Questionario – Esame di Stato Suppletiva 2026

Quesito 1

Si consideri un triangolo \( ABC \), retto in \( B \). La circonferenza di diametro \( BC \) interseca \( AC \) in \( D \) e la tangente a questa circonferenza in \( D \) interseca \( AB \) in \( E \). Determinare il rapporto tra \( AE \) e \( BE \).

Si consideri un triangolo di vertici a, bi, ci, retto in bi. La circonferenza di diametro bi ci interseca a ci nel punto di, e la tangente a questa circonferenza nel punto di interseca a bi nel punto e. Determinare il rapporto tra a e ed bi e.

Soluzione del Quesito 1

Poniamo \( \widehat{BAC}=\gamma \) e \( \widehat{ACB}=\alpha \) (con \( \alpha+\gamma=90° \), essendo il triangolo retto in \( B \)); indichiamo con \( O \) il centro della circonferenza (punto medio di \( BC \), raggio \( R \)).

Triangolo ABC retto in B, circonferenza di diametro BC, punti D ed E, con angoli alfa, beta, gamma evidenziati

Legenda: il triangolo \( ABC \), la circonferenza di diametro \( BC \), i punti \( D \) ed \( E \), con gli angoli \( \alpha \) e \( \gamma \) evidenziati.

Passo 1 — AB è tangente alla circonferenza in B

Poiché \( BC \) è diametro, il raggio \( OB \) giace sulla retta \( BC \). Essendo il triangolo retto in \( B \), risulta \( AB\perp BC \), quindi \( AB\perp OB \): dunque \( AB \) è tangente alla circonferenza in \( B \).

Passo 2 — EB = ED

Il triangolo \( OBE \) è retto in \( B \) (Passo 1), il triangolo \( ODE \) è retto in \( D \) (tangente perpendicolare al raggio). I due triangoli condividono l'ipotenusa \( OE \) e hanno un cateto uguale, \( OB=OD=R \) (entrambi raggi). Per il criterio ipotenusa-cateto, i triangoli sono congruenti:

\[ OBE \cong ODE \quad\Rightarrow\quad EB=ED \]

Passo 3 — Il triangolo ODC è isoscele

Essendo \( OD=OC=R \) (entrambi raggi), il triangolo \( ODC \) è isoscele sulla base \( DC \), quindi gli angoli alla base sono uguali:

\[ \widehat{ODC}=\widehat{OCD}=\widehat{ACB}=\alpha \]

Passo 4 — L'angolo EDC

Essendo \( ED \) tangente in \( D \), risulta \( ED\perp OD \), cioè \( \widehat{EDO}=90° \). Poiché la semiretta \( DO \) è interna all'angolo \( \widehat{EDC} \):

\[ \widehat{EDC}=\widehat{EDO}+\widehat{ODC}=90°+\alpha \]

Passo 5 — L'angolo ADE

Poiché \( A, D, C \) sono allineati (\( D\in AC \)), gli angoli \( \widehat{ADE} \) e \( \widehat{EDC} \) sono supplementari:

\[ \widehat{ADE}=180°-\widehat{EDC}=180°-(90°+\alpha)=90°-\alpha=\gamma \]

Passo 6 — Il triangolo AED è isoscele

Nel triangolo \( AED \): l'angolo in \( A \) è \( \widehat{DAE}=\widehat{BAC}=\gamma \) (essendo \( E\in AB \) e \( D\in AC \)); l'angolo in \( D \) è \( \widehat{ADE}=\gamma \) (Passo 5). Essendo i due angoli uguali, il triangolo è isoscele:

\[ AE=ED \]

✓ Combinando con \( EB=ED \) (Passo 2): \( AE=ED=EB \), quindi \( \dfrac{AE}{BE}=1 \)

Quesito 2

Nello spazio riferito a un sistema di coordinate cartesiane \( Oxyz \), sono dati il punto \( A(1,0,2) \) e la retta \( r \) definita dalle seguenti equazioni:

\[ r:\begin{cases} x=t \\ y=2t-1 \\ z=-t+3 \end{cases} \]

Si richiede di:

a) determinare l'equazione del piano perpendicolare a \( r \) e passante per \( A \);

b) calcolare la distanza fra le rette \( r \) e \( s \), dove \( s \) è la retta parallela a \( r \) e passante per \( A \).

Nello spazio riferito a un sistema di coordinate cartesiane o ics ipsilon zeta, sono dati il punto a di coordinate uno, zero, due, e la retta erre definita dalle seguenti equazioni: ics uguale a ti, ipsilon uguale a due ti meno uno, zeta uguale a meno ti più tre. Si richiede di: a) determinare l'equazione del piano perpendicolare a erre e passante per a; b) calcolare la distanza fra le rette erre ed esse, dove esse è la retta parallela a erre e passante per a.

Soluzione del Quesito 2

Passo 1 — Piano perpendicolare a r passante per A

La retta \( r \) ha vettore direttore \( \vec{v}_r=(1,2,-1) \), ricavabile dai coefficienti di \( t \). Il piano \( \pi \) perpendicolare a \( r \) e passante per \( A \) ha come vettore normale proprio \( \vec{v}_r \):

\[ 1\cdot(x-1)+2\cdot(y-0)-1\cdot(z-2)=0 \] \[ \Rightarrow\quad x+2y-z+1=0 \]

Passo 2 — Equazioni della retta s

La retta \( s \), parallela a \( r \) e passante per \( A \), ha equazioni parametriche (parametro \( h \)):

\[ s:\begin{cases} x=1+h \\ y=2h \\ z=2-h \end{cases} \]

Passo 3 — Impostazione del calcolo della distanza

Poiché \( \pi\perp r \), \( \pi\perp s \) (essendo \( s\parallel r \)) e \( A\in\pi \), la distanza tra le rette parallele \( r \) e \( s \) è uguale alla lunghezza del segmento \( AH \), dove \( H=r\cap\pi \) è il piede della perpendicolare condotta da \( A \) a \( r \).

Passo 4 — Determinazione di H

Sostituiamo le equazioni parametriche di \( r \) nel piano \( \pi \):

\[ t+2(2t-1)-(-t+3)+1=0 \ \Rightarrow\ 6t-4=0 \ \Rightarrow\ t=\frac23 \] \[ H=\left(\frac23,\ \frac13,\ \frac73\right) \]

Passo 5 — Calcolo della distanza AH

\[ \overrightarrow{AH}=\left(-\frac13,\ \frac13,\ \frac13\right) \] \[ AH=\sqrt{3\cdot\left(\frac13\right)^2}=\sqrt{\frac13}=\frac{\sqrt3}{3} \]

✓ a) \( \pi:\ x+2y-z+1=0 \) b) \( \text{dist}(r,s)=\dfrac{\sqrt3}{3} \)

Quesito 3

La legge \( C(t)=a\,t\cdot e^{-bt} \) descrive la concentrazione di un farmaco (misurata in mg/l), al variare del tempo (misurato in ore). Il picco si stima dopo 5 ore dalla somministrazione con un valore di 5,5 mg/l. Determinare, con due cifre significative, i valori dei parametri \( a \) e \( b \) e le loro unità di misura. Si può affermare che la concentrazione si mantiene al di sopra di 3,0 mg/l per oltre 10 ore? Motivare la risposta.

La legge ci di ti uguale ad a ti per e elevato a meno bi ti descrive la concentrazione di un farmaco, misurata in milligrammi su litro, al variare del tempo, misurato in ore. Il picco si stima dopo cinque ore dalla somministrazione con un valore di cinque virgola cinque milligrammi su litro. Determinare, con due cifre significative, i valori dei parametri a e bi e le loro unità di misura. Si può affermare che la concentrazione si mantiene al di sopra di tre virgola zero milligrammi su litro per oltre dieci ore? Motivare la risposta.

Soluzione del Quesito 3

Passo 1 — Determinazione di b (condizione di massimo in t=5)

Calcoliamo la derivata di \( C(t)=a\,t\,e^{-bt} \):

\[ C'(t)=a\,e^{-bt}(1-bt) \]

Poiché \( a\neq0 \) e \( e^{-bt}>0 \), imponendo che il massimo sia in \( t=5 \):

\[ 1-5b=0 \quad\Rightarrow\quad b=\frac15=0{,}20\ \text{h}^{-1} \]

Passo 2 — Determinazione di a (condizione sul valore di picco)

Imponendo \( C(5)=5{,}5 \):

\[ 5{,}5 = 5a\,e^{-1} \quad\Rightarrow\quad a=\frac{5{,}5\,e}{5}=1{,}1\,e \approx 3{,}0\ \frac{\text{mg}}{\text{l}\cdot\text{h}} \]

Passo 3 — Unità di misura

Poiché \( a\,t \) deve avere le stesse unità di \( C \) (mg/l) e \( t \) è in ore, l'unità di \( a \) è mg/(l·h). L'esponente \( bt \) deve essere adimensionale, quindi \( b \) ha unità \( \text{h}^{-1} \).

Passo 4 — Andamento qualitativo

Con \( a\approx1{,}1e \) e \( b=0{,}2 \): \( C(0)=0 \); \( C \) è crescente per \( t<5 \) e decrescente per \( t>5 \), con massimo \( C(5)=5{,}5 \) mg/l; inoltre \( \displaystyle\lim_{t\to+\infty}C(t)=0^+ \).

Grafico di C(t) e della retta y=3, con le intersezioni t1 e t2

Legenda: il grafico di \( C(t) \) e della retta \( y=3 \), con i punti di intersezione \( t_1 \) e \( t_2 \).

Passo 5 — Verifica della permanenza sopra 3,0 mg/l per oltre 10 ore

Risolvendo numericamente \( 1{,}1e\cdot t\cdot e^{-0,2t}=3 \):

\[ t_1\approx1{,}30\ \text{h} \qquad t_2\approx12{,}69\ \text{h} \] \[ \Delta t = t_2-t_1 \approx 11{,}4\ \text{h} \]

✓ \( a\approx3{,}0\ \dfrac{\text{mg}}{\text{l}\cdot\text{h}} \), \( b=0{,}20\ \text{h}^{-1} \). Sì, la concentrazione resta sopra 3,0 mg/l per circa 11,4 ore, quindi per oltre 10 ore.

Quesito 4

Determinare i parametri reali \( a, b, c \) in modo che la funzione

\[ f(x)=\begin{cases} a e^{2-x}+b, & x<2 \\[4pt] \dfrac{x+c}{x}, & x\geq 2 \end{cases} \]

sia continua su \( \mathbb{R} \) e abbia in \( x=2 \) un punto angoloso con tangente sinistra di equazione \( y=-3-6x \) e tangente destra con pendenza \( m=8 \).

Determinare i parametri reali a, bi, ci in modo che la funzione effe di ics, definita a tratti, uguale ad a per e elevato a due meno ics, più bi, per ics minore di due, e uguale a ics più ci, fratto ics, per ics maggiore o uguale a due, sia continua su erre e abbia in ics uguale a due un punto angoloso con tangente sinistra di equazione ipsilon uguale a meno tre meno sei ics, e tangente destra con pendenza emme uguale a otto.

Soluzione del Quesito 4

Passo 1 — Continuità in x=2

La funzione è continua su \( \mathbb{R}\setminus\{2\} \); imponiamo la continuità in \( x=2 \):

\[ \lim_{x\to 2^-} f(x) = a+b \qquad \lim_{x\to 2^+} f(x) = f(2) = \frac{2+c}{2} \] \[ a+b=\frac{2+c}{2} \qquad (\star) \]

Passo 2 — Derivata sinistra in x=2

Per \( x<2 \): \( f'(x)=-a\,e^{2-x} \), quindi \( f'_-(2)=-a \). Imponendo pendenza \( -6 \):

\[ -a=-6 \quad\Rightarrow\quad a=6 \]

Passo 3 — Derivata destra in x=2

Per \( x>2 \): \( f'(x)=-\dfrac{c}{x^2} \), quindi \( f'_+(2)=-\dfrac{c}{4} \). Imponendo \( f'_+(2)=8 \):

\[ -\frac{c}{4}=8 \quad\Rightarrow\quad c=-32 \]

Passo 4 — Determinazione di b

Sostituendo \( a=6 \) e \( c=-32 \) nella \( (\star) \):

\[ 6+b=\frac{2-32}{2}=-15 \quad\Rightarrow\quad b=-21 \]

⚠ Verifica: \( f(2)=a+b=6-21=-15 \), coerente con la tangente sinistra \( y=-3-6x \) in \( x=2 \): \( y=-3-12=-15 \) ✓

✓ \( a=6,\quad b=-21,\quad c=-32 \)

Quesito 5

Si consideri la curva \( y=e^{1+ax} \), con \( a\neq 0 \), e la retta \( r \) ad essa tangente in un punto \( P \). Indicato con \( A \) il punto in cui \( r \) incontra l'asse delle ascisse, dimostrare che il segmento \( AH \), dove \( H \) è la proiezione ortogonale di \( P \) sull'asse \( x \), ha lunghezza costante.

Esprimere questa lunghezza in funzione di \( a \).

Si consideri la curva ipsilon uguale a e elevato a uno più a ics, con a diverso da zero, e la retta erre ad essa tangente in un punto pi. Indicato con a il punto in cui erre incontra l'asse delle ascisse, dimostrare che il segmento a acca, dove acca è la proiezione ortogonale di pi sull'asse ics, ha lunghezza costante. Esprimere questa lunghezza in funzione di a.

Soluzione del Quesito 5

Sia \( P\left(t,\ e^{1+at}\right) \) il generico punto della curva, con \( t\in\mathbb{R} \).

Passo 1 — Retta tangente r in P

Da \( y=e^{1+ax} \) si ha \( y'=a\,e^{1+ax} \), quindi il coefficiente angolare in \( P \) è \( m=a\,e^{1+at} \):

\[ r:\ y = e^{1+at}\,(ax-at+1) \]

Passo 2 — Determinazione di A

Imponendo \( y=0 \) (e \( e^{1+at}\neq0 \)):

\[ ax-at+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=t-\frac1a \quad\Rightarrow\quad A\left(t-\frac1a,\ 0\right) \]

Passo 3 — Determinazione di H

\( H \) è la proiezione ortogonale di \( P \) sull'asse \( x \): \( H(t,0) \).

Passo 4 — Calcolo di AH

\[ \overline{AH}^2 = \left(t-\frac1a-t\right)^2 = \frac{1}{a^2} \] \[ \overline{AH}=\frac{1}{|a|} \]

⚠ Il risultato non dipende da \( t \): la lunghezza \( \overline{AH} \) è quindi costante, indipendentemente dal punto \( P \) scelto sulla curva.

✓ \( \overline{AH}=\dfrac{1}{|a|} \), costante

Quesito 6

Studiare al variare del parametro \( m\in\mathbb{R} \), con \( m\neq\pm1 \), la natura dei punti stazionari del polinomio \( P(x)=(m^2-1)(x-1)^2(x-4)^2+2 \).

Studiare al variare del parametro emme appartenente ad erre, con emme diverso da più o meno uno, la natura dei punti stazionari del polinomio pi di ics uguale ad emme quadrato meno uno, per ics meno uno al quadrato, per ics meno quattro al quadrato, più due.

Soluzione del Quesito 6

Passo 1 — Calcolo della derivata

\[ P'(x)=(m^2-1)\cdot2(x-1)(x-4)\big[(x-4)+(x-1)\big] \] \[ =2(m^2-1)(x-1)(x-4)(2x-5) \]

Passo 2 — Segno del fattore g(x) = (x−1)(x−4)(2x−5)

Gli zeri sono \( x=1,\ x=\dfrac52,\ x=4 \). Studiando il segno dei tre fattori:

\[ g(x)<0 \text{ per } x<1; \qquad g(x)>0 \text{ per } 1<x<\tfrac52; \] \[ g(x)<0 \text{ per } \tfrac52<x<4; \qquad g(x)>0 \text{ per } x>4 \]

Passo 3 — Caso m<-1 oppure m>1 (cioè m²−1>0)

\( P'(x) \) ha lo stesso segno di \( g(x) \):

\[ x=1:\ \text{minimo relativo} \qquad x=\tfrac52:\ \text{massimo relativo} \] \[ x=4:\ \text{minimo relativo} \]

Passo 4 — Caso −1<m<1, con m≠±1 (cioè m²−1<0)

\( P'(x) \) ha segno opposto a quello di \( g(x) \): tutte le nature si invertono rispetto al caso precedente.

\[ x=1:\ \text{massimo relativo} \qquad x=\tfrac52:\ \text{minimo relativo} \] \[ x=4:\ \text{massimo relativo} \]

✓ Se \( m<-1 \) oppure \( m>1 \): minimi relativi in \( x=1 \) e \( x=4 \), massimo relativo in \( x=\dfrac52 \).
Se \( -1<m<1 \): massimi relativi in \( x=1 \) e \( x=4 \), minimo relativo in \( x=\dfrac52 \).

Quesito 7

Daniele e Letizia stanno giocando a Monopoli. Daniele si trova nella casella "Corso Magellano". Qual è la probabilità che Daniele, lanciando due dadi regolari a sei facce:

• possa ottenere somma 7 e finire così nella casella "In prigione"?

• non ottenga somma 8, 9 o 11, evitando così di capitare sulle proprietà di Letizia?

• possa ottenere lo stesso valore su entrambi i dadi e quindi giocare un altro turno?

Daniele e Letizia stanno giocando a Monopoli. Daniele si trova nella casella Corso Magellano. Qual è la probabilità che Daniele, lanciando due dadi regolari a sei facce: possa ottenere somma sette e finire così nella casella In prigione; non ottenga somma otto, nove o undici, evitando così di capitare sulle proprietà di Letizia; possa ottenere lo stesso valore su entrambi i dadi e quindi giocare un altro turno.

Soluzione del Quesito 7

Lanciando due dadi regolari, i possibili esiti (ordinati) sono \( 6\times6=36 \), tutti equiprobabili.

Passo 1 — Probabilità di somma 7

\[ (1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3) \ \Rightarrow\ 6 \text{ casi favorevoli} \] \[ P(\text{somma}=7)=\frac{6}{36}=\frac16 \]

Passo 2 — Probabilità di non ottenere somma 8, 9 o 11

Calcoliamo le probabilità dei tre eventi (incompatibili tra loro):

\[ P(8)=\frac{5}{36} \qquad P(9)=\frac{4}{36} \qquad P(11)=\frac{2}{36} \] \[ P(8\cup9\cup11)=\frac{11}{36} \quad\Rightarrow\quad P(\text{non } 8,9,11)=1-\frac{11}{36}=\frac{25}{36} \]

Passo 3 — Probabilità di ottenere lo stesso valore su entrambi i dadi

\[ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) \ \Rightarrow\ P=\frac{6}{36}=\frac16 \]

✓ \( P(\text{somma}=7)=\dfrac16 \) \( P(\text{non } 8,9,11)=\dfrac{25}{36} \) \( P(\text{stesso valore})=\dfrac16 \)

Quesito 8

Si consideri la biblioteca di Babele costituita da micro-libri contenenti solo 100 caratteri totali, scritti usando un alfabeto di 22 caratteri (21 lettere e lo spazio).

a) Quanti sono i possibili micro-libri distinti che si possono scrivere?

b) Qual è la probabilità che, estraendo un libro a caso, i primi 5 caratteri formano esattamente la parola "TORRE"?

Si consideri la biblioteca di Babele costituita da micro libri contenenti solo cento caratteri totali, scritti usando un alfabeto di ventidue caratteri, ventuno lettere e lo spazio. a) Quanti sono i possibili micro libri distinti che si possono scrivere? b) Qual è la probabilità che, estraendo un libro a caso, i primi cinque caratteri formino esattamente la parola TORRE?

Soluzione del Quesito 8

⚠ Ipotesi aggiuntiva: assumiamo, come naturale per un "libro", che lo spazio non possa essere né il primo né l'ultimo carattere del micro-libro.

Passo 1 — Conteggio dei micro-libri distinti (punto a)

Il primo carattere deve essere una lettera: 21 possibilità. Anche il centesimo (ultimo) carattere deve essere una lettera: 21 possibilità. I restanti 98 caratteri possono essere uno qualsiasi dei 22 simboli, con ripetizione:

\[ N_{\text{tot}} = 21\cdot22^{98}\cdot21 = 21^2\cdot22^{98} \]

Passo 2 — Micro-libri con i primi 5 caratteri "TORRE" (punto b)

Fissati i primi 5 caratteri come "TORRE" (tutte lettere), restano da determinare i 95 caratteri successivi: dal 6° al 99° (94 posizioni) con 22 possibilità ciascuno; il 100° carattere deve essere una lettera, 21 possibilità:

\[ N_{\text{fav}} = 22^{94}\cdot21 \]

Passo 3 — Calcolo della probabilità

\[ P_b=\frac{N_{\text{fav}}}{N_{\text{tot}}}=\frac{21\cdot22^{94}}{21^2\cdot22^{98}}=\frac{1}{21\cdot22^4} \]

✓ a) \( N_{\text{tot}}=21^2\cdot22^{98} \) b) \( P_b=\dfrac{1}{21\cdot22^4} \)

Liceo Scientifico – Esame di Stato 2026 – Sessione suppletiva – QUESTIONARIO – Versione DSA