LICEO SCIENTIFICO - SUPPLETIVA 2026 - PROBLEMA 2

Soluzione del punto a

Poiché \( \alpha \) e \( \beta \) sono gli zeri di \( f \), risulta \( f(\alpha)=f(\beta)=0 \).

Asintoti per \( g \):

Essendo \( g(x)=-\dfrac{1}{f(x)} \), si ha: \[ \lim_{x\to\alpha} g(x) = \lim_{x\to\alpha}\left(-\frac{1}{f(x)}\right) = -\frac{1}{0} = \infty \] dunque la retta \( x=\alpha \) è asintoto verticale per \( \gamma_2 \). In modo analogo si dimostra che anche \( x=\beta \) è asintoto verticale per \( \gamma_2 \).

Asintoti per \( h \):

Essendo \( h(x)=f(x)+g(x) \), si ha: \[ \lim_{x\to\alpha} h(x) = \lim_{x\to\alpha}\big[f(x)+g(x)\big] = 0 + \infty = \infty \] quindi anche \( x=\alpha \) è asintoto verticale per \( \gamma_3 \); analogamente si prova che \( x=\beta \) è asintoto verticale per \( \gamma_3 \).

\( \gamma_1 \) non ha punti in comune con \( \gamma_2 \):

Un'eventuale intersezione tra \( \gamma_1 \) e \( \gamma_2 \) richiederebbe \( f(x)=g(x) \), cioè: \[ f(x) = -\frac{1}{f(x)} \quad \Rightarrow \quad [f(x)]^2 = -1 \] equazione priva di soluzioni reali. Dunque \( \gamma_1 \cap \gamma_2 = \varnothing \).

\( \gamma_1 \) non ha punti in comune con \( \gamma_3 \):

Un'eventuale intersezione tra \( \gamma_1 \) e \( \gamma_3 \) richiederebbe \( f(x)=h(x) \), cioè: \[ f(x) = f(x)+g(x) \quad \Rightarrow \quad g(x)=0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{f(x)}=0 \] equazione impossibile, poiché una frazione con numeratore non nullo non può essere uguale a zero. Dunque \( \gamma_1 \cap \gamma_3 = \varnothing \).

Punti stazionari:

Sia \( x_s \) ascissa di un punto stazionario per \( f \), con \( f(x_s)\neq 0 \); risulta quindi \( f'(x_s)=0 \).

Calcoliamo la derivata di \( g \): \[ g'(x) = D\!\left(-\frac{1}{f(x)}\right) = D\!\left(-[f(x)]^{-1}\right) = \frac{f'(x)}{[f(x)]^2} \] Quindi: \[ g'(x_s) = \frac{f'(x_s)}{[f(x_s)]^2} = \frac{0}{[f(x_s)]^2} = 0 \] (il denominatore è ben definito e non nullo poiché \( f(x_s)\neq 0 \)). Dunque \( x_s \) è ascissa di un punto stazionario anche per \( g \).

Essendo \( h=f+g \), risulta \( h'=f'+g' \), quindi: \[ h'(x_s) = f'(x_s)+g'(x_s) = 0+0 = 0 \] Pertanto \( x_s \) è ascissa di un punto stazionario anche per \( h \).

Soluzione del punto b

Poiché \( f \) è polinomiale di 2° grado, poniamo: \[ f(x)=ax^2+bx+c \] Dalla condizione \( f(0)=-1 \) segue \( c=-1 \), quindi: \[ f(x)=ax^2+bx-1 \]

Condizione sull'asintoto di \( \gamma_2 \):

Essendo \( g(x)=-\dfrac{1}{f(x)} \), la retta \( x=-1 \) è asintoto per \( g \) se e solo se \( f(-1)=0 \): \[ a-b-1=0 \]

Condizione sul punto stazionario di \( h \):

Essendo \( h=f+g \), risulta \( h'=f'+g' \), con \( g'=\dfrac{f'}{[f(x)]^2} \). Poiché \( x=-\dfrac14 \) è punto stazionario per \( h \), e \( f'\left(-\dfrac14\right)=-\dfrac{a}{2}+b \), imponendo \( h'\left(-\dfrac14\right)=0 \): \[ f'\!\left(-\tfrac14\right)+g'\!\left(-\tfrac14\right) = \left(-\frac{a}{2}+b\right) + \frac{-\frac{a}{2}+b}{\left[f\left(-\frac14\right)\right]^2} = 0 \] Sviluppando i calcoli si ottiene: \[ \frac{(-a+2b)/2}{\left[f\left(-\frac14\right)\right]^2}=0 \quad \Rightarrow \quad -a+2b=0 \quad \Rightarrow \quad a=2b \]

Risoluzione del sistema:

Le tre funzioni risultano quindi: \[ f(x)=2x^2+x-1 \] \[ g(x)=-\frac{1}{2x^2+x-1} \] \[ h(x)=f(x)+g(x) = 2x^2+x-1-\frac{1}{2x^2+x-1} =\] \[=\frac{(2x^2+x-1)^2-1}{2x^2+x-1} \] Applicando la differenza di quadrati al numeratore: \[ (2x^2+x-1)^2-1 = (2x^2+x-2)(2x^2+x) =\] \[=x(2x+1)(2x^2+x-2) \] quindi: \[ h(x)=\frac{x(2x+1)(2x^2+x-2)}{2x^2+x-1} \]

Soluzione del punto c

Studio di \( \gamma_1 \) (grafico di \( f \)):

\( f(x)=2x^2+x-1 \) è una parabola con concavità verso l'alto (\( a=2>0 \)).

• Intersezioni con l'asse \( x \): \( 2x^2+x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{-1\pm3}{4} \Rightarrow x=-1,\ x=\dfrac12 \). Punti \( A(-1,0) \), \( B\!\left(\dfrac12,0\right) \).
• Intersezione con l'asse \( y \): \( f(0)=-1 \). Punto \( C(0,-1) \).
• Vertice (minimo assoluto): \( x_V=-\dfrac{1}{4} \), \( f\!\left(-\dfrac14\right)=-\dfrac{9}{8} \). Punto \( V\!\left(-\dfrac14,-\dfrac98\right) \).
• Nessun flesso: \( f''(x)=4 \) è costante e positiva, quindi la concavità non cambia mai.

Studio di \( \gamma_2 \) (grafico di \( g \)):

\( g(x)=-\dfrac{1}{2x^2+x-1}=-\dfrac{1}{(x+1)(2x-1)} \), con dominio \( x\neq-1,\ x\neq\dfrac12 \).

• Asintoti verticali: \( x=-1 \) e \( x=\dfrac12 \) (dimostrato al punto a).
• Asintoto orizzontale: per \( x\to\pm\infty \), \( f(x)\to+\infty \) quindi \( g(x)\to 0^- \); asintoto \( y=0 \).
• Intersezione con l'asse \( y \): \( g(0)=1 \). Punto \( (0,1) \).
• Nessuna intersezione con l'asse \( x \) (numeratore mai nullo).
• Segno: \( g(x)>0 \) per \( -1<x<\dfrac12 \) (dove \( f<0 \)); \( g(x)<0 \) per \( x<-1 \) o \( x>\dfrac12 \).
• Estremo: \( g'(x)=\dfrac{f'(x)}{[f(x)]^2}=0 \) solo per \( x=-\dfrac14 \) (unico punto stazionario di \( f \)), interno all'intervallo \( \left(-1,\dfrac12\right) \). Poiché \( g'(x) \) ha lo stesso segno di \( f'(x) \) (essendo \( [f(x)]^2>0 \)), \( g \) ha lo stesso andamento di monotonia di \( f \): decrescente per \( x<-1 \) e per \( -1<x<-\dfrac14 \), crescente per \( -\dfrac14<x<\dfrac12 \) e per \( x>\dfrac12 \); quindi un minimo in \( x=-\dfrac14 \): \( g\!\left(-\dfrac14\right)=-\dfrac{1}{-9/8}=\dfrac89 \). Punto di minimo \( \left(-\dfrac14,\dfrac89\right) \).
• Nessun flesso: \( g''(x)=-\dfrac{6(4x^2+2x+1)}{(2x^2+x-1)^3} \); ponendo \( g''(x)=0 \) si ottiene \( 4x^2+2x+1=0 \), con discriminante negativo ⟹ nessuna soluzione reale.

Grafico qualitativo di \( g(x) \) dedotto dal grafico di \( f(x) \):

Studio di \( \gamma_3 \) (grafico di \( h=f+g \)):

Dominio: \( x\neq-1,\ x\neq\dfrac12 \) (stesso di \( g \)).

• Intersezione con l'asse \( y \): \( h(0)=f(0)+g(0)=-1+1=0 \). \( \gamma_3 \) passa per l'origine \( O(0,0) \).
• Intersezioni con l'asse \( x \): \( h(x)=0 \Rightarrow f(x)=-g(x)=\dfrac{1}{f(x)} \Rightarrow [f(x)]^2=1 \Rightarrow f(x)=\pm1 \).
  Da \( f(x)=-1 \): \( 2x^2+x=0 \Rightarrow x(2x+1)=0 \Rightarrow x=0,\ x=-\dfrac12 \).
  Da \( f(x)=1 \): \( 2x^2+x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{4} \) (due soluzioni irrazionali, circa \( x\approx-1{,}28 \) e \( x\approx0{,}78 \)).
  In totale quattro zeri: \( x=-\dfrac12,\ x=0,\ x=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4},\ x=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4} \).
• Asintoti verticali: \( x=-1 \) e \( x=\dfrac12 \) (dimostrato al punto a).
• Asintoto obliquo (parabolico): per \( x\to\pm\infty \), \( g(x)\to0 \); poiché \( h(x)=f(x)+g(x) \), risulta che \( h(x) \) è asintotico a \( f(x) \). Quindi, per \( x\to\pm\infty \), il grafico di \( h \) si avvicina asintoticamente al grafico di \( f \): si può dire che \( \gamma_1 \) (il grafico di \( f \)) è asintoto parabolico per \( \gamma_3 \) (il grafico di \( h \)).
• Estremo: \( h'(x)=f'(x)+g'(x)=f'(x)\left(1+\dfrac{1}{[f(x)]^2}\right)=\dfrac{f'(x)\left([f(x)]^2+1\right)}{[f(x)]^2} \). Poiché \( [f(x)]^2+1>0 \) sempre, il segno di \( h' \) coincide con quello di \( f' \): unico punto stazionario in \( x=-\dfrac14 \), minimo. \[ h\!\left(-\frac14\right)=f\!\left(-\frac14\right)+g\!\left(-\frac14\right)=-\frac98+\frac89=-\frac{17}{72} \] Punto di minimo \( \left(-\dfrac14,-\dfrac{17}{72}\right) \).
• Flessi: il calcolo diretto di \( h''(x) \) risulta piuttosto laborioso; conviene ragionare per confronto. Poiché \( h(x) \) è asintotico a \( f(x) \) per \( x\to\pm\infty \), il grafico di \( h \) ha concavità verso l'alto (come \( f \)) sia per \( x\to-\infty \) sia per \( x\to+\infty \). D'altra parte, per \( x\to-1^- \) risulta \( h(x)\to-\infty \), e in prossimità dell'asintoto verticale la concavità è rivolta verso il basso; dunque, per \( x<-1 \), la concavità passa da verso il basso (vicino a \( x=-1 \)) a verso l'alto (per \( x\to-\infty \)): per il teorema dei valori intermedi applicato a \( h'' \), esiste quindi almeno un punto di flesso in tale intervallo (un numero dispari di cambi di concavità, non necessariamente uno solo). Analogamente, per \( x\to\left(\dfrac12\right)^+ \) risulta \( h(x)\to-\infty \) con concavità verso il basso, mentre per \( x\to+\infty \) la concavità torna verso l'alto: anche per \( x>\dfrac12 \) esiste quindi almeno un punto di flesso. In conclusione, \( \gamma_3 \) presenta almeno due punti di flesso (uno in ciascuno dei due intervalli esterni), le cui ascisse esatte non sono esprimibili in forma elementare.

Grafico qualitativo di \( h(x) \) dedotto dal grafico di \( f(x) \):

Soluzione del punto d

Determinazione di \( A \) e \( B \):

Scomponiamo il denominatore: \( 2x^2+x-1=2\left(x+1\right)\left(x-\dfrac12\right)=(x+1)(2x-1) \), quindi: \[ g(x)=-\frac{1}{(x+1)(2x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}=\frac{A(2x-1)+B(x+1)}{(x+1)(2x-1)} \] Deve essere \( A(2x-1)+B(x+1)=-1 \), cioè \( (2A+B)x+(-A+B)=-1 \) per ogni \( x \), da cui il sistema: \[ \begin{cases} 2A+B=0 \\ -A+B=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} B=-2A \\ -3A=-1 \end{cases} \Rightarrow A=\frac13,\ B=-\frac23 \] Quindi: \[ g(x)=\frac{1/3}{x+1}+\frac{-2/3}{2x-1} \]

Intersezioni tra \( \gamma_2 \) e la retta \( y=\dfrac85 \):

Imponiamo \( g(x)=\dfrac85 \), cioè \( -\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac85 \Rightarrow f(x)=-\dfrac58 \): \[ 2x^2+x-1=-\frac58 \ \Rightarrow\ 2x^2+x-\frac38=0 \ \Rightarrow\ 16x^2+8x-3=0 \] \[ \Delta=64+192=256 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{-8\pm16}{32} \quad\Rightarrow\quad x=\frac14,\ x=-\frac34 \] Punti di intersezione: \( E\!\left(-\dfrac34,\dfrac85\right) \), \( F\!\left(\dfrac14,\dfrac85\right) \).

Calcolo dell'area:

Nell'intervallo \( \left[-\dfrac34,\dfrac14\right] \) la retta \( y=\dfrac85 \) sta al di sopra di \( \gamma_2 \) (ad esempio in \( x=0 \): \( g(0)=1<\dfrac85 \)), quindi: \[ \text{Area}=\int_{-3/4}^{1/4}\left[\frac85-g(x)\right]dx = \int_{-3/4}^{1/4}\frac85\,dx \;-\; \int_{-3/4}^{1/4} g(x)\,dx \]

Il primo integrale vale: \[ \int_{-3/4}^{1/4}\frac85\,dx = \frac85\left[\frac14-\left(-\frac34\right)\right] = \frac85\cdot1 = \frac85 \]

Per il secondo integrale, usando la scomposizione trovata: \[ \int g(x)\,dx = \int\left(\frac{1/3}{x+1}-\frac{2/3}{2x-1}\right)dx =\] \[=\frac13\ln|x+1|-\frac13\ln|2x-1| = \frac13\ln\left|\frac{x+1}{2x-1}\right| \] Calcolando tra gli estremi: \[ \left[\frac13\ln\left|\frac{x+1}{2x-1}\right|\right]_{-3/4}^{1/4} = \frac13\ln\frac{5/4}{1/2} - \frac13\ln\frac{1/4}{5/2} =\] \[=\frac13\ln\frac52 - \frac13\ln\frac{1}{10} = \frac13\ln\left(\frac{5/2}{1/10}\right) = \frac13\ln(25) = \frac23\ln5 \]

Quindi: \[ \text{Area} = \frac85 - \frac23\ln5 \approx 1{,}6-1{,}073 \approx 0{,}527 \]