Simulazione 5 – Problema 1 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del punto a

Le funzioni di partenza sono:

\[f(x) = -(x^2 + ax)e^{-x}, \qquad g(x) = (bx^2 + bcx)e^{-x}\]

Imponiamo le tre condizioni per determinare i parametri:

Condizione 1 — Intersezione di \(f\) con l'asse \(x\) in \(x = 3\)

Il punto \((3;\, 0)\) appartiene al grafico di \(f\), quindi \(f(3) = 0\):

\[-(3^2 + 3a)e^{-3} = 0 \implies 9 + 3a = 0 \implies \mathbf{a = -3}\]

La prima funzione diventa: \(f(x) = (-x^2 + 3x)e^{-x}\).

Condizione 2 — Tangente di \(g\) nell'origine con pendenza 6

La condizione è \(g'(0) = 6\). Calcoliamo la derivata di \(g(x)\):

\[g'(x) = \left[ -bx^2 + (2b - bc)x + bc \right]e^{-x}\]

Valutando nell'origine:

\[g'(0) = bc\]

Imponendo la condizione otteniamo la relazione: \(\mathbf{bc = 6}\).

Condizione 3 — Intersezione tra i grafici in \(x = \frac{1}{2}\)

Richiediamo \(f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = g\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\):

\[f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \left( -\tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{2} \right)e^{-1/2} = \tfrac{5}{4}e^{-1/2}\] \[g\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \left( \tfrac{1}{4}b + \tfrac{1}{2}bc \right)e^{-1/2}\]

Uguagliando (semplificando \(e^{-1/2} \neq 0\)):

\[\tfrac{5}{4} = \tfrac{1}{4}b + \tfrac{1}{2}bc \implies 5 = b + 2bc\]

Sostituendo \(bc = 6\):

\[5 = b + 12 \implies \mathbf{b = -3}\]

Ricaviamo infine \(c\) dalla relazione \(bc = 6\):

\[-3 \cdot c = 6 \implies \mathbf{c = -2}\] ↑ Nascondi soluzione

Soluzione del punto b

Studio di \(f(x) = (-x^2 + 3x)e^{-x}\)

• Dominio: \(\mathbb{R}\).
• Zeri e segno: \(f(x) = 0 \implies -x(x-3)e^{-x} = 0\). Poiché \(e^{-x} > 0\) sempre, gli zeri sono \(x = 0\) e \(x = 3\). La funzione è positiva per \(0 < x < 3\).
• Limiti: \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0^-\) (asintoto orizzontale destro, la curva si accosta da sotto); \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).
• Derivata prima: \[f'(x) = (-2x+3)e^{-x} + (-x^2+3x)(-e^{-x}) = (x^2 - 5x + 3)e^{-x}\] Ponendo \(f'(x) = 0\): \[x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}\]
  • \(x_1 = \dfrac{5 - \sqrt{13}}{2} \approx 0{,}70\) → massimo relativo
  • \(x_2 = \dfrac{5 + \sqrt{13}}{2} \approx 4{,}30\) → minimo relativo

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Studio di \(g(x) = (-3x^2 + 6x)e^{-x}\)

• Dominio: \(\mathbb{R}\).
• Zeri e segno: \(g(x) = 0 \implies -3x(x-2)e^{-x} = 0\). Gli zeri sono \(x = 0\) e \(x = 2\). La funzione è positiva per \(0 < x < 2\).
• Limiti: \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0^-\) (asintoto orizzontale destro); \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\).
• Derivata prima: \[g'(x) = (-6x+6)e^{-x} + (-3x^2+6x)(-e^{-x}) =\] \[=3(x^2 - 4x + 2)e^{-x}\] Ponendo \(g'(x) = 0\): \[x = 2 \pm \sqrt{2}\]
  • \(x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0{,}59\) → massimo relativo
  • \(x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3{,}41\) → minimo relativo

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Grafico congiunto

Nell'origine \(g\) ha pendenza maggiore (\(g'(0)=6\)) rispetto a \(f\) (\(f'(0)=3\)); le due curve si reintersecano in \(\left(\tfrac{3}{2};\, \tfrac{9}{4}e^{-3/2}\right) \approx (1{,}5;\, 0{,}50)\).

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Soluzione del punto c

Determinazione dell'intervallo \([0;\, \alpha]\)

Impostiamo la disequazione \(g(x) \ge f(x)\):

\[(-3x^2 + 6x)e^{-x} \ge (-x^2 + 3x)e^{-x}\]

Poiché \(e^{-x} > 0\) sempre, dividiamo entrambi i membri senza cambiare il verso:

\[-3x^2 + 6x \ge -x^2 + 3x \implies -2x^2 + 3x \ge 0 \implies=\] \[=x(2x - 3) \le 0\]

Le radici dell'equazione associata sono \(x = 0\) e \(x = \dfrac{3}{2}\). La disequazione è soddisfatta per valori interni all'intervallo:

\[0 \le x \le \dfrac{3}{2}\]

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Calcolo dell'area

Poiché \(g(x) \ge f(x)\) nell'intervallo considerato, l'area è:

\[S = \int_{0}^{3/2} \left[ g(x) - f(x) \right] dx = \int_{0}^{3/2} (-2x^2 + 3x)e^{-x} \, dx\]

Integrazione per parti — primo passaggio

Poniamo \(u = -2x^2 + 3x\) e \(v' = e^{-x}\), quindi \(u' = -4x+3\) e \(v = -e^{-x}\):

\[\int (-2x^2 + 3x)e^{-x} \, dx = (2x^2 - 3x)e^{-x} - \int (4x - 3)e^{-x} \, dx\]

Integrazione per parti — secondo passaggio

Poniamo \(u = 4x-3\) e \(v' = e^{-x}\), quindi \(u' = 4\) e \(v = -e^{-x}\):

\[\int (4x - 3)e^{-x} \, dx = (-4x+3)e^{-x} - 4e^{-x} = (-4x-1)e^{-x}\]

Primitiva complessiva

\[\int (-2x^2 + 3x)e^{-x} \, dx = (2x^2 - 3x)e^{-x} - (-4x-1)e^{-x} =\] \[=(2x^2 + x + 1)e^{-x}\]

Calcolo dell'integrale definito

\[S = \Big[ (2x^2 + x + 1)e^{-x} \Big]_{0}^{3/2}\]

Valore in \(x = \dfrac{3}{2}\):

\[\left(2 \cdot \tfrac{9}{4} + \tfrac{3}{2} + 1\right)e^{-3/2} = \left(\tfrac{9}{2} + \tfrac{3}{2} + 1\right)e^{-3/2} = 7e^{-3/2}\]

Valore in \(x = 0\):

\[(0 + 0 + 1) \cdot e^{0} = 1\] ↑ Nascondi soluzione

Soluzione del punto d

Funzione distanza

Nell'intervallo \(\left[0;\, \dfrac{3}{2}\right]\) si ha \(g(k) \ge f(k)\), quindi la lunghezza del segmento è:

\[d(k) = g(k) - f(k) = (-3k^2 + 6k)e^{-k} - (-k^2 + 3k)e^{-k} =\] \[=(-2k^2 + 3k)e^{-k}\]

Derivata prima e ricerca del massimo

Applichiamo la regola del prodotto:

\[d'(k) = (-4k + 3)e^{-k} + (-2k^2 + 3k)(-e^{-k}) = \] \[=(2k^2 - 7k + 3)e^{-k}\]

Poiché \(e^{-k} > 0\) sempre, il segno di \(d'(k)\) dipende dal trinomio \(2k^2 - 7k + 3\). Troviamo le radici:

\[k = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4} \implies k_1 = \frac{1}{2}, \quad k_2 = 3\]

Il trinomio è positivo all'esterno delle radici. Nell'intervallo \(\left[0;\, \dfrac{3}{2}\right]\):

• \(d'(k) > 0\) per \(k \in \left[0;\, \dfrac{1}{2}\right)\) → funzione crescente
• \(d'(k) < 0\) per \(k \in \left(\dfrac{1}{2};\, \dfrac{3}{2}\right]\) → funzione decrescente

Il massimo assoluto si raggiunge in \(\mathbf{k = \dfrac{1}{2}}\).

Calcolo della distanza massima

\[d\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \left( -2 \cdot \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{2} \right) e^{-1/2} = \left( -\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} \right) e^{-1/2} = e^{-1/2}\] ↑ Nascondi soluzione