Simulazione 5 - Problema 1 - Esame di Stato 2026

Soluzione del punto a

Le funzioni di partenza sono definite da:

\[f(x) = -(x^2 + ax)e^{-x}\] \[g(x) = bx(x + c)e^{-x} = (bx^2 + bcx)e^{-x}\]

Imponiamo le tre condizioni per determinare i parametri reali \(a\), \(b\) e \(c\):

1. Intersezione di \(f\) con l'asse \(x\) in \(x = 3\):
   Il punto \((3; 0)\) appartiene al grafico di \(f\), pertanto \(f(3) = 0\): \[-(3^2 + 3a)e^{-3} = 0 \implies 9 + 3a = 0 \implies a = -3\] La prima funzione è quindi: \(f(x) = (-x^2 + 3x)e^{-x}\).
2. Tangente nell'origine per \(g\) con coefficiente angolare pari a 6:
   La condizione si traduce in \(g'(0) = 6\). Calcoliamo la derivata prima di \(g(x)\) applicando la regola del prodotto: \[g'(x) = (2bx + bc)e^{-x} + (bx^2 + bcx)(-e^{-x}) = \left[ -bx^2 + (2b - bc)x + bc \right]e^{-x}\] Valutando la derivata nell'origine si ottiene: \[g'(0) = bc \cdot e^0 = bc\] Imponendo la condizione, ricaviamo la prima relazione fondamentale tra i parametri: \[bc = 6\]
3. Intersezione tra i grafici in \(x = \dfrac{1}{2}\):
   La condizione richiede che \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = g\left(\dfrac{1}{2}\right)\). Calcoliamo i rispettivi valori:
   \[f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left[ -\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\dfrac{1}{2}\right) \right] e^{-1/2} = \left( -\dfrac{1}{4} + \dfrac{6}{4} \right)e^{-1/2} = \dfrac{5}{4}e^{-1/2}\] \[g\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left[ b\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + bc\left(\dfrac{1}{2}\right) \right] e^{-1/2} = \left( \dfrac{1}{4}b + \dfrac{1}{2}bc \right)e^{-1/2}\] Uguagliando le due espressioni (e semplificando \(e^{-1/2} \neq 0\)) si ha: \[\dfrac{5}{4} = \dfrac{1}{4}b + \dfrac{1}{2}bc \implies 5 = b + 2bc\] Sappiamo dalla condizione precedente che \(bc = 6\). Sostituendo questo valore nell'equazione otteniamo: \[5 = b + 2(6) \implies 5 = b + 12 \implies b = 5 - 12 \implies b = -3\] Infine, ricaviamo il parametro \(c\) riprendendo la relazione \(bc = 6\): \[-3 \cdot c = 6 \implies c = \dfrac{6}{-3} \implies c = -2\]

Soluzione del punto b

Sulla base dei parametri assegnati dal testo del punto b, analizziamo le funzioni:

\[f(x) = (-x^2 + 3x)e^{-x} \qquad \text{e} \qquad g(x) = (-3x^2 + 6x)e^{-x}\]

Studio della funzione \(f(x)\)

• Dominio: \(\mathbb{R}\), poiché la funzione è composta da un polinomio e da un'esponenziale, entrambi definiti su tutto l'asse reale.
• Zeri e segno: Ponendo \(f(x) = 0 \implies -x(x - 3)e^{-x} = 0\). Poiché \(e^{-x} > 0 \, \forall x\), gli zeri sono \(x = 0\) e \(x = 3\). Il segno dipende unicamente dal trinomio di secondo grado: si ha \(f(x) > 0\) per valori interni, ossia quando \(0 < x < 3\).
• Limiti agli estremi:
  • \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-x^2 + 3x)e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{-x^2 + 3x}{e^x} = 0^-\) (per la gerarchia degli infiniti l'esponenziale domina sul polinomio; l'asse \(x\) è asintoto orizzontale destro e la curva vi si accosta da sotto).
  • \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (-x^2 + 3x)e^{-x} = (-\infty) \cdot (+\infty) = -\infty\). Non sussistono asintoti obliqui a \(-\infty\) a causa della crescita iper-esponenziale del termine \(e^{-x}\).
• Punti stazionari: Calcoliamo la derivata prima mediante la regola del prodotto: \[ f'(x) = (-2x + 3)e^{-x} + (-x^2 + 3x)(-e^{-x}) = (x^2 - 5x + 3)e^{-x} \] Ponendo \(f'(x)=0\) si ottiene: \[ (x^2-5x+3)e^{-x}=0 \] Poiché \(e^{-x}>0\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), la derivata si annulla se e solo se: \[ x^2-5x+3=0 \] da cui: \[ x=\frac{5\pm\sqrt{25-12}}{2} =\frac{5\pm\sqrt{13}}{2} \] Indichiamo tali valori con: \[ x_1=\frac{5-\sqrt{13}}{2}, \qquad x_2=\frac{5+\sqrt{13}}{2} \] Per lo studio del segno osserviamo che: \[ f'(x)=(x^2-5x+3)e^{-x} \] e il fattore esponenziale è sempre positivo; pertanto il segno di \(f'(x)\) coincide con quello del trinomio \[ x^2-5x+3. \] Poiché il coefficiente di \(x^2\) è positivo (\(a=1>0\)), il trinomio è:
  • positivo per \(x < x_1\);
  • negativo per \(x_1 < x < x_2\);
  • positivo per \(x > x_2\).
  In forma schematica:
  \[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & x_1 & & x_2 & +\infty\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array} \]
  Di conseguenza:
  • in \(x_1=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}\approx0.70\) la derivata passa da positiva a negativa: massimo relativo;
  • in \(x_2=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\approx4.30\) la derivata passa da negativa a positiva: minimo relativo.

Studio della funzione \(g(x)\)

• Dominio: \(\mathbb{R}\).
• Zeri e segno: Ponendo \(g(x) = 0 \implies -3x(x - 2)e^{-x} = 0\). Gli zeri della funzione sono \(x = 0\) e \(x = 2\). Risulta \(g(x) > 0\) per valori interni al grafico polinomiale, ovvero per \(0 < x < 2\).
• Limiti agli estremi:
  • \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-3x^2 + 6x)e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{-3x^2 + 6x}{e^x} = 0^-\) (l'asse \(x\) è asintoto orizzontale destro).
  • \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (-3x^2 + 6x)e^{-x} = -\infty\).
• Punti stazionari: Calcoliamo la derivata prima: \[g'(x) = (-6x + 6)e^{-x} + (-3x^2 + 6x)(-e^{-x}) = (3x^2 - 12x + 6)e^{-x} =\] \[=3(x^2 - 4x + 2)e^{-x}\] Ponendo \(g'(x) = 0 \implies x^2 - 4x + 2 = 0\), le cui soluzioni sono: \[x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}\] Dall'analisi del segno della derivata ricaviamo che:
  • \(x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0.59\) è un punto di massimo relativo.
  • \(x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3.41\) è un punto di minimo relativo.

Rappresentiamo i grafici delle due funzioni nello stesso piano cartesiano:

Soluzione del punto c

1. Determinazione dell'intervallo \([0;\, \alpha]\)

Impostiamo la disequazione \(g(x) \ge f(x)\) sostituendo le espressioni analitiche delle due funzioni:

\[(-3x^2 + 6x)e^{-x} \ge (-x^2 + 3x)e^{-x}\]

Poiché il fattore esponenziale \(e^{-x}\) è strettamente positivo per qualsiasi valore reale di \(x\), possiamo dividere entrambi i membri per \(e^{-x}\) senza variare il verso della disequazione:

\[-3x^2 + 6x \ge -x^2 + 3x\] \[-2x^2 + 3x \ge 0 \implies x(2x - 3) \le 0\]

Risolvendo l'equazione associata si ottengono i punti di intersezione delle due curve:

\[x = 0 \qquad \text{e} \qquad x = \dfrac{3}{2}\]

La disequazione di secondo grado è soddisfatta per valori interni all'intervallo delle radici:

\[0 \le x \le \dfrac{3}{2}\]

Pertanto, confrontando questo risultato con l'espressione fornita dal testo \([0;\, \alpha]\), si deduce che il valore cercato è:

\[\alpha = \dfrac{3}{2}\]

L'intervallo di studio è quindi \(\left[0;\, \dfrac{3}{2}\right]\).

2. Calcolo dell'area della regione di piano

Rappresentiamo graficamente la regione di cui si chiede l'area:

Dato che nell'intervallo considerato risulta \(g(x) \ge f(x)\), l'area \(S\) della regione finita di piano racchiusa tra i due grafici è definita dall'integrale:

\[S = \int_{0}^{\frac{3}{2}} \left[ g(x) - f(x) \right] dx = \int_{0}^{\frac{3}{2}} (-2x^2 + 3x)e^{-x} \, dx\]

Troviamo l'integrale indefinito della funzione \(h(x) = (-2x^2 + 3x)e^{-x}\) applicando il metodo di integrazione per parti \(\left(\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx\right)\):

Primo passaggio per parti:
Poniamo \(u = -2x^2 + 3x \implies u' = -4x + 3\)
Poniamo \(v' = e^{-x} \implies v = -e^{-x}\)

\[\int (-2x^2 + 3x)e^{-x} \, dx = (-2x^2 + 3x)(-e^{-x}) - \int (-4x + 3)(-e^{-x}) \, dx\] \[= (2x^2 - 3x)e^{-x} - \int (4x - 3)e^{-x} \, dx\]

Secondo passaggio per parti sull'integrale rimasto \(\int (4x - 3)e^{-x} \, dx\):
Poniamo \(u = 4x - 3 \implies u' = 4\)
Poniamo \(v' = e^{-x} \implies v = -e^{-x}\)

\[\int (4x - 3)e^{-x} \, dx = (4x - 3)(-e^{-x}) - \int 4(-e^{-x}) \, dx =\] \[=(-4x + 3)e^{-x} + 4\int e^{-x} \, dx\] \[= (-4x + 3)e^{-x} - 4e^{-x} = (-4x - 1)e^{-x}\]

Unendo i risultati ottenuti, l'integrale indefinito complessivo (a meno della costante \(C\)) è:

\[\int (-2x^2 + 3x)e^{-x} \, dx = (2x^2 - 3x)e^{-x} - (-4x - 1)e^{-x} =\] \[=(2x^2 + x + 1)e^{-x}\]

Applicazione del teorema fondamentale del calcolo integrale:

\[S = \left[ (2x^2 + x + 1)e^{-x} \right]_{0}^{\frac{3}{2}}\]

Calcoliamo il valore nell'estremo superiore \(x = \dfrac{3}{2}\):

\[\left( 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} + 1 \right) e^{-\frac{3}{2}} =\] \[=\left( 2 \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2} + 1 \right) e^{-\frac{3}{2}} =\] \[=\left( \frac{9}{2} + \frac{3}{2} + 1 \right) e^{-\frac{3}{2}} = 7e^{-\frac{3}{2}}\]

Calcoliamo il valore nell'estremo inferiore \(x = 0\):

\[\left( 2(0)^2 + 0 + 1 \right) e^{0} = 1 \cdot 1 = 1\]

Sottraendo i due valori trovati, otteniamo la misura dell'area della superficie:

\[S = 7e^{-\frac{3}{2}} - 1 = \dfrac{7}{e^{\frac{3}{2}}} - 1 = \dfrac{7}{e\sqrt{e}} - 1 \approx 0.562\]

Soluzione del punto d

1. Definizione della funzione distanza

Nell'intervallo \(\left[0;\, \dfrac{3}{2}\right]\), come ricavato nel punto precedente, il grafico di \(g(x)\) si trova al di sopra o coincide con il grafico di \(f(x)\) (ovvero \(g(x) \ge f(x)\)).

Le coordinate dei punti di intersezione con la retta verticale \(x = k\) sono rispettivamente \(G(k;\, g(k))\) ed \(F(k;\, f(k))\). La lunghezza del segmento verticale \(GF\) è quindi definita dalla differenza tra le due ordinate:

\[d(k) = g(k) - f(k) = (-3k^2 + 6k)e^{-k} - (-k^2 + 3k)e^{-k} = (-2k^2 + 3k)e^{-k}\]

Dobbiamo massimizzare la funzione \(d(k)\) nell'intervallo chiuso e limitato \(k \in \left[0;\, \dfrac{3}{2}\right]\).

2. Studio della derivata prima e ricerca del massimo

Calcoliamo la derivata prima di \(d(k)\) rispetto a \(k\) applicando la regola del prodotto:

\[d'(k) = (-4k + 3)e^{-k} + (-2k^2 + 3k)(-e^{-k})\] \[d'(k) = (-4k + 3 + 2k^2 - 3k)e^{-k} = (2k^2 - 7k + 3)e^{-k}\]

Studiamo il segno della derivata prima ponendo \(d'(k) \ge 0\). Poiché \(e^{-k} > 0 \, \forall k\), il segno dipende esclusivamente dal trinomio di secondo grado:

\[2k^2 - 7k + 3 \ge 0\]

Troviamo le radici dell'equazione associata:

\[k = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \dfrac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \dfrac{7 \pm 5}{4} \implies k_1 = \dfrac{1}{2}, \quad k_2 = 3\]

Il trinomio è positivo per valori esterni alle radici, pertanto:

\[d'(k) \ge 0 \implies k \le \dfrac{1}{2} \quad \cup \quad k \ge 3\]

Limitando l'analisi all'intervallo d'interesse \(\left[0;\, \dfrac{3}{2}\right]\), si deduce che:

• La funzione cresce (\(d'(k) > 0\)) nell'intervallo \(\left[0;\, \dfrac{1}{2}\right)\);
• La funzione decresce (\(d'(k) < 0\)) nell'intervallo \(\left(\dfrac{1}{2};\, \dfrac{3}{2}\right]\).

Di conseguenza, il punto di massimo assoluto della distanza nell'intervallo considerato si ha per:

\[k = \dfrac{1}{2}\]

3. Calcolo della distanza massima

Sostituiamo il valore \(k = \dfrac{1}{2}\) all'interno dell'espressione della funzione distanza per calcolarne il valore massimo:

\[d\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left[ -2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\dfrac{1}{2}\right) \right] e^{-\frac{1}{2}} =\] \[=\left( -2 \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2} \right) e^{-\frac{1}{2}} = \left( -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \right) e^{-\frac{1}{2}}\] \[d\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1 \cdot e^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} = \dfrac{\sqrt{e}}{e} \approx 0.607\]