Simulazione 5 – Questionario – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del Quesito 1

Ipotesi del Teorema di Rolle

Le ipotesi sono: (1) \(f\) continua su \([-8,1]\), (2) \(f\) derivabile su \((-8,1)\), (3) \(f(-8) = f(1)\).

Condizione \(f(-8) = f(1)\)

Calcoliamo i valori agli estremi:

\[f(-8) = \sqrt{-(-8)+1} = \sqrt{9} = 3\] \[f(1) = a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + 1 = a + b + 1\]

Imponiamo \(f(-8) = f(1)\):

\[a + b + 1 = 3 \implies a + b = 2 \quad (1)\]

Condizione di continuità in \(x = 0\)

La funzione è continua su \([-8, 0)\) e su \([0, 1]\) per la natura delle espressioni analitiche. L'unico punto critico è \(x = 0\). Imponiamo la continuità:

\[\lim_{x \to 0^-} f(x) = \sqrt{-0+1} = \sqrt{1} = 1\] \[f(0) = a\cdot 0 + b\cdot 0 + 1 = 1\]

La continuità in \(x = 0\) è automaticamente garantita per qualsiasi \(a\) e \(b\). ✓

Condizione di derivabilità in \(x = 0\)

Per \(x < 0\): \(f'(x) = \dfrac{-1}{2\sqrt{-x+1}}\), quindi:

\[f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{2\sqrt{-x+1}} = \frac{-1}{2\sqrt{1}} = -\frac{1}{2}\]

Per \(x > 0\): \(f'(x) = 2ax + b\), quindi:

\[f'_+(0) = 2a\cdot 0 + b = b\]

Imponiamo la derivabilità \(f'_-(0) = f'_+(0)\):

\[b = -\frac{1}{2} \quad (2)\]

Determinazione di \(a\) e \(b\)

Dalla (2): \(b = -\dfrac{1}{2}\). Sostituendo nella (1):

\[a - \frac{1}{2} = 2 \implies a = \frac{5}{2}\]

Punti garantiti dal Teorema di Rolle

Tutte le ipotesi sono soddisfatte, quindi esiste almeno un \(c \in (-8, 1)\) tale che \(f'(c) = 0\).

Per \(x \in (-8, 0)\): \(f'(x) = \dfrac{-1}{2\sqrt{-x+1}} < 0\) sempre, quindi nessuna soluzione in questo intervallo.

Per \(x \in (0, 1)\): \(f'(x) = 5x - \dfrac{1}{2} = 0\):

\[5x = \frac{1}{2} \implies c = \frac{1}{10}\]

Calcoliamo l'ordinata corrispondente:

\[f\left(\frac{1}{10}\right) = \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{100} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{10} + 1 = \frac{39}{40}\]

Soluzione del Quesito 2

Soluzione Geometrica Sintetica (Senza Trigonometria)

Poniamo come variabile la lunghezza del segmento \(\overline{PC} = x\), con le limitazioni geometriche \(0 \le x \le 2r\).

Conduciamo da \(P\) la proiezione ortogonale \(H\) sul diametro \(AB\). Poiché la retta \(t\) e il segmento \(PH\) sono entrambi perpendicolari al diametro, il quadrilatero \(ACPH\) è un rettangolo. Di conseguenza, \(\overline{AH} = \overline{PC} = x\).

La restante parte del diametro risulta \(\overline{HB} = \overline{AB} - \overline{AH} = 2r - x\).

Il triangolo \(APB\) è rettangolo in \(P\) poiché inscritto in una semicirconferenza. Applicando il primo teorema di Euclide:

\[\overline{PB}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{HB} \implies \overline{PB}^2 = 2r \cdot (2r - x) \] \[\implies \overline{PB} = \sqrt{2r(2r - x)}\]

La funzione somma da massimizzare diventa: \(f(x) = \sqrt{2r(2r - x)} + x\).

Ricerca del Massimo

Per eliminare la radice poniamo \(h = \sqrt{2r(2r - x)}\), da cui si ricava \(x = 2r - \dfrac{h^2}{2r}\) con \(0 \le h \le 2r\). Sostituendo nella funzione si ottiene l'equazione di una parabola in \(h\):

\[y(h) = -\dfrac{1}{2r}h^2 + h + 2r\]

Trattandosi di una parabola con concavità rivolta verso il basso, il massimo assoluto si trova nel suo vertice:

\[h_V = -\dfrac{b}{2a} = r\]

Sostituendo all'indietro per ricavare la posizione \(x\):

\[x = 2r - \dfrac{r^2}{2r} = \dfrac{3}{2}r\]

Soluzione del Quesito 3

1. Dominio ed eventuali asintoti verticali

Il radicando soddisfa \(x^2 + 2x + 4 \ge 0\) per ogni valore reale (essendo \(\Delta = -12 < 0\) e il primo coefficiente positivo). Il dominio è \(D = \mathbb{R}\). Essendo la funzione continua su tutto l'asse reale, non vi sono asintoti verticali.

2. Ricerca degli asintoti a \(+\infty\)

\[\lim_{x \to +\infty} \left( x + \sqrt{x^2 + 2x + 4} \right) = +\infty\]

Non c'è un asintoto orizzontale destro. Cerchiamo un asintoto obliquo \(y = mx + q\):

\[m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}} \right) = 1 + 1 = 2\] \[q = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - 2x] = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x + 4} - x \right)\]

Razionalizzando la forma indeterminata \([+\infty - \infty]\):

\[q = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + 2x + 4) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x + 4} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 4}{x\left(\sqrt{1 + \dots} + 1\right)} =\] \[=\frac{2}{2} = 1\]

3. Ricerca degli asintoti a \(-\infty\)

Calcoliamo il limite razionalizzando direttamente l'indeterminazione \([-\infty + \infty]\):

\[\lim_{x \to -\infty} \left( x + \sqrt{x^2 + 2x + 4} \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 4}{\sqrt{x^2 + 2x + 4} - x}\]

Poiché \(x \to -\infty\), si estrae dalla radice \(\sqrt{x^2} = |x| = -x\):

\[= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 4}{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}} - x} = \frac{2}{-1 - 1} = -1\]

Soluzione del Quesito 4

1. Determinazione del raggio e dell'equazione della sfera

Il raggio \(R\) della sfera è pari alla distanza tra il centro \(C(1;\, 2;\, -1)\) e il piano \(\pi: x - 2y - 2z - 8 = 0\). Applichiamo la formula punto-piano:

\[R = \frac{|1\cdot(1) - 2\cdot(2) - 2\cdot(-1) - 8|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 4 + 2 - 8|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} =\] \[=\frac{|-9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3\]

L'equazione canonica della sfera con centro \(C\) e raggio \(R = 3\) è:

\[(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 3^2\]

Sviluppando i binomi otteniamo:

\[x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 2z + 1 = 9\]

2. Determinazione delle coordinate del punto di tangenza \(T\)

Il punto \(T\) è l'intersezione tra il piano ed una retta \(r\) passante per \(C\) e perpendicolare al piano stesso. Il vettore normale al piano è \(\vec{n} = (1;\, -2;\, -2)\), che funge da direzione per la retta \(r\):

\[\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - 2t \\ z = -1 - 2t \end{cases}\]

Sostituiamo le espressioni nell'equazione del piano per ricavare il valore del parametro \(t\):

\[(1 + t) - 2(2 - 2t) - 2(-1 - 2t) = 8 \implies 9t - 1 = 8 \] \[\implies 9t = 9 \implies t = 1\]

Sostituendo \(t = 1\) nelle equazioni parametriche della retta otteniamo le coordinate del punto cercato:

\[x = 1 + 1 = 2, \quad y = 2 - 2(1) = 0, \quad z = -1 - 2(1) = -3\]

Soluzione del Quesito 5

Analisi della struttura del microchip

Sia \(k\) il numero di canali difettosi. Usando la legge binomiale, calcoliamo la probabilità che il microchip sia perfetto (0 canali difettosi su 3):

\[P(E_0) = \binom{3}{0}(0.2)^0(0.8)^3 = 0.512\]

Di conseguenza, la probabilità che il chip sia difettoso (almeno un canale rotto) è:

\[P(E_D) = 1 - P(E_0) = 1 - 0.512 = 0.488\]

1. Probabilità che un microchip superi il test

Sia \(S\) l'evento "il microchip supera il test". Determiniamo le probabilità condizionate di superamento (complementari a quelle di scarto):

• Se è perfetto (\(E_0\)): viene scartato al \(5\%\), quindi supera il test con \(P(S|E_0) = 1 - 0.05 = 0.95\)
• Se è difettoso (\(E_D\)): viene scartato al \(90\%\), quindi supera il test con \(P(S|E_D) = 1 - 0.90 = 0.10\)

Applicando il Teorema della Probabilità Totale:

\[P(S) = P(E_0) \cdot P(S|E_0) + P(E_D) \cdot P(S|E_D) =\] \[=(0.512 \cdot 0.95) + (0.488 \cdot 0.10)\] \[P(S) = 0.4864 + 0.0488 = 0.5352\]

2. Probabilità che un chip approvato sia perfetto

Utilizziamo il Teorema di Bayes per valutare la probabilità condizionata \(P(E_0|S)\):

\[P(E_0|S) = \frac{P(E_0) \cdot P(S|E_0)}{P(S)} = \frac{0.512 \cdot 0.95}{0.5352} =\] \[=\frac{0.4864}{0.5352} \approx 0.9088\]

Soluzione del Quesito 6

1. Verifica della forma indeterminata

Per \(x \to 0\), l'intervallo di integrazione si annulla (\(\int_{0}^{0} \dots = 0\)). Poiché anche il denominatore si annulla, il limite presenta la forma indeterminata \(\left[\frac{0}{0}\right]\). Essendo verificate le ipotesi, applichiamo il Teorema di de l'Hôpital.

2. Derivata della funzione integrale (Teorema di Torricelli-Barrow composto)

Il numeratore è una funzione integrale con estremo superiore variabile \(g(x) = 2x\). La sua derivata è:

\[\frac{d}{dx} \left[ \int_{0}^{2x} \ln(1 + t^2) \, dt \right] = \ln\left(1 + (2x)^2\right) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2\ln(1 + 4x^2)\]

3. Calcolo del limite

Derivando il denominatore otteniamo \(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\). Riscriviamo il limite originario come rapporto delle derivate:

\[\lim_{x \to 0} \frac{2\ln(1 + 4x^2)}{3x^2} = \frac{2}{3} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x^2)}{x^2}\]

Sfruttando il limite notevole del logaritmo per cui per \(y \to 0\) si ha \(\ln(1+y) \sim y\), sostituendo \(y = 4x^2\) ricaviamo:

\[\frac{2}{3} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{4x^2}{x^2} = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}\]

Soluzione del Quesito 7

1. Studio sintetico del segno

Se \(0 \le x \le \sqrt{\pi}\), allora elevando al quadrato si ha \(0 \le x^2 \le \pi\). Poiché la funzione seno è non negativa in questo intervallo, la regione \(S\) si trova interamente nel primo quadrante e tocca l'asse delle ascisse nei punti estremi \(x=0\) e \(x=\sqrt{\pi}\).

2. Metodo di integrazione (Gusci Cilindrici)

Trattandosi di una rotazione attorno all'asse delle ordinate \(y\), l'inversione analitica della curva risulta svantaggiosa. Utilizziamo quindi il più efficace metodo dei gusci cilindrici:

\[V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \implies V = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \sin(x^2) \, dx\]

3. Calcolo dell'integrale

Risolviamo tramite sostituzione ponendo \(u = x^2\), da cui si ricava il differenziale \(du = 2x\,dx\). Cambiamo coerentemente gli estremi di integrazione (per \(x=0 \implies u=0\); per \(x=\sqrt{\pi} \implies u=\pi\)):

\[V = \pi \int_{0}^{\pi} \sin(u) \, du = \pi \Big[ -\cos(u) \Big]_{0}^{\pi}\] \[V = \pi \Big( -\cos(\pi) - (-\cos(0)) \Big) = \pi \Big( -(-1) + 1 \Big) = 2\pi\]

Soluzione del Quesito 8

1. Separazione delle variabili

L'equazione differenziale del primo ordine si può riscrivere raccogliendo i termini al secondo membro:

\[\frac{dy}{dt} = \frac{4y - y^2}{4} = \frac{y(4-y)}{4}\]

Separiamo le variabili integrando ambo i membri nell'intorno della condizione iniziale \(y(0)=2\):

\[\int \frac{4}{y(4-y)} \, dy = \int dt\]

2. Integrazione per frazioni semplici

Scomponiamo la frazione algebrica iniziale in frazioni semplici:

\[\frac{4}{y(4-y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{4-y} \implies \frac{4A + (B-A)y}{y(4-y)}\] \[\implies \begin{cases} A = 1 \\ B = 1 \end{cases}\]

Risolviamo l'integrale membro a membro:

\[\int \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{4-y} \right) dy = \int dt \implies \ln|y| - \ln|4-y| = \] \[=t + C \implies \ln\left| \frac{y}{4-y} \right| = t + C\]

3. Condizione iniziale ed esplicitazione di \(y(t)\)

Sostituiamo i dati iniziali \(t = 0\) e \(y = 2\) per calcolare il valore della costante reale \(C\):

\[\ln\left| \frac{2}{4-2} \right| = 0 + C \implies \ln(1) = C \implies C = 0\]

Togliendo il valore assoluto (valido localmente nell'intorno positivo del punto) ed applicando l'esponenziale ricaviamo:

\[\frac{y}{4-y} = e^t \implies y = 4e^t - ye^t \implies y(1 + e^t) = 4e^t\]

Dividendo numeratore e denominatore per l'infinito di ordine superiore \(e^t\) otteniamo la classica espressione sigmoidea logistica:

\[y(t) = \frac{4e^t}{1 + e^t} = \frac{4}{1 + e^{-t}}\]

4. Calcolo del valore limite

Calcoliamo l'andamento asintotico sul lungo periodo per \(t \to +\infty\):

\[\lim_{t \to +\infty} y(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{4}{1 + e^{-t}} = \frac{4}{1 + 0} = 4\]