Questionario – Simulazione 4

Quesito 1

Verifica che il grafico della funzione: \[F(x) = 2 + \frac{1}{2}x - \int_2^x e^{(t-2)^2}\,dt\] ammette un punto di flesso di ascissa \(x = 2\) e ricava l'equazione della retta tangente in tale punto.

Quesito 1. Verifica che il grafico della funzione F di x, uguale a 2 più un mezzo x meno l'integrale da 2 a x di e elevato a t meno 2 al quadrato, ammette un punto di flesso di ascissa x uguale a 2 e ricava l'equazione della retta tangente in tale punto.

Derivata prima di \(F(x)\)

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, la derivata dell'integrale con estremo superiore variabile è l'integrando valutato in \(x\):

\[F'(x) = \frac{1}{2} - e^{(x-2)^2}\]

Derivata seconda di \(F(x)\)

Deriviamo \(F'(x)\) usando la regola della catena:

\[F''(x) = -e^{(x-2)^2} \cdot 2(x-2)\]

Verifica del flesso in \(x = 2\)

\[F''(2) = -e^0 \cdot 0 = 0\]

Il segno di \(F''(x) = -2(x-2)e^{(x-2)^2}\) dipende da \(-(x-2)\):

per \(x < 2\): \(F''(x) > 0\) → concavità verso l'alto
per \(x > 2\): \(F''(x) < 0\) → concavità verso il basso

La concavità cambia in \(x=2\) → il punto è un flesso. ✓

Retta tangente in \(x = 2\)

\[F(2) = 2 + 1 - 0 = 3 \qquad F'(2) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\]

Retta tangente nel punto \((2, 3)\): \(\displaystyle y = -\frac{1}{2}x + 4\)

Quesito 2

Indicata con \(A(h)\) l'area della regione compresa tra il grafico di \(f(x) = \dfrac{x^2+1}{x}\), l'asse delle ascisse e le rette \(x = h\) e \(x = h+2\) per \(h > 0\), determina per quale valore di \(h\) l'area \(A(h)\) è minima.

Quesito 2. Indicata con A di h l'area della regione compresa tra il grafico di f di x uguale a x quadro più 1 fratto x, l'asse delle ascisse e le rette x uguale a h e x uguale a h più 2, per h maggiore di zero, determina per quale valore di h l'area A di h è minima.

Grafico della funzione

Uno studio qualitativo della funzione porta al seguente grafico, in cui è evidenziata la regione di area \(A(h)\):

Grafico di f(x) = (x^2+1)/x con la regione di area A(h) evidenziata tra x=h e x=h+2

Legenda: In blu \(f(x) = \dfrac{x^2+1}{x}\), in verde tratteggiato l'asintoto obliquo \(y = x\). La regione rosa è l'area \(A(h)\) tra la curva e l'asse x, nell'intervallo \([h,\, h+2]\).

Espressione di \(A(h)\)

Per \(x > 0\): \(f(x) = x + \dfrac{1}{x} > 0\), quindi:

\[A(h) = \int_h^{h+2}\!\left(x + \frac{1}{x}\right)dx = \left[\frac{x^2}{2} + \ln x\right]_h^{h+2}\] \[A(h) = 2h + 2 + \ln\!\left(1 + \frac{2}{h}\right)\]

Ricerca del minimo

\[A'(h) = 2 - \frac{2}{h(h+2)}\]

Poniamo \(A'(h) = 0\):

\[h(h+2) = 1 \implies h^2 + 2h - 1 = 0 \implies h = -1 \pm \sqrt{2}\]

Poiché \(h > 0\):

\(h = \sqrt{2} - 1 \approx 0{,}414\) è il valore che minimizza l'area \(A(h)\).

Verifica: per \(h < \sqrt{2}-1\) si ha \(A'(h) < 0\) (decrescente); per \(h > \sqrt{2}-1\) si ha \(A'(h) > 0\) (crescente) → minimo. ✓

Quesito 3

Il 75% degli studenti che stanno affrontando l'Esame di Stato ha già programmato le vacanze estive; di questi il 60% ha scelto una località all'estero, mentre il 90% di quelli che non l'hanno programmata opteranno per una meta in Italia.

(a) Quale è la probabilità con cui verrà scelta una vacanza in Italia?

(b) Se nel gruppo dei maturandi si scelgono a caso, in modo indipendente gli uni dagli altri, 10 studenti, con quale probabilità esattamente 5 di loro andranno in vacanza in una località italiana?

Quesito 3. Il 75 percento degli studenti che stanno affrontando l'Esame di Stato ha già programmato le vacanze estive. Di questi il 60 percento ha scelto una località all'estero, mentre il 90 percento di quelli che non l'hanno programmata opteranno per una meta in Italia. Parte a: Quale è la probabilità con cui verrà scelta una vacanza in Italia? Parte b: Se si scelgono a caso 10 studenti, con quale probabilità esattamente 5 di loro andranno in vacanza in una località italiana?

Definizione degli eventi

\(P\) = "ha programmato le vacanze": \(P(P) = 0{,}75\), \(P(\bar{P}) = 0{,}25\)
\(I\) = "sceglie l'Italia"
\(P(I \mid P) = 1 - 0{,}60 = 0{,}40\)
\(P(I \mid \bar{P}) = 0{,}90\)

Parte (a) — Probabilità totale

L'evento \(I\) può avvenire in due modi incompatibili. Applichiamo la formula della probabilità totale:

\[P(I) = 0{,}40 \cdot 0{,}75 + 0{,}90 \cdot 0{,}25 = 0{,}30 + 0{,}225\]

\(P(I) = 0{,}525\) → la probabilità di scegliere l'Italia è il 52,5%.

Parte (b) — Distribuzione binomiale

Con \(n = 10\) e \(p = 0{,}525\), il numero \(X\) di studenti che scelgono l'Italia segue \(X \sim B(10,\, 0{,}525)\), con valore atteso \(\mu = 5{,}25\).

\[P(X = 5) = \binom{10}{5}(0{,}525)^5(0{,}475)^5\]

\(\dbinom{10}{5} = 252\)
\((0{,}525)^5 \approx 0{,}039688\)
\((0{,}475)^5 \approx 0{,}024368\)

\(P(X=5) \approx 252 \cdot 0{,}039688 \cdot 0{,}024368 \approx \mathbf{0{,}244}\) (circa il 24,4%)

Un risultato realistico: con \(p \approx 0{,}5\) ottenere esattamente 5 successi su 10 ha quasi 1 probabilità su 4, vicino al valore atteso \(\mu = 5{,}25\).

Quesito 4

Dati i punti \(A(-1, 2, 0)\) e \(B(0, 1, -2)\) determina:

(a) l'equazione del piano \(\alpha\) passante per \(A\) e perpendicolare alla retta \(AB\);

(b) l'equazione del piano \(\beta\) tangente in \(B\) alla sfera di centro \(A\);

(c) la distanza fra i due piani \(\alpha\) e \(\beta\).

Quesito 4. Dati i punti A di coordinate meno 1, 2, 0 e B di coordinate 0, 1, meno 2, determina: parte a, l'equazione del piano alfa passante per A e perpendicolare alla retta AB; parte b, l'equazione del piano beta tangente in B alla sfera di centro A; parte c, la distanza fra i due piani alfa e beta.

Vettore \(\overrightarrow{AB}\) — normale comune

\[\overrightarrow{AB} = (1, -1, -2)\]

Questo vettore è la normale comune ad entrambi i piani.

Parte (a) — Piano \(\alpha\)

Normale \(\mathbf{n} = (1,-1,-2)\), passa per \(A(-1,2,0)\):

\[1(x+1) -1(y-2) -2z = 0\]

\(\alpha:\ x - y - 2z + 3 = 0\)

Parte (b) — Piano \(\beta\)

Stessa normale, passa per \(B(0,1,-2)\):

\[1(x-0) -1(y-1) -2(z+2) = 0\]

\(\beta:\ x - y - 2z - 3 = 0\)

Parte (c) — Distanza tra \(\alpha\) e \(\beta\)

I due piani sono paralleli (stessa normale). Usiamo la formula distanza punto-piano: prendiamo \(A(-1,2,0) \in \alpha\) e calcoliamo la sua distanza da \(\beta\):

\[d = \frac{|1\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 + (-2)\cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6}\]

\(d = \sqrt{6}\)

Verifica geometrica: \(|AB| = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}\) ✓ — la distanza coincide con la lunghezza di \(AB\), come atteso.

Quesito 5

Dimostrare che la funzione \(f(x) = \arctan x + \arctan\dfrac{1}{x}\) è una funzione costante a tratti e che la costante nell'intervallo \(]-\infty, 0[\) è diversa dalla costante nell'intervallo \(]0, +\infty[\). Determinare tali costanti.

Quesito 5. Dimostrare che la funzione f di x uguale ad arcotangente di x più arcotangente di 1 fratto x è una funzione costante a tratti e che la costante nell'intervallo da meno infinito a zero è diversa dalla costante nell'intervallo da zero a più infinito. Determinare tali costanti.

Dominio e derivata

La funzione è definita per \(x \neq 0\). Calcoliamo \(f'(x)\):

\[f'(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{x^2}{x^2+1}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0\]

Poiché \(f'(x) = 0\) su ogni intervallo del dominio, \(f\) è costante a tratti. ✓

Costante per \(x > 0\)

\[f(1) = \arctan 1 + \arctan 1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\]

Costante per \(x < 0\)

\[f(-1) = \arctan(-1) + \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}\]

\[f(x) = \begin{cases} \dfrac{\pi}{2} & \text{se } x > 0 \\[8pt] -\dfrac{\pi}{2} & \text{se } x < 0 \end{cases}\] Le due costanti sono diverse: \(\dfrac{\pi}{2} \neq -\dfrac{\pi}{2}\). ✓

La discontinuità in \(x=0\) è dovuta al salto di \(\arctan\dfrac{1}{x}\): il limite destro vale \(\frac{\pi}{2}\), quello sinistro \(-\frac{\pi}{2}\).

Quesito 6

(a) Dimostrare che la funzione: \[F(x) = \int_2^x \frac{1 + \ln t}{t^2}\,dt\] è invertibile nell'intervallo \(\left[\dfrac{1}{e},\, +\infty\right[\).

(b) Detta \(G\) l'inversa di \(F\), risolvere l'equazione \(F(x) = 0\) e calcolare \(G'(0)\).

Quesito 6. Parte a: dimostrare che la funzione F di x, uguale all'integrale da 2 a x di 1 più logaritmo naturale di t, fratto t quadro, è invertibile nell'intervallo da 1 fratto e a più infinito. Parte b: detta G l'inversa di F, risolvere l'equazione F di x uguale a zero e calcolare G primo di zero.

Parte (a) — Invertibilità

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale:

\[F'(x) = \frac{1 + \ln x}{x^2}\]

Poiché \(x^2 > 0\), il segno dipende da \(1 + \ln x\):

\[1 + \ln x \ge 0 \iff x \ge \frac{1}{e}\]

Quindi \(F'(x) \ge 0\) per \(x \ge \frac{1}{e}\), con \(F'(x) > 0\) per \(x > \frac{1}{e}\): la funzione è strettamente crescente, quindi invertibile. ✓

Parte (b) — Equazione \(F(x)=0\) e \(G'(0)\)

Osserviamo che \(x = 2\) è soluzione, poiché:

\[F(2) = \int_2^2 \frac{1+\ln t}{t^2}\,dt = 0\]

È l'unica soluzione: \(F\) è iniettiva (strettamente crescente), quindi assume ogni valore al più una volta.

Poiché \(F(2) = 0\), si ha \(G(0) = 2\). Per la formula della derivata della funzione inversa:

\[G'(0) = \frac{1}{F'(G(0))} = \frac{1}{F'(2)} = \frac{1}{\dfrac{1+\ln 2}{4}}\]

\(x = 2\) è l'unica soluzione di \(F(x)=0\) e \(\displaystyle G'(0) = \frac{4}{1+\ln 2}\)

Quesito 7

Verificare se esiste un valore del parametro \(a\) in modo che la funzione: \[f(x) = \begin{cases} a\ln(ex^2 - x^2 + 1) & \text{se } x \le 0 \\ (2a+1)e^{1-\frac{1}{x}} & \text{se } x > 0 \end{cases}\] soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo \([-1, 1]\).

Quesito 7. Verificare se esiste un valore del parametro a in modo che la funzione definita a tratti, uguale a a per logaritmo naturale di e per x quadro meno x quadro più 1 per x minore o uguale a zero, e uguale a 2a più 1 per e elevato a 1 meno 1 fratto x per x maggiore di zero, soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo da meno 1 a 1.

Ipotesi del Teorema di Rolle

Le tre ipotesi sono: (1) \(f\) continua su \([-1,1]\), (2) \(f\) derivabile su \((-1,1)\), (3) \(f(-1) = f(1)\).

Condizione \(f(-1) = f(1)\)

\[f(-1) = a\ln(e) = a \qquad f(1) = (2a+1)e^0 = 2a+1\] \[a = 2a+1 \implies \boxed{a = -1}\]

Verifica continuità in \(x=0\)

Con \(a=-1\):

\[\lim_{x\to 0^-} f(x) = -\ln(1) = 0 \qquad \lim_{x\to 0^+} f(x) =\] \[=(-1)\cdot e^{-\infty} = 0 \qquad f(0) = 0\]

La funzione è continua in \(x=0\). ✓

Verifica derivabilità in \(x=0\)

Per \(x < 0\): \(f'(x) = \dfrac{-2x(e-1)}{(e-1)x^2+1}\), quindi \(f'_-(0) = 0\).

Per \(x > 0\): \(f'(x) = \dfrac{-e^{1-\frac{1}{x}}}{x^2}\). Con la sostituzione \(t = \frac{1}{x}\) e de L'Hôpital:

\[f'_+(0) = \lim_{t\to+\infty} -t^2 e^{1-t} = -e\cdot\lim_{t\to+\infty}\frac{t^2}{e^t} \overset{\text{H}}{=} 0\]

Poiché \(f'_-(0) = f'_+(0) = 0\), la funzione è derivabile in \(x=0\). ✓

Per \(a = -1\) tutte le ipotesi del teorema di Rolle sono soddisfatte su \([-1,1]\), con \(f(-1) = f(1) = -1\). Esiste quindi almeno un \(c \in (-1,1)\) tale che \(f'(c) = 0\).

Quesito 8

Un cono retto è inscritto in una sfera di raggio \(R\). Determinare le dimensioni del cono (raggio di base \(x\) e altezza \(y\)) che massimizzano il volume del cono.

Quesito 8. Un cono retto è inscritto in una sfera di raggio R. Determinare le dimensioni del cono, cioè il raggio di base x e l'altezza ipsilon, che massimizzano il volume del cono.

Relazione geometrica

Chiamiamo \(y\) l'altezza del cono, \(x\) il raggio della base, \(V\) il vertice, \(H\) il centro della base e \(A\) un punto del bordo.

Cono inscritto nella sfera di raggio R: vertice V, raggio x, altezza y, punto A sul bordo

Il centro \(O\) della sfera dista \(R\) dal vertice \(V\), quindi si trova a distanza \(y-R\) dal centro della base \(H\). Dal triangolo rettangolo \(OHA\):

\[x^2 + (y-R)^2 = R^2 \implies x^2 = 2yR - y^2\]

Volume in funzione di \(y\)

\[V(y) = \frac{\pi}{3}x^2 y = \frac{\pi}{3}(2Ry^2 - y^3) \qquad 0 < y < 2R\]

Massimizzazione

\[V'(y) = \frac{\pi y}{3}(4R - 3y) = 0 \implies y = \frac{4R}{3}\]

Per \(y < \frac{4R}{3}\): \(V'>0\); per \(y > \frac{4R}{3}\): \(V'<0\) → massimo. ✓

Raggio ottimale

\[x^2 = 2\cdot\frac{4R}{3}\cdot R - \left(\frac{4R}{3}\right)^2 = \frac{8R^2}{9} \implies x = \frac{2R\sqrt{2}}{3}\]

Altezza ottimale: \(y = \dfrac{4R}{3}\) · Raggio ottimale: \(x = \dfrac{2R\sqrt{2}}{3}\)
Volume massimo: \(V_{\max} = \dfrac{32\pi R^3}{81}\)

Simulazione 4 – Questionario – Versione DSA – Esame di Stato 2026