Simulazione 5 - Questionario - Esame di Stato 2026

Soluzione del Quesito 1

Ipotesi del Teorema di Rolle

Le ipotesi sono: (1) \(f\) continua su \([-8,1]\), (2) \(f\) derivabile su \((-8,1)\), (3) \(f(-8) = f(1)\).

Condizione \(f(-8) = f(1)\)

Calcoliamo i valori agli estremi:

\[f(-8) = \sqrt{-(-8)+1} = \sqrt{9} = 3\] \[f(1) = a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + 1 = a + b + 1\]

Imponiamo \(f(-8) = f(1)\):

\[a + b + 1 = 3 \implies a + b = 2 \quad (1)\]

Condizione di continuità in \(x = 0\)

La funzione è continua su \([-8, 0)\) e su \([0, 1]\) per la natura delle espressioni analitiche. L'unico punto critico è \(x = 0\). Imponiamo la continuità:

\[\lim_{x \to 0^-} f(x) = \sqrt{-0+1} = \sqrt{1} = 1\] \[f(0) = a\cdot 0 + b\cdot 0 + 1 = 1\]

La continuità in \(x = 0\) è automaticamente garantita per qualsiasi \(a\) e \(b\). ✓

Condizione di derivabilità in \(x = 0\)

Per \(x < 0\): \(f'(x) = \dfrac{-1}{2\sqrt{-x+1}}\), quindi:

\[f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{2\sqrt{-x+1}} = \frac{-1}{2\sqrt{1}} = -\frac{1}{2}\]

Per \(x > 0\): \(f'(x) = 2ax + b\), quindi:

\[f'_+(0) = 2a\cdot 0 + b = b\]

Imponiamo la derivabilità \(f'_-(0) = f'_+(0)\):

\[b = -\frac{1}{2} \quad (2)\]

Determinazione di \(a\) e \(b\)

Dalla (2): \(b = -\dfrac{1}{2}\). Sostituendo nella (1):

\[a - \frac{1}{2} = 2 \implies \boxed{a = \frac{5}{2}} \qquad \boxed{b = -\frac{1}{2}}\]

La funzione diventa:

\[f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x+1} & -8 \le x < 0 \\ \dfrac{5}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}x + 1 & 0 \le x \le 1 \end{cases}\]

Punti garantiti dal Teorema di Rolle

Tutte le ipotesi sono soddisfatte, quindi esiste almeno un \(c \in (-8, 1)\) tale che \(f'(c) = 0\).

Per \(x \in (-8, 0)\): \(f'(x) = \dfrac{-1}{2\sqrt{-x+1}} < 0\) sempre, quindi nessuna soluzione in questo intervallo.

Per \(x \in (0, 1)\): \(f'(x) = 5x - \dfrac{1}{2} = 0\):

\[5x = \frac{1}{2} \implies \boxed{c = \frac{1}{10}}\]

Il punto garantito dal teorema è \(\left(\dfrac{1}{10},\; f\!\left(\dfrac{1}{10}\right)\right)\), con:

\[f\!\left(\frac{1}{10}\right) = \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{100} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{10} + 1 = \frac{1}{40} - \frac{1}{20} + 1 = \frac{1}{40} - \frac{2}{40} + \frac{40}{40} = \frac{39}{40}\]

Il punto è \(\left(\dfrac{1}{10};\, \dfrac{39}{40}\right)\).

Soluzione del Quesito 2

Soluzione Geometrica Sintetica (Senza Trigonometria)

Possiamo risolvere il problema in modo puramente geometrico senza ricorrere alla trigonometria o alle derivate, utilizzando esclusivamente le proprietà della circonferenza e i teoremi di Euclide.

Poniamo come variabile la lunghezza del segmento \(\overline{PC} = x\). Poiché il punto \(P\) si muove sulla semicirconferenza di diametro \(\overline{AB} = 2r\), la sua proiezione \(C\) sulla tangente varierà tra il punto \(A\) (quando \(P \equiv A\)) e la sua massima distanza pari al diametro (quando \(P \equiv B\)). Pertanto, le limitazioni geometriche per la variabile sono \(0 \le x \le 2r\).

Conduciamo da \(P\) la proiezione ortogonale \(H\) sul diametro \(AB\). Poiché la retta \(t\) e il segmento \(PH\) sono entrambi perpendicolari alla retta del diametro \(AB\), il quadrilatero \(ACPH\) è un rettangolo. Di conseguenza, i segmenti opposti sono congruenti:

\[\overline{AH} = \overline{PC} = x\]

Possiamo ora determinare la lunghezza della restante parte del diametro, ovvero la proiezione \(\overline{HB}\):

\[\overline{HB} = \overline{AB} - \overline{AH} = 2r - x\]

Il triangolo \(APB\) è rettangolo in \(P\) poiché è inscritto in una semicirconferenza. Applicando il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo \(APB\), il cateto \(\overline{PB}\) è medio proporzionale tra l'ipotenusa \(\overline{AB}\) e la sua proiezione sul diametro \(\overline{HB}\):

\[\overline{AB} : \overline{PB} = \overline{PB} : \overline{HB} \implies \overline{PB}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{HB}\]

Sostituendo le relazioni trovate otteniamo:

\[\overline{PB}^2 = 2r \cdot (2r - x) \implies \overline{PB} = \sqrt{2r(2r - x)}\]

La funzione somma \(\overline{PB} + \overline{PC}\) da massimizzare in funzione di \(x\) diventa:

\[f(x) = \sqrt{2r(2r - x)} + x \quad \text{con } x \in [0; \, 2r]\]

Per trovare il valore massimo, effettuiamo una comoda sostituzione di variabile per eliminare la radice quadrata. Poniamo:

\[h = \sqrt{2r(2r - x)} \implies h^2 = 2r(2r - x) = 4r^2 - 2rx\]

Ricaviamo la variabile \(x\) in funzione di \(h\):

\[2rx = 4r^2 - h^2 \implies x = \dfrac{4r^2 - h^2}{2r} = 2r - \dfrac{h^2}{2r}\]

Valutiamo i nuovi limiti della variabile \(h\): quando \(x = 0 \implies h = 2r\), e quando \(x = 2r \implies h = 0\). Dunque \(0 \le h \le 2r\).
Sostituendo nella funzione otteniamo l'espressione di una parabola in \(h\):

\[y(h) = h + 2r - \dfrac{h^2}{2r} = -\dfrac{1}{2r}h^2 + h + 2r\]

Trattandosi di una parabola con concavità rivolta verso il basso, il punto di massimo assoluto corrisponde al suo vertice:

\[h_V = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{1}{2\left(-\frac{1}{2r}\right)} = \dfrac{1}{\frac{1}{r}} = r\]

Il valore \(h = r\) è perfettamente accettabile poiché interno all'intervallo \([0; \, 2r]\). Sostituendo nuovamente all'indietro per ricavare la posizione \(x\) del punto \(P\), otteniamo:

\[x = 2r - \dfrac{r^2}{2r} = 2r - \dfrac{1}{2}r = \dfrac{3}{2}r\]

Soluzione del Quesito 3

1. Dominio della funzione ed eventuali asintoti verticali

La funzione è definita laddove il radicando dell'indice pari è non negativo:

\[x^2 + 2x + 4 \ge 0\]

Il discriminante dell'equazione associata è \(\Delta = 4 - 16 = -12 < 0\). Poiché il primo coefficiente è positivo, il trinomio è strettamente positivo per ogni valore reale. Il dominio della funzione è quindi:

\[D = \mathbb{R} = (-\infty; \, +\infty)\]

Essendo la funzione continua su tutto l'asse reale e priva di punti di discontinuità illimitata (punti di frontiera finiti), non vi sono asintoti verticali.

2. Ricerca degli asintoti a \(+\infty\)

Calcoliamo il limite per \(x \to +\infty\) per verificare la presenza di un asintoto orizzontale:

\[\lim_{x \to +\infty} \left( x + \sqrt{x^2 + 2x + 4} \right) = +\infty + \infty = +\infty\]

Poiché il limite è infinito, non c'è un asintoto orizzontale destro. Verifichiamo la presenza di un asintoto obliquo \(y = mx + q\):

Calcolo del coefficiente angolare \(m\):

\[ \begin{aligned} m &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sqrt{x^2\left(1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}\right)}}{x} = \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x + x\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}} \right) = 1 + 1 = 2 \end{aligned} \]

Calcolo del termine noto \(q\):

\[ \begin{aligned} q &= \lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to +\infty} \left( x + \sqrt{x^2 + 2x + 4} - 2x \right) = \\ &= \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x + 4} - x \right) \end{aligned} \]

Siamo in presenza di una forma indeterminata \([+\infty - \infty]\). Razionalizziamo l'espressione:

\[ \begin{aligned} q &= \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2 + 2x + 4} - x\right)\left(\sqrt{x^2 + 2x + 4} + x\right)}{\sqrt{x^2 + 2x + 4} + x} = \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + 2x + 4) - x^2}{x\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}} + x} = \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 4}{x\left(\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}} + 1\right)} \end{aligned} \]

Raccogliendo ed eliminando i termini infinitesimi si ottiene:

\[q = \frac{2}{1 + 1} = 1\]

Pertanto, per \(x \to +\infty\) la funzione ammette un asintoto obliquo destro di equazione:

\[y = 2x + 1\]

3. Ricerca degli asintoti a \(-\infty\)

Calcoliamo il limite per \(x \to -\infty\):

\[\lim_{x \to -\infty} \left( x + \sqrt{x^2 + 2x + 4} \right) \quad [-\infty + \infty]\]

Razionalizziamo l'espressione per risolvere l'indeterminazione:

\[\lim_{x \to -\infty} \frac{\left(\sqrt{x^2 + 2x + 4} + x\right)\left(\sqrt{x^2 + 2x + 4} - x\right)}{\sqrt{x^2 + 2x + 4} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 + 2x + 4) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x + 4} - x}\] \[= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 4}{|x|\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}} - x}\]

Poiché \(x \to -\infty\), si ha \(\sqrt{x^2} = |x| = -x\):

\[= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 4}{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}} - x} =\] \[=\lim_{x \to -\infty} \frac{x\left(2 + \frac{4}{x}\right)}{-x\left(\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}} + 1\right)} = \frac{2}{-1 - 1} = -1\]

Essendo il valore del limite finito, la funzione ammette un asintoto orizzontale sinistro di equazione:

\[y = -1\]

Anche se non richiesto indichiamo il grafico della funzione con gli asintoti:

Soluzione del Quesito 4

1. Determinazione del raggio e dell'equazione della sfera

Una sfera tangente a un piano ha la proprietà per cui la distanza tra il suo centro \(C\) e il piano stesso è esattamente uguale al raggio \(R\) della sfera. Per calcolare il raggio, applichiamo la formula della distanza punto-piano tra il centro \(C(1;\, 2;\, -1)\) e il piano \(\pi: x - 2y - 2z - 8 = 0\):

\[R = \frac{|a\cdot x_C + b\cdot y_C + c\cdot z_C + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\] \[R = \frac{|1\cdot(1) - 2\cdot(2) - 2\cdot(-1) - 8|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 4 + 2 - 8|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3\]

Conosciuti il centro \(C(1;\, 2;\, -1)\) e il raggio \(R = 3\), l'equazione canonica della sfera è data da:

\[(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 + (z - z_C)^2 = R^2\] \[(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 3^2\]

Sviluppando i quadrati dei binomi otteniamo:

\[x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 2z + 1 = 9\] \[x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0\]

2. Determinazione delle coordinate del punto di tangenza \(T\)

Il punto di tangenza \(T\) è il punto di intersezione tra il piano \(\pi\) e la retta \(r\) passante per il centro \(C\) e perpendicolare al piano stesso. I coefficienti delle variabili nell'equazione del piano \(\pi\) rappresentano le componenti del vettore normale \(\vec{n} = (1;\, -2;\, -2)\), che fa da vettore direttore per la retta \(r\).

Scriviamo le equazioni parametriche della retta \(r\) passante per \(C(1;\, 2;\, -1)\):

\[\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - 2t \\ z = -1 - 2t \end{cases}\]

Per trovare il punto \(T\), sostituiamo le coordinate parametriche della retta nell'equazione del piano \(\pi: x - 2y - 2z = 8\):

\[(1 + t) - 2(2 - 2t) - 2(-1 - 2t) = 8\] \[1 + t - 4 + 4t + 2 + 4t = 8\] \[9t - 1 = 8 \implies 9t = 9 \implies t = 1\]

Sostituendo il valore del parametro \(t = 1\) nelle equazioni parametriche della retta \(r\), determiniamo le coordinate del punto di tangenza \(T\):

\[\begin{cases} x = 1 + 1 = 2 \\ y = 2 - 2(1) = 0 \\ z = -1 - 2(1) = -3 \end{cases} \implies T(2;\, 0;\, -3)\]

Soluzione del Quesito 5

Analisi preliminare: la struttura del microchip

Sia \(k\) il numero di canali difettosi in un microchip appena prodotto. Poiché i \(3\) canali sono indipendenti e ognuno ha probabilità di difetto \(p = 0.2\) (e quindi di funzionamento \(q = 1 - 0.2 = 0.8\)), la probabilità che il microchip sia perfetto, ossia con \(0\) canali difettosi (\(k=0\)), segue la legge binomiale:

\[P(k=0) = \binom{3}{0}(0.2)^0(0.8)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.512 = 0.512\]

Definiamo quindi i due eventi fondamentali legati alla produzione:

• \(E_0\): "il chip è perfetto (ha \(0\) canali difettosi)" \(\implies P(E_0) = 0.512\)
• \(E_D\): "il chip è difettoso (ha almeno un canale difettoso)" \(\implies P(E_D) = 1 - P(E_0) = 1 - 0.512 = 0.488\)

1. Probabilità che un microchip superi il test

Definiamo l'evento \(S\): "il microchip supera il test". Poiché il testo indica le probabilità di essere scartato, calcoliamo le probabilità condizionate di superamento (eventi complementari):

• Se il chip è perfetto (\(E_0\)): viene scartato al \(5\%\), quindi supera il test con \(P(S|E_0) = 1 - 0.05 = 0.95\)
• Se il chip è difettoso (\(E_D\)): viene scartato al \(90\%\), quindi supera il test con \(P(S|E_D) = 1 - 0.90 = 0.10\)

Applicando il Teorema della Probabilità Totale, otteniamo la probabilità complessiva di approvazione:

\[ \begin{aligned} P(S) &= P(E_0) \cdot P(S|E_0) + P(E_D) \cdot P(S|E_D) = \\ &= (0.512 \cdot 0.95) + (0.488 \cdot 0.10) = 0.4864 + 0.0488 = 0.5352 \end{aligned} \]

La probabilità che un microchip generico superi il test diagnostico è del \(53.52\%\).

2. Probabilità che un chip approvato sia perfetto

Dobbiamo calcolare la probabilità condizionata \(P(E_0|S)\), ossia la probabilità che il chip sia privo di difetti sapendo che ha superato il controllo. Utilizziamo il Teorema di Bayes:

\[ \begin{aligned} P(E_0|S) &= \frac{P(E_0) \cdot P(S|E_0)}{P(S)} = \\ &= \frac{0.512 \cdot 0.95}{0.5352} = \frac{0.4864}{0.5352} \approx 0.9088 \end{aligned} \]

Se un microchip supera il test, vi è una probabilità del \(90.88\%\) che sia effettivamente perfetto.

Soluzione del Quesito 6

1. Verifica della forma indeterminata

Per \(x \to 0\), l'estremo superiore dell'integrale tende a \(0\) (\(2x \to 0\)). L'integrale definito calcolato in un intervallo di ampiezza nulla vale zero:

\[\int_{0}^{0} \ln(1 + t^2) \, dt = 0\]

Poiché anche il denominatore \(x^3\) tende a \(0\) per \(x \to 0\), ci troviamo di fronte alla forma indeterminata:

\[\left[ \frac{0}{0} \right]\]

Le condizioni di applicabilità del Teorema di de l'Hôpital sono verificate. Procediamo quindi derivando separatamente il numeratore e il denominatore.

2. Focus: La derivata della funzione integrale (Teorema di Torricelli-Barrow composto)

Il numeratore è una funzione integrale del tipo \(F(x) = \int_{a}^{g(x)} f(t) \, dt\), dove l'estremo superiore è la funzione \(g(x) = 2x\).

Per la regola di derivazione delle funzioni composte combinata con il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, abbiamo:

\[\frac{d}{dx} \left[ \int_{a}^{g(x)} f(t) \, dt \right] = f(g(x)) \cdot g'(x)\]

Applicando la formula al nostro caso specifico, otteniamo:

\[ \begin{aligned} \frac{d}{dx} \left[ \int_{0}^{2x} \ln(1 + t^2) \, dt \right] &= \ln\left(1 + (2x)^2\right) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \\ &= \ln(1 + 4x^2) \cdot 2 = 2\ln(1 + 4x^2) \end{aligned} \]

3. Calcolo del limite

Calcoliamo ora la derivata del denominatore: \(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\).

Applicando il Teorema di de l'Hôpital, il limite si riconduce al rapporto tra le due derivate:

\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{2x} \ln(1 + t^2) \, dt}{x^3} &\stackrel{\text{H}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{2\ln(1 + 4x^2)}{3x^2} = \\ &= \frac{2}{3} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 4x^2)}{x^2} \end{aligned} \]

Ricorrendo al limite notevole del logaritmo, per il quale per \(y \to 0\) si ha \(\ln(1 + y) \sim y\), poniamo \(y = 4x^2\) ottenendo:

\[\frac{2}{3} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{4x^2}{x^2} = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}\]

Soluzione del Quesito 7

1. Studio sintetico del segno

Per identificarore correttamente la regione di integrazione, valutiamo il segno della funzione nell'intervallo \([0; \, \sqrt{\pi}]\):

• Se \(0 \le x \le \sqrt{\pi}\), allora elevando al quadrato si ha \(0 \le x^2 \le \pi\).
• La funzione seno, \(\sin(t)\), è non negativa quando il suo argomento \(t\) appartiene all'intervallo \([0; \, \pi]\).
• Di conseguenza, \(f(x) = \sin(x^2) \ge 0\) per ogni \(x \in [0; \, \sqrt{\pi}]\).

La funzione si annulla agli estremi dell'intervallo: \(f(0) = \sin(0) = 0\) e \(f(\sqrt{\pi}) = \sin(\pi) = 0\), confermando che la regione \(S\) è interamente situata nel primo quadrante.

2. Analisi della rotazione e scelta del metodo

Dovendo ruotare attorno all'asse \(y\), l'uso del metodo dei dischi richiederebbe di invertire la funzione (\(x = \sqrt{\arcsin y}\)), operazione problematica poiché la funzione non è iniettiva sull'intero intervallo. Risulta quindi molto più efficiente utilizzare il metodo dei gusci cilindrici (integrazione per "sfoglie" verticali), che permette di integrare direttamente rispetto a \(x\):

\[V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx\]

3. Calcolo del volume

Impostiamo l'integrale definito con i limiti indicati:

\[V = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \sin(x^2) \, dx\]

Risolviamo per sostituzione ponendo \(u = x^2 \implies du = 2x \, dx\). Sfruttando la costante \(2\) e la variabile \(x\) già presenti all'interno dell'integrale, e modificando gli estremi di integrazione (per \(x=0 \implies u=0\) e per \(x=\sqrt{\pi} \implies u=\pi\)), l'espressione diventa:

\[V = \pi \int_{0}^{\pi} \sin(u) \, du\]

Calcoliamo l'integrale della funzione seno spezzando i passaggi su due righe per evitare problemi di visualizzazione mobile:

\[ \begin{aligned} V &= \pi \Big[ -\cos(u) \Big]_{0}^{\pi} = \\ &= \pi \Big( -\cos(\pi) - (-\cos(0)) \Big) = \pi \Big( -(-1) + 1 \Big) = 2\pi \end{aligned} \]

Soluzione del Quesito 8

1. Riconoscimento del modello matematico

L'equazione proposta \((y' = y - \frac{1}{4}y^2)\) è un'equazione differenziale del primo ordine non lineare. Possiamo riscriverla esplicitando la derivata rispetto al tempo mediante la notazione di Leibniz \((y' = \frac{dy}{dt})\) e raccogliendo a fattor comune al secondo membro:

\[\frac{dy}{dt} = \frac{4y - y^2}{4} = \frac{y(4-y)}{4}\]

Si tratta di un'equazione differenziale a variabili separabili. Poiché la condizione iniziale è \(y(0) = 2\), cerchiamo una soluzione nell'intorno di questo punto, dove il termine \(y(4-y)\) è diverso da zero. Separiamo le variabili portando i termini in \(y\) a sinistra e quelli in \(t\) a destra:

\[\frac{4}{y(4-y)} \, dy = dt\]

2. Integrazione per frazioni parziali

Procediamo integrando entrambi i membri:

\[\int \frac{4}{y(4-y)} \, dy = \int dt\]

Per risolvere l'integrale a sinistra, decomponiamo la frazione algebrica in fratti semplici mediante il metodo dei coefficienti indeterminati:

\[\frac{4}{y(4-y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{4-y} = \frac{A(4-y) + By}{y(4-y)} = \frac{4A + (B-A)y}{y(4-y)}\]

Uguagliando i numeratori si ottiene il sistema:

\[\begin{cases} 4A = 4 \implies A = 1 \\ B - A = 0 \implies B = A = 1 \end{cases}\]

L'integrale diventa quindi:

\[\int \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{4-y} \right) dy = \int dt\] \[\ln|y| - \ln|4-y| = t + C\]

Applicando le proprietà dei logaritmi, possiamo compattare il primo membro:

\[\ln\left| \frac{y}{4-y} \right| = t + C\]

3. Determinazione della costante \(C\) ed esplicitazione di \(y(t)\)

Applichiamo la condizione iniziale \(y(0) = 2\) per trovare il valore della costante d'integrazione \(C\):

\[\ln\left| \frac{2}{4-2} \right| = 0 + C \implies \ln(1) = C \implies C = 0\]

L'equazione si riduce quindi a \(\ln\left| \frac{y}{4-y} \right| = t\). Passando all'esponenziale di entrambi i membri, otteniamo:

\[\left| \frac{y}{4-y} \right| = e^t\]

Poiché nell'intorno della condizione iniziale il rapporto è strettamente positivo (\(\frac{2}{4-2} = 1\)), per il teorema di esistenza e unicità della soluzione possiamo sciogliere il valore assoluto mantenendo il segno positivo:

\[\frac{y}{4-y} = e^t\]

Isoliamo ora la variabile \(y\) per ricavare la legge oraria della popolazione, spezzando i passaggi algebrici su due righe per preservare l'impaginazione mobile:

\[ \begin{aligned} y = e^t(4 - y) &\implies y = 4e^t - ye^t \implies y + ye^t = 4e^t \implies \\ &\implies y(1 + e^t) = 4e^t \implies y(t) = \frac{4e^t}{1 + e^t} \end{aligned} \]

Dividendo numeratore e denominatore per \(e^t\), la funzione può essere espressa nella sua classica forma sigmoidea equivalente:

\[y(t) = \frac{4}{1 + e^{-t}}\]

4. Calcolo del valore limite della popolazione

Per determineare l'andamento della colonia sul lungo periodo, calcoliamo il limite della funzione per \(t \to +\infty\):

\[\lim_{t \to +\infty} y(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{4}{1 + e^{-t}} = \frac{4}{1 + 0} = 4\]

Ricordando che \(y\) è espressa in migliaia, il limite della popolazione è pari a \(4\) mila individui (ovvero \(4000\) batteri). Questo valore rappresenta la capacità portante (o di saturazione) dell'ambiente biologico considerato.