Simulazione 6 – Problema 2 – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del punto 1

L'angolo \(x\) ha la limitazione geometrica: \(0 \le x \le \pi\).

Calcolo delle corde

L'angolo alla circonferenza \(\widehat{ADB}\) corrispondente all'angolo al centro \(\widehat{AOB}\) misura \(\dfrac{x}{2}\). Applicando il teorema della corda (corda = diametro × seno dell'angolo alla circonferenza):

\[\overline{AB} = \overline{BC} = 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\]

Poiché \(\widehat{AOC} = 2x\), la corda \(\overline{CA}\) vale:

\[\overline{CA} = 2\sin x\]

Somma dei quadrati

\[ \begin{aligned} \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2 &= 4\sin^2\!\!\left(\frac{x}{2}\right) + 4\sin^2\!\!\left(\frac{x}{2}\right) + 4\sin^2 x = \\[6pt] &= 8\sin^2\!\!\left(\frac{x}{2}\right) + 4(1 - \cos^2 x) \end{aligned} \]

Usando la formula di bisezione \(2\sin^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \cos x\), cioè \(8\sin^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right) = 4(1 - \cos x)\):

\[ \begin{aligned} &= 4(1 - \cos x) + 4 - 4\cos^2 x = \\[6pt] &= -4\cos^2 x - 4\cos x + 8 = f(x) \end{aligned} \] ↑ Nascondi soluzione

Soluzione del punto 2

Dominio

L'intervallo di studio è \([0;\, 2\pi]\). La funzione è continua su tutto l'intervallo.

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Intersezioni con gli assi

Per \(x = 0\): \(f(0) = -4(1) - 4(1) + 8 = 0\), quindi il grafico passa per l'origine \((0;\,0)\).

Per \(y = 0\): l'equazione \(-4\cos^2 x - 4\cos x + 8 = 0\) si semplifica in \(\cos^2 x + \cos x - 2 = 0\). Le soluzioni sono \(\cos x = 1\) (accettabile) e \(\cos x = -2\) (non accettabile). Quindi gli zeri sono \(x = 0\) e \(x = 2\pi\).

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Segno

La funzione è strettamente positiva per ogni \(x \in (0;\, 2\pi)\) e vale zero agli estremi.

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Derivata prima e monotonia

\[f'(x) = 8\sin x\cos x + 4\sin x = 4\sin x(2\cos x + 1)\]

Studiamo il segno:

• \(\sin x \ge 0\) per \(0 \le x \le \pi\)
• \(2\cos x + 1 \ge 0 \implies \cos x \ge -\dfrac{1}{2}\) per \(0 \le x \le \dfrac{2\pi}{3}\) oppure \(\dfrac{4\pi}{3} \le x \le 2\pi\)

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Derivata seconda e flessi

\[ \begin{aligned} f''(x) &= 4[2\cos^2 x + \cos x - 2\sin^2 x] = \\[6pt] &= 4[2\cos^2 x + \cos x - 2(1-\cos^2 x)] = \\[6pt] &= 4(4\cos^2 x + \cos x - 2) \end{aligned} \]

Poniamo \(t = \cos x\) e risolviamo \(4t^2 + t - 2 = 0\):

\[t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8} \implies t_1 \approx -0{,}843, \quad t_2 \approx 0{,}593\]

La derivata seconda è positiva (concavità verso l'alto) per \(\cos x \le -0{,}843\) oppure \(\cos x \ge 0{,}593\), negativa altrove. I quattro punti di flesso hanno ascisse approssimate:

\[F_1 \approx 0{,}94\,, \quad F_2 \approx 2{,}57\,, \quad F_3 \approx 3{,}71\,, \quad F_4 \approx 5{,}34\]

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Grafico

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Soluzione del punto 3

La simmetria rispetto alla retta verticale \(x = \pi\) si verifica sostituendo \(x\) con \(2\pi - x\) nella funzione e controllando che si ottenga lo stesso valore:

\[ \begin{aligned} f(2\pi - x) &= -4\cos^2(2\pi - x) - 4\cos(2\pi - x) + 8 \end{aligned} \]

Usando la proprietà degli archi esplementari \(\cos(2\pi - x) = \cos x\):

\[= -4\cos^2 x - 4\cos x + 8 = f(x)\] ↑ Nascondi soluzione

Soluzione del punto 4

Il valore medio di una funzione continua su \([a;\,b]\) è definito da:

\[V_m = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x)\,dx\]

Nel nostro caso \(a = 0\), \(b = 2\pi\):

\[V_m = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \left(-4\cos^2 x - 4\cos x + 8\right) dx\]

Calcolo dell'integrale

Linearizziamo \(\cos^2 x\) usando la formula \(\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}\):

\[ \begin{aligned} &\int_0^{2\pi}\!\!\left(-4\cos^2 x - 4\cos x + 8\right)dx = \\[6pt] &= \int_0^{2\pi}\!\!\left(-2 - 2\cos(2x) - 4\cos x + 8\right)dx = \\[6pt] &= \int_0^{2\pi}\!\!\left(-2\cos(2x) - 4\cos x + 6\right)dx = \\[6pt] &= \Big[-\sin(2x) - 4\sin x + 6x\Big]_0^{2\pi} \end{aligned} \]

Applichiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale:

\[ \begin{aligned} &= \left(-\sin(4\pi) - 4\sin(2\pi) + 12\pi\right) - \left(-\sin 0 - 4\sin 0 + 0\right) = \\[6pt] &= (0 - 0 + 12\pi) - 0 = 12\pi \end{aligned} \]

Valore medio

\[V_m = \frac{1}{2\pi} \cdot 12\pi = 6\] ↑ Nascondi soluzione