

Calcoliamo il limite per \(t \to +\infty\). Applichiamo de L'Hôpital a \(\dfrac{t+1}{e^t}\):

\[\lim_{t \to +\infty} (t+1)e^{1-t} = e \cdot \lim_{t \to +\infty} \frac{t+1}{e^t} \overset{\text{H}}{=} e \cdot \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t} = 0\]

L'integrale improprio converge e il suo valore è: \[\int_0^{+\infty} xe^{1-x}\,dx = e\]

Grafico di g(x) = xe^(1-x) con area totale pari a e per x in [0,+inf)

Legenda: Il grafico mostra \(g(x) = xe^{1-x}\), con massimo in \((1,1)\) e tendente a 0 per \(x\to+\infty\). L'area totale della regione colorata vale esattamente \(e \approx 2{,}718\): l'integrale improprio converge.

Simulazione 4 – Problema 2 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

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