Simulazione 6 - Problema 2 - Esame di Stato 2026

Soluzione del punto 1

L'angolo \(x\) ha le seguenti limitazioni geometriche: \(0 \le x \le \pi\).

Notiamo che l'angolo \(\widehat{ADB}\), angolo alla circonferenza corrispondente all'angolo al centro \(\widehat{AOB}\), misura \(\frac{x}{2}\). Si ha pertanto, applicando il teorema della corda:

\[\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{BD} \cdot \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 2 \cdot \sin\left(\frac{x}{2}\right)\]

L'angolo alla circonferenza \(\widehat{ADC}\) vale \(2\dfrac{x}{2} = x\). Applicando il teorema della corda:

\[\overline{CA} = 2\sin(\widehat{ADC}) = 2\sin x\]

Elevando al quadrato e sommando i contributi delle tre corde otteniamo:

\[\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2 = 4\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + 4\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + 4\sin^2 x =\] \[=8\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + 4(1 - \cos^2 x)\]

Sfruttando le formule di bisezione per cui \(2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = 1 - \cos x\), riscriviamo il termine iniziale come \(4(1 - \cos x)\):

\[= 4(1 - \cos x) + 4 - 4\cos^2 x = -4\cos^2 x - 4\cos x + 8 = f(x)\]

Soluzione del punto 2

\[y = f(x) = -4\cos^2 x - 4\cos x + 8\]

Dominio

L'intervallo di studio fornito è \(0 \le x \le 2\pi\).

Simmetrie notevoli

Visto l'intervallo di definizione limitato, esaminiamo direttamente l'andamento specifico della funzione.

Intersezioni con gli assi cartesiani

Se \(x = 0 \implies y = -4(1)^2 - 4(1) + 8 = 0 \implies (0;0)\).

Se \(y = 0 \implies -4\cos^2 x - 4\cos x + 8 = 0 \implies \cos^2 x + \cos x - 2 = 0\).
Le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata sono \(\cos x = 1\) e \(\cos x = -2\) (non accettabile).
Pertanto \(\cos x = 1 \implies x = 0\) e \(x = 2\pi\).

Segno della funzione

\(y > 0 \implies \cos^2 x + \cos x - 2 < 0 \implies -2 < \cos x < 1\).
La disequazione è sempre verificata nell'intervallo aperto ad esclusione dei punti in cui vale l'uguaglianza, quindi la funzione è sempre strettamente positiva all'interno dell'intervallo: \(y > 0\) per ogni \(x \in (0, 2\pi)\).

Limiti

La funzione è definita e continua in un intervallo chiuso e limitato, pertanto non presenta asintoti.

Derivata prima

\[f'(x) = -4 \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) - 4(-\sin x) = 8\sin x\cos x + 4\sin x =\] \[=4\sin x(2\cos x + 1)\]

Studiamo il segno ponendo \(f'(x) \ge 0\):

• \(\sin x \ge 0 \implies 0 \le x \le \pi\)
• \(2\cos x + 1 \ge 0 \implies \cos x \ge -\frac{1}{2} \implies 0 \le x \le \frac{2}{3}\pi \quad \lor \quad \frac{4}{3}\pi \le x \le 2\pi\)

Dallo studio dei segni si ricavano le coordinate dei punti stazionari:

• Massimo relativo (e assoluto) per \(x = \frac{2}{3}\pi\) e \(x = \frac{4}{3}\pi\), il cui valore è \(f(\frac{2}{3}\pi) = f(\frac{4}{3}\pi) = 9\).
• Minimo relativo per \(x = \pi\), il cui valore è \(f(\pi) = 8\).
• Minimi assoluti agli estremi per \(x = 0\) e \(x = 2\pi\), dove la funzione assume valore \(0\).

Derivata seconda

\[f''(x) = D[4\sin x(2\cos x + 1)] = 4 \cdot D[\sin x(2\cos x + 1)]\] \[= 4 \cdot [\cos x(2\cos x + 1) + \sin x \cdot (-2\sin x)] = 4 \cdot [2\cos^2 x + \cos x - 2\sin^2 x]\]

Sostituendo l'identità goniometrica fondamentale \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) ricaviamo un'espressione espressa unicamente in funzione del coseno:

\[= 4 \cdot [2\cos^2 x + \cos x - 2(1 - \cos^2 x)] = 4(4\cos^2 x + \cos x - 2)\]

Per determinare la concavità del grafico e individuare i punti di flesso, studiamo il segno della derivata seconda ponendo \(f''(x) \ge 0\):

\[4(4\cos^2 x + \cos x - 2) \ge 0 \implies 4\cos^2 x + \cos x - 2 \ge 0\]

Risolviamo l'equazione di secondo grado associata rispetto alla variabile ausiliaria \(t = \cos x\):

\[4t^2 + t - 2 = 0 \implies t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(4)(-2)}}{2(4)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} =\] \[=\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8}\]

I due valori numerici reali associati sono:

\[t_1 = \frac{-1 - \sqrt{33}}{8} \approx \frac{-1 - 5.74456}{8} \approx -0.843\] \[t_2 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8} \approx \frac{-1 + 5.74456}{8} \approx 0.593\]

Essendo il coefficiente del termine di secondo grado positivo (\(4 > 0\)) e il verso della disequazione maggiore o uguale a zero, la disequazione algebrica è soddisfatta per valori esterni alle radici:

\[\cos x \le \frac{-1 - \sqrt{33}}{8} \quad \lor \quad \cos x \ge \frac{-1 + \sqrt{33}}{8}\]

Analizziamo separatamente le due condizioni goniometriche nell'intervallo di studio \([0, 2\pi]\):

Caso A: \(\cos x \ge \frac{-1 + \sqrt{33}}{8} \approx 0.593\)

Il coseno assume valori positivi e superiori a \(0.593\) nel primo e nel quarto quadrante. Ricorrendo alla funzione inversa dell'arcocoseno calcoliamo l'angolo base nel primo quadrante:

\[x_1 = \arccos\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{8}\right) \approx \arccos(0.593) \approx 0.94 \text{ rad}\]

Per simmetria della funzione coseno rispetto all'asse delle ascisse, l'angolo corrispondente nel quarto quadrante è espresso da \(2\pi - x_1\):

\[x_4 = 2\pi - \arccos\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{8}\right) \approx 6.283 - 0.94 \approx 5.34 \text{ rad}\]

Pertanto, la condizione \(\cos x \ge 0.593\) è verificata negli intervalli esterni vicino agli estremi del dominio:

\[0 \le x \le 0.94 \quad \lor \quad 5.34 \le x \le 2\pi\]

Caso B: \(\cos x \le \frac{-1 - \sqrt{33}}{8} \approx -0.843\)

Il coseno assume valori inferiori (ovvero geometricamente a sinistra) a \(-0.843\) nel secondo e nel terzo quadrante. Troviamo anzitutto l'angolo associato nel secondo quadrante:

\[x_2 = \arccos\left(\frac{-1 - \sqrt{33}}{8}\right) \approx \arccos(-0.843) \approx 2.57 \text{ rad}\]

Per simmetria rispetto all'origine e alle proprietà degli archi associati, l'angolo corrispondente nel terzo quadrante è dato da \(2\pi - x_2\):

\[x_3 = 2\pi - \arccos\left(\frac{-1 - \sqrt{33}}{8}\right) \approx 6.283 - 2.57 \approx 3.71 \text{ rad}\]

Quindi, la condizione \(\cos x \le -0.843\) è soddisfatta nell'intervallo centrale:

\[2.57 \le x \le 3.71\]

Unendo graficamente le soluzioni ottenute, possiamo mappare la concavità della curva \(\gamma\) attraverso i seguenti schemi logici:

In sintesi, la derivata seconda risulta positiva (\(f''(x) > 0\)) negli intervalli \((0; 0.94)\), \((2.57; 3.71)\) e \((5.34; 2\pi)\), dove il grafico volge la concavità verso l'alto (convesso). Risulta invece negativa (\(f''(x) < 0\)) negli intervalli \((0.94; 2.57)\) e \((3.71; 5.34)\), dove il grafico volge la concavità verso il basso (concavo).

I punti in cui si riscontra un cambio netto di concavità definiscono i punti di flesso della curva. Otteniamo pertanto quattro punti di flesso nell'intervallo \([0, 2\pi]\), precisamente localizzati alle seguenti ascisse:

\[F_1 \approx 0.94\,, \quad F_2 \approx 2.57\,, \quad F_3 \approx 3.71\,, \quad F_4 \approx 5.34\]

Il grafico completo della funzione \(\gamma\) è il seguente:

Soluzione del punto 3

Le equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta verticale \(x = \pi\) sono date dalle trasformazioni:

\[\begin{cases} x' = 2\pi - x \\ y' = y \end{cases}\]

Verifichiamo se sostituendo \(2\pi - x\) all'interno della funzione si ritrova l'espressione di partenza:

\[f(2\pi - x) = -4\cos^2(2\pi - x) - 4\cos(2\pi - x) + 8\]

Ricordando che le funzioni goniometriche degli archi esplementari soddisfano la relazione \(\cos(2\pi - x) = \cos x\), otteniamo immediatamente:

\[= -4\cos^2 x - 4\cos x + 8 = f(x)\]

La condizione \(f(2\pi - x) = f(x)\) è verificata, di conseguenza la curva \(\gamma\) risulta perfettamente simmetrica rispetto alla retta di equazione \(x = \pi\).

Soluzione del punto 4

Il valore medio di una funzione \(f(x)\) continua in un intervallo chiuso e limitato \([a, b]\) è definito dall'espressione:

\[V_m = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx\]

Nel nostro intervallo \([0, 2\pi]\) avremo:

\[V_m = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \left(-4\cos^2 x - 4\cos x + 8\right) dx\]

Sviluppiamo il calcolo dell'integrale definito trovando inizialmente le singole primitive. Utilizziamo la formula di linearizzazione del termine quadratico \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\):

\[\int \left(-4\cos^2 x - 4\cos x + 8\right) dx = \int \left[-4\left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right) - 4\cos x + 8\right] dx\] \[= \int \left(-2 - 2\cos(2x) - 4\cos x + 8\right) dx = \int \left(-2\cos(2x) - 4\cos x + 6\right) dx\] \[= \left[ -\sin(2x) - 4\sin x + 6x \right]_{0}^{2\pi}\]

Valutiamo l'espressione ottenuta applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale agli estremi \(2\pi\) e \(0\):

\[= \left( -\sin(4\pi) - 4\sin(2\pi) + 6(2\pi) \right) - \left( -\sin(0) - 4\sin(0) + 6(0) \right)\] \[= (0 - 0 + 12\pi) - (0) = 12\pi\]

Sostituiamo il valore dell'integrale nella formula del valore medio:

\[V_m = \frac{1}{2\pi} \cdot 12\pi = 6\]