Soluzione quesito 1:

Il differenziale di una funzione derivabile \( f(x) \) nel punto \( x_0 \) è dato da:

\[ df(x_0) = f'(x_0)\,dx \]

Calcoliamo la derivata della funzione:

\[ f(x) = (1 + 3x^2)^{1/2} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{2}(1 + 3x^2)^{-1/2} \cdot 6x = \frac{3x}{\sqrt{1 + 3x^2}} \]

Nel punto \( x_0 = 1 \):

\[ f'(1) = \frac{3 \cdot 1}{\sqrt{1 + 3 \cdot 1^2}} = \frac{3}{2} \]

Dunque, il differenziale della funzione in \( x_0 = 1 \) è:

\[ df(1) = f'(1)\,dx = \frac{3}{2}\,dx \]

Risultato: \( df = \frac{3}{2}\,dx \) nel punto \( x_0 = 1 \).

Significato geometrico

Il differenziale \( df \) rappresenta l’incremento lineare della funzione \( f(x) \) prodotto da un piccolo incremento \( dx \) della variabile indipendente.

Geometricamente, \( df \) è la variazione della coordinata \( y \) lungo la tangente al grafico di \( f(x) \) nel punto \( (x_0, f(x_0)) \). In altre parole, la retta tangente approssima localmente la funzione, e il coefficiente angolare di questa tangente è \( f'(x_0) = \frac{3}{2} \).

Quindi, vicino a \( x = 1 \), ogni piccolo incremento \( dx \) in \( x \) produce un incremento approssimato di \( \tfrac{3}{2}\,dx \) nel valore di \( f(x) \). La tangente in quel punto cresce con pendenza \( \tfrac{3}{2} \), cioè per ogni 1 unità in più su \( x \), \( f(x) \) aumenta di circa 1.5 unità.

Soluzione quesito 2:

Il differenziale \( df \) nel punto \( x_0 \) è dato da:

\[ df = f'(x_0)\,dx \] dove \( dx = x - x_0 \).

Calcoliamo la derivata della funzione:

\[ f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x \]

Nel punto \( x_0 = 0 \):

\[ f'(0) = \cos(0) \cdot 2 \cdot 0 = 0 \]

Quindi, per un incremento \( dx = 0.1 - 0 = 0.1 \), il differenziale vale:

\[ df = f'(0)\,dx = 0 \cdot 0.1 = 0 \]

Questo significa che, vicino a \( x_0 = 0 \), la funzione varia molto lentamente, poiché la tangente in quel punto è orizzontale.

Per confronto, possiamo calcolare l’incremento reale:

\[ \Delta f = f(0.1) - f(0) = \sin(0.01) - 0 \approx 0.01 \]

Il differenziale fornisce un’approssimazione di primo ordine che, in questo caso, è molto piccola (pari a 0).

Risultato: \( df = 0 \), mentre \( \Delta f \approx 0.01 \).

Soluzione quesito 3:

Consideriamo la funzione \( f(x) = \ln(x) \). Per approssimare \( \ln(1.1) \) con il concetto di differenziale, scegliamo come punto di riferimento \( x_0 = 1 \), dove \( \ln(1) = 0 \).

1. Calcolo del differenziale

Il differenziale di \( f(x) = \ln(x) \) è dato da:

\[ df = f'(x_0)\,dx = \frac{1}{x_0}\,dx \]

Nel punto \( x_0 = 1 \), abbiamo \( f'(1) = 1 \). L’incremento della variabile indipendente è \( dx = x - x_0 = 1.1 - 1 = 0.1 \).

Dunque:

\[ df = 1 \cdot 0.1 = 0.1 \]

Il valore approssimato di \( \ln(1.1) \) può essere ottenuto a partire dallo sviluppo lineare di \( f(x) = \ln(x) \) nel punto \( x_0 = 1 \):

\[ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \]

Poiché \( f(x_0) = \ln(1) = 0 \) e \( f'(x_0) = 1 \), otteniamo:

\[ \ln(1.1) \approx 0 + 1 \cdot (1.1 - 1) = 0.1 \]

In altre parole, stiamo sostituendo la funzione \( \ln(x) \) con la sua retta tangente nel punto \( x_0 = 1 \). Il termine \( f'(x_0)(x - x_0) \) coincide con il differenziale \( df \) e rappresenta la variazione lineare stimata di \( f(x) \) per un piccolo incremento di \( x \).

Questo significa che, per un piccolo incremento di \( x \) da 1 a 1.1, la variazione della funzione \( \ln(x) \) è approssimativamente pari all’incremento stesso, poiché in \( x_0 = 1 \) la pendenza della tangente (cioè \( f'(1) \)) vale 1.

2. Confronto con il valore reale

Utilizzando una calcolatrice, si ottiene:

\[ \ln(1.1) = 0.09531\ldots \]

L’approssimazione differenziale fornisce un valore molto vicino a quello reale, poiché \( x = 1.1 \) è vicino al punto di riferimento \( x_0 = 1 \).

3. Significato geometrico

Il differenziale rappresenta l’incremento della funzione \( f(x) = \ln(x) \) lungo la tangente nel punto \( (1, 0) \). In pratica, abbiamo approssimato il grafico del logaritmo con la sua retta tangente in \( x = 1 \), la quale ha pendenza \( f'(1) = 1 \).

L’ottima corrispondenza tra il valore approssimato (\(0.1\)) e quello reale (\(0.0953\)) mostra che, per piccoli incrementi di \(x\), il differenziale fornisce una stima molto accurata dell’incremento reale della funzione.

Risultato finale:
Approssimazione con differenziale: \( \ln(1.1) \approx 0.1 \)
Valore reale (calcolatrice): \( \ln(1.1) \approx 0.0953 \)

Soluzione quesito 4:

Consideriamo la funzione \( f(x) = \sqrt{x} \). Per approssimare \( \sqrt{9.15} \) con il concetto di differenziale, scegliamo come punto di riferimento \( x_0 = 9 \), poiché \( \sqrt{9} = 3 \) è un valore noto e facile da calcolare.

1. Calcolo del differenziale

Il differenziale di \( f(x) = \sqrt{x} \) è:

\[ df = f'(x_0)\,dx = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}\,dx \]

Nel punto \( x_0 = 9 \), abbiamo \( f'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{6} \). L’incremento della variabile indipendente è \( dx = x - x_0 = 9.15 - 9 = 0.15 \).

Dunque:

\[ df = \frac{1}{6} \cdot 0.15 = 0.025 \]

Il valore approssimato di \( \sqrt{9.15} \) può essere ottenuto a partire dallo sviluppo lineare di \( f(x) = \sqrt{x} \) nel punto \( x_0 = 9 \):

\[ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \]

Poiché \( f(9) = 3 \) e \( f'(9) = \frac{1}{6} \), otteniamo:

\[ \sqrt{9.15} \approx 3 + \frac{1}{6} \cdot (9.15 - 9) = 3 + \frac{1}{6} \cdot 0.15 = 3 + 0.025 = 3.025 \]

In altre parole, stiamo sostituendo la funzione \( \sqrt{x} \) con la sua retta tangente nel punto \( x_0 = 9 \). Il termine \( f'(x_0)(x - x_0) \) coincide con il differenziale \( df \) e rappresenta la variazione lineare stimata di \( f(x) \) per un piccolo incremento di \( x \).

Questo significa che, per un piccolo incremento di \( x \) da 9 a 9.15, la variazione della funzione \( \sqrt{x} \) è approssimativamente pari a \( df = 0.025 \), poiché in \( x_0 = 9 \) la pendenza della tangente (cioè \( f'(9) \)) è pari a \( \tfrac{1}{6} \).

2. Confronto con il valore reale

Utilizzando una calcolatrice, si ottiene:

\[ \sqrt{9.15} = 3.02484\ldots \]

L’approssimazione differenziale fornisce un valore praticamente identico a quello reale, poiché \( x = 9.15 \) è molto vicino al punto di riferimento \( x_0 = 9 \).

3. Significato geometrico

Il differenziale rappresenta l’incremento della funzione \( f(x) = \sqrt{x} \) lungo la tangente al grafico nel punto \( (9, 3) \). In pratica, abbiamo sostituito la curva di \( \sqrt{x} \) con la sua retta tangente in \( x = 9 \), che ha pendenza \( f'(9) = \tfrac{1}{6} \).

L’ottima coincidenza tra il valore approssimato (\(3.025\)) e quello reale (\(3.0248\)) mostra che, per piccoli incrementi di \(x\), il differenziale fornisce una stima estremamente precisa dell’incremento reale della funzione.

Risultato finale:
Approssimazione con differenziale: \( \sqrt{9.15} \approx 3.025 \)
Valore reale (calcolatrice): \( \sqrt{9.15} \approx 3.0248 \)

Soluzione quesito 5:

1. Richiamo teorico

L'area di un cerchio di raggio \(r\) è \[ A(r)=\pi r^2. \] Se la variabile \(r\) subisce un piccolo incremento \(dr\), il differenziale dell'area è \[ dA = A'(r)\,dr, \] dove \(A'(r)\) è la derivata di \(A\) rispetto a \(r\). Questo deriva dallo sviluppo lineare (approssimazione di primo ordine): \[ A(r+dr)\approx A(r)+A'(r)\,dr, \] cioè l'incremento reale \(\Delta A\) è approssimato dal differenziale \(dA\) quando \(dr\) è piccolo.

2. Calcolo della derivata

Derivando \(A(r)=\pi r^2\) rispetto a \(r\): \[ A'(r)=\frac{d}{dr}(\pi r^2)=2\pi r. \] Quindi il differenziale vale: \[ dA = 2\pi r\,dr. \]

3. Conversione delle unità

Poiché il raggio è espresso in metri, convertiamo i millimetri in metri:

• \(6\ \text{mm} = 6 \times 10^{-3}\ \text{m} = 0.006\ \text{m}\).
• \(8\ \text{mm} = 8 \times 10^{-3}\ \text{m} = 0.008\ \text{m}\).

4. Caso A — aumento del raggio di \(6\ \text{mm}\)

Dati: \(r=5\ \text{m}\) e \(dr = +0.006\ \text{m}\). Applichiamo la formula del differenziale:

\[ dA = 2\pi r\,dr = 2\pi \cdot 5 \cdot 0.006. \]

Calcolo passo-passo: \[ 2\pi \cdot 5 = 10\pi, \] poi \[ 10\pi \cdot 0.006 = 0.06\pi. \] Espresso in forma numerica: \[ 0.06\pi \approx 0.06 \times 3.141592653589793 = 0.18849555921538757. \]

Quindi, l'area aumenta di circa \[ dA = 0.06\pi\ \text{m}^2 \approx 0.1885\ \text{m}^2. \]

5. Caso B — diminuzione del raggio di \(8\ \text{mm}\)

Dati: \(r=5\ \text{m}\) e \(dr = -0.008\ \text{m}\) (segno negativo perché il raggio diminuisce). Applichiamo la stessa formula:

\[ dA = 2\pi r\,dr = 2\pi \cdot 5 \cdot (-0.008). \]

Calcolo passo-passo: \[ 2\pi \cdot 5 = 10\pi, \] poi \[ 10\pi \cdot (-0.008) = -0.08\pi. \] Espresso numericamente: \[ -0.08\pi \approx -0.08 \times 3.141592653589793 = -0.25132741228718345. \]

Quindi, l'area diminuisce di circa \[ dA = -0.08\pi\ \text{m}^2 \approx -0.2513\ \text{m}^2. \]

6. Variazioni percentuali

Possiamo anche calcolare l'incremento relativo (percentuale) usando \[ \frac{dA}{A} = \frac{2\pi r\,dr}{\pi r^2} = \frac{2\,dr}{r}. \] Per l'aumento: \[ \frac{dA}{A} = \frac{2 \cdot 0.006}{5} = \frac{0.012}{5} = 0.0024 = 0.24\%. \] Per la diminuzione: \[ \frac{dA}{A} = \frac{2 \cdot (-0.008)}{5} = \frac{-0.016}{5} = -0.0032 = -0.32\%. \] Quindi l'aumento corrisponde a circa \(+0{,}24\%\) dell'area originale, la diminuzione a circa \(0{,}32\%\).

8. Risultati finali (sintesi)

- Aumento per \(dr=+6\ \text{mm}\): \( \displaystyle dA = 0.06\pi\ \text{m}^2 \approx \mathbf{0.1885\ \text{m}^2} \) (≈ +0,24\%).
- Diminuzione per \(dr=-8\ \text{mm}\): \( \displaystyle dA = -0.08\pi\ \text{m}^2 \approx \mathbf{-0.2513\ \text{m}^2} \) (≈ −0,32\%).

Soluzione quesito 6:

1. Richiamo teorico

La superficie di una sfera di raggio \(r\) è data da: \[ S(r) = 4\pi r^2. \] Se il raggio subisce una piccola variazione \(dr\), il differenziale della superficie è: \[ dS = S'(r)\,dr. \] In generale, per una funzione differenziabile \(S(r)\), il differenziale rappresenta la variazione lineare approssimata: \[ \Delta S \approx dS = S'(r)\,dr. \]

2. Calcolo del differenziale

Derivando rispetto a \(r\): \[ S'(r) = \frac{d}{dr}(4\pi r^2) = 8\pi r. \] Quindi: \[ dS = 8\pi r\,dr. \]

3. Conversione delle unità

Convertiamo centimetri in metri:

• \(1\ \text{cm} = 0.01\ \text{m}\)
• \(2\ \text{cm} = 0.02\ \text{m}\)

4. Caso A — aumento del raggio di 1 cm

Dati: \(r = 4\ \text{m}\), \(dr = +0.01\ \text{m}\). \[ dS = 8\pi r\,dr = 8\pi \cdot 4 \cdot 0.01 = 0.32\pi. \] Numericamente: \[ 0.32\pi \approx 0.32 \times 3.1416 = 1.0053\ \text{m}^2. \] Quindi la superficie aumenta di circa \(1.005\ \text{m}^2.\)

5. Caso B — diminuzione del raggio di 2 cm

Dati: \(r = 4\ \text{m}\), \(dr = -0.02\ \text{m}\). \[ dS = 8\pi r\,dr = 8\pi \cdot 4 \cdot (-0.02) = -0.64\pi. \] Numericamente: \[ -0.64\pi \approx -0.64 \times 3.1416 = -2.0106\ \text{m}^2. \] Quindi la superficie diminuisce di circa \(2.01\ \text{m}^2.\)

6. Calcolo della variazione percentuale

L’area iniziale (superficie della sfera) è: \[ S = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi \approx 201.06\ \text{m}^2. \] La variazione relativa (percentuale) è: \[ \frac{dS}{S} = \frac{8\pi r\,dr}{4\pi r^2} = \frac{2\,dr}{r}. \]

Per l’aumento: \[ \frac{dS}{S} = \frac{2 \cdot 0.01}{4} = 0.005 = 0.5\%. \] Per la diminuzione: \[ \frac{dS}{S} = \frac{2 \cdot (-0.02)}{4} = -0.01 = -1\%. \]

Quindi:

• Quando il raggio aumenta di \(1\ \text{cm}\), la superficie cresce di circa +0.5%.
• Quando il raggio diminuisce di \(2\ \text{cm}\), la superficie diminuisce di circa 1%.

7. Giustificazione e commento teorico

Il differenziale \(dS = 8\pi r\,dr\) è ottenuto dalla derivata di \(S(r)\) e fornisce la variazione lineare approssimata della superficie rispetto alla variazione del raggio. Tale approssimazione è valida perché \(dr\) (pari a pochi centimetri) è molto piccolo rispetto al raggio di 4 m, quindi il termine quadratico nel differenziale totale può essere trascurato.

L’approssimazione evidenzia che la variazione relativa della superficie è circa il doppio della variazione relativa del raggio: \[ \frac{dS}{S} = 2\frac{dr}{r}. \] Questo risultato ha un chiaro significato geometrico: poiché la superficie dipende dal quadrato del raggio, un piccolo aumento del raggio produce una variazione percentuale doppia nella superficie.

8. Risultati finali (sintesi)

- Aumento di \(1\ \text{cm}\): \(dS = 0.32\pi \approx \mathbf{1.01\ \text{m}^2}\), variazione ≈ \(+0.5\%\).
- Diminuzione di \(2\ \text{cm}\): \(dS = -0.64\pi \approx \mathbf{-2.01\ \text{m}^2}\), variazione ≈ \(−1\%\).

Soluzione quesito 7:

1. Richiamo teorico

La formula dell’energia potenziale elettrica è: \[ U(r) = k\,\frac{Qq}{r}. \] Il differenziale \(dU\) rappresenta la variazione approssimata dell’energia quando \(r\) cambia di una piccola quantità \(dr\): \[ dU = U'(r)\,dr. \] Questo concetto deriva dallo sviluppo lineare: \[ \Delta U \approx dU = \frac{dU}{dr}\,dr. \]

2. Calcolo della derivata

Deriviamo \(U(r)\) rispetto a \(r\): \[ U'(r) = \frac{d}{dr}\!\left(k\,\frac{Qq}{r}\right) = -k\,\frac{Qq}{r^2}. \] Quindi: \[ dU = -k\,\frac{Qq}{r^2}\,dr. \] Il segno “−” indica che, all’aumentare della distanza \(r\), l’energia potenziale diminuisce.

3. Sostituzione dei valori numerici

Dati: \[ k = 9.0\times10^9,\quad Q = 2.0\times10^{-6}\ \text{C},\quad q = 3.0\times10^{-6}\ \text{C}, \] \[ r = 2.00\ \text{m},\quad dr = +0.02\ \text{m}. \] Sostituiamo nella formula del differenziale: \[ dU = -9.0\times10^9 \cdot \frac{(2.0\times10^{-6})(3.0\times10^{-6})}{(2.00)^2}\cdot 0.02. \]

4. Calcolo numerico passo–passo

- Prodotto \(Qq = (2.0\times10^{-6})(3.0\times10^{-6}) = 6.0\times10^{-12}\).
- \(r^2 = (2.00)^2 = 4.00\).
- Frazione \(\frac{Qq}{r^2} = \frac{6.0\times10^{-12}}{4.00} = 1.5\times10^{-12}\).
- Ora: \[ dU = -9.0\times10^9 \cdot (1.5\times10^{-12}) \cdot 0.02. \] \[ dU = -9.0\times10^9 \cdot 3.0\times10^{-14} = -2.7\times10^{-4}\ \text{J}. \]

5. Interpretazione del risultato

Il differenziale fornisce la variazione approssimata dell’energia potenziale quando la distanza varia di \(dr = 0.02\ \text{m}\): \[ dU \approx -2.7\times10^{-4}\ \text{J}. \] Significato fisico: l’energia potenziale diminuisce (segno negativo) perché le cariche si allontanano.

6. Variazione percentuale (facoltativo)

L’energia iniziale vale: \[ U = k\,\frac{Qq}{r} = 9.0\times10^9 \cdot \frac{6.0\times10^{-12}}{2.00} = 2.7\times10^{-2}\ \text{J}. \] La variazione relativa è: \[ \frac{dU}{U} = \frac{-2.7\times10^{-4}}{2.7\times10^{-2}} = -0.01 = -1\%. \] Quindi, l’energia potenziale diminuisce di circa 1% quando la distanza cresce di \(1\%\).

7. Conclusione

- Variazione approssimata dell’energia potenziale: \[ dU \approx -2.7\times10^{-4}\ \text{J}. \] - Energia iniziale: \[ U \approx 2.7\times10^{-2}\ \text{J}. \] - Variazione percentuale: circa −1%.

Interpretazione finale: il differenziale fornisce una stima molto precisa della variazione di energia potenziale per piccole variazioni della distanza. In termini fisici, l’energia potenziale di due cariche positive diminuisce leggermente quando si allontanano, perché la forza repulsiva compie lavoro positivo spingendole una lontano dall’altra.

Soluzione quesito 8:

1. Richiamo teorico

Il costo medio di produzione per unità è: \[ C_m(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{5000 + 20x + 0.1x^2}{x} = \frac{5000}{x} + 20 + 0.1x. \] Il differenziale \(dC_m\) rappresenta la variazione approssimata del costo medio quando la produzione cambia di una piccola quantità \(dx\): \[ dC_m = C_m'(x)\,dx. \] Questo concetto deriva dall'approssimazione lineare: \[ \Delta C_m \approx dC_m = C_m'(x)\,dx. \]

2. Calcolo della derivata

Deriviamo \(C_m(x)\) rispetto a \(x\): \[ C_m'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{5000}{x} + 20 + 0.1x\right) = -\frac{5000}{x^2} + 0.1. \] Quindi: \[ dC_m = \left(-\frac{5000}{x^2} + 0.1\right)\,dx. \]

3. Sostituzione dei valori numerici

Dati: \[ x = 100 \quad \text{unità},\quad dx = +5 \quad \text{unità}. \] Sostituiamo nella formula del differenziale: \[ dC_m = \left(-\frac{5000}{(100)^2} + 0.1\right) \cdot 5. \]

4. Calcolo numerico passo-passo

- Calcoliamo \(x^2 = (100)^2 = 10\,000\).
- Frazione: \(\frac{5000}{10\,000} = 0.5\).
- Derivata nel punto: \(C_m'(100) = -0.5 + 0.1 = -0.4\).
- Differenziale: \[ dC_m = -0.4 \cdot 5 = -2.0\ \text{euro/unità}. \]

5. Interpretazione del risultato

Il differenziale fornisce la variazione approssimata del costo medio quando la produzione aumenta di 5 unità: \[ dC_m \approx -2.0\ \text{euro/unità}. \] Significato economico: il costo medio per unità diminuisce (segno negativo) di circa 2 euro/unità quando l'azienda aumenta la produzione da 100 a 105 unità. Questo fenomeno è dovuto alle economie di scala: i costi fissi (5000 euro) vengono distribuiti su un numero maggiore di unità, riducendo il costo medio unitario.

6. Verifica con il calcolo esatto

Calcoliamo il costo medio esatto nei due punti: \[ C_m(100) = \frac{5000}{100} + 20 + 0.1 \cdot 100 = 50 + 20 + 10 = 80 \text{ euro/unità}. \] \[ C_m(105) = \frac{5000}{105} + 20 + 0.1 \cdot 105 = 47.619 + 20 + 10.5 = 78.119 \text{ euro/unità}. \] Variazione esatta: \[ \Delta C_m = 78.119 - 80 = -1.881 \text{ euro/unità}. \] L'approssimazione \(dC_m = -2.0\) euro è molto vicina al valore esatto!

L’errore relativo tra approssimazione e valore esatto è circa del 6%, quindi il differenziale fornisce un’ottima stima per un incremento di 5 unità.

7. Variazione percentuale

Il costo medio iniziale è \(C_m(100) = 80\) euro/unità. La variazione relativa è: \[ \frac{dC_m}{C_m} = \frac{-2.0}{80} = -0.025 = -2.5\%. \] Quindi, il costo medio diminuisce di circa 2.5% quando la produzione aumenta del 5%.

8. Analisi economica approfondita

La derivata \(C_m'(x) = -\frac{5000}{x^2} + 0.1\) ci dice come varia il costo medio al variare della produzione:

• Il termine \(-\frac{5000}{x^2}\) rappresenta l'effetto della distribuzione dei costi fissi (i 5000 euro iniziali): più produciamo, più il loro peso sul costo unitario diminuisce. Questo termine è sempre negativo e contribuisce a ridurre il costo medio.
• Il termine \(+0.1\) deriva dalla componente quadratica \(0.1x^2\) del costo totale e rappresenta l'effetto dei costi variabili crescenti: all'aumentare della produzione, i costi marginali crescono (ad esempio per inefficienze, straordinari, usura dei macchinari, ecc.). Questo termine tende ad aumentare il costo medio.
• Nel nostro caso, a \(x=100\), l'effetto della riduzione dei costi fissi unitari prevale (\(|-0.5| > |+0.1|\)), quindi \(C_m'(100) = -0.4 < 0\), il che significa che conviene aumentare la produzione perché il costo medio sta ancora diminuendo.

9. Conclusione

- Variazione approssimata del costo medio: \[ dC_m \approx -2.0 \text{ euro/unità}. \] - Costo medio iniziale: \(C_m(100) = 80\) euro/unità. - Variazione percentuale: circa −2.5%.

Interpretazione economica finale: Aumentando la produzione da 100 a 105 unità, l'azienda beneficia di economie di scala che riducono il costo medio unitario di circa 2 euro/unità (−2.5%). Questo suggerisce che, a questo livello di produzione, l'azienda potrebbe ancora beneficiare dall'espansione produttiva, almeno nel breve termine.