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Il Differenziale di una Funzione. Definizione, esempi, applicazioni.

Un utile strumento per approssimare una funzione, un numero e per valutare la variazione di una grandezza.

Definizione del Differenziale di una Funzione

Sia \( y = f(x) \) una funzione derivabile in un punto \( x \). Il differenziale della funzione \( f \) nel punto \( x \), corrispondente a un incremento \( \Delta x \) della variabile indipendente, è definito come:

\[ dy = df = f'(x) \cdot \Delta x \]

Dove:

  • \( dy \) (o \( df \)) rappresenta il differenziale della funzione
  • \( f'(x) \) è la derivata della funzione nel punto \( x \)
  • \( \Delta x \) è l'incremento della variabile indipendente

Notazione: perché scriviamo \( dx \) al posto di \( \Delta x \)?

La notazione con \( dx \) deriva da una considerazione particolare. Consideriamo la funzione identità \( y = f(x) = x \).

La funzione identità:

Per la funzione \( y = x \), la derivata è \( f'(x) = 1 \).

Applicando la definizione di differenziale:

\[ dy = f'(x) \cdot \Delta x = 1 \cdot \Delta x = \Delta x \]

Quindi, per la funzione identità, il differenziale coincide con l'incremento: \( dy = \Delta x \).

La notazione \( dx \):

Poiché per \( y = x \) abbiamo \( dy = \Delta x \), possiamo indicare l'incremento \( \Delta x \) con il simbolo \( dx \), cioè il differenziale della variabile indipendente.

Di conseguenza, la formula del differenziale può essere scritta in modo più compatto come:

\[ dy = f'(x) \cdot dx \]

Questa notazione è universalmente utilizzata in matematica e mette in evidenza il legame tra differenziale e derivata.

La notazione di Leibniz per la derivata:

Dalla definizione del differenziale \( dy = f'(x) \cdot dx \), possiamo ricavare la derivata dividendo entrambi i membri per \( dx \) (con \( dx \neq 0 \)):

\[ f'(x) = \frac{dy}{dx} \]

Questa è la celebre notazione di Leibniz per la derivata, introdotta dal matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), uno dei fondatori del calcolo infinitesimale insieme a Isaac Newton.

La notazione \( \frac{dy}{dx} \) rappresenta la derivata come rapporto di differenziali e ha un profondo significato geometrico: esprime il tasso di variazione istantaneo di \( y \) rispetto a \( x \).

Quindi possiamo scrivere equivalentemente:

\[ f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} \]

Questa notazione è estremamente potente e intuitiva, ed è ampiamente utilizzata in fisica, ingegneria e in tutte le scienze applicate per rappresentare velocità di cambiamento e relazioni tra grandezze variabili.

Esempi di calcolo del differenziale

Esempio 1: Differenziale in un punto generico

Calcolare il differenziale della funzione \( f(x) = x^2 \) in un punto generico \( x \).

Soluzione:

Calcoliamo la derivata: \( f'(x) = 2x \)

Il differenziale è:

\[ df = f'(x) \cdot dx = 2x \cdot dx \]

Esempio 2: Differenziale in un punto specifico

Calcolare il differenziale della funzione \( f(x) = x^3 - 2x \) nel punto \( x_0 = 2 \).

Soluzione:

Calcoliamo la derivata: \( f'(x) = 3x^2 - 2 \)

Valutiamo la derivata in \( x_0 = 2 \):

\[ f'(2) = 3(2)^2 - 2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10 \]

Il differenziale nel punto \( x_0 = 2 \) è:

\[ df = f'(2) \cdot dx = 10 \cdot dx \]

Esempio 3: Differenziale con punto e incremento dati

Calcolare il differenziale della funzione \( f(x) = \sqrt{x} \) nel punto \( x_0 = 4 \) con incremento \( \Delta x = 0.1 \).

Soluzione:

Calcoliamo la derivata: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

Valutiamo la derivata in \( x_0 = 4 \):

\[ f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \]

Il differenziale con \( dx = \Delta x = 0.1 \) è:

\[ df = f'(4) \cdot dx = \frac{1}{4} \cdot 0.1 = 0.025 \]

Interpretazione geometrica del risultato:

Il differenziale \( df = 0.025 \) rappresenta l'incremento lungo la retta tangente al grafico della funzione nel punto \( x_0 = 4 \).

Interpretazione geometrica del differenziale: dy è l'incremento lungo la tangente, mentre Δy è l'incremento lungo la curva

Come si vede dalla figura:

  • Il differenziale \( dy \) (segmento verticale FG) rappresenta la variazione calcolata lungo la retta tangente quando \( x \) aumenta di \( \Delta x = 0.1 \)
  • L'incremento reale \( \Delta y \) (segmento verticale QA) rappresenta la variazione effettiva lungo la curva della funzione
  • La differenza tra i due (FG-QA), è l'errore di approssimazione (tanto più piccolo quanto più \( \Delta x \) è piccolo)

Confronto numerico:

  • La variazione reale della funzione è: \( \Delta f = \Delta y =f(4.1) - f(4) = \sqrt{4.1} - \sqrt{4} = 2.0248... - 2 = 0.0248... \)
  • La variazione approssimata tramite il differenziale è: \( df =dy= 0.025 \)
  • L'errore è: \( |\Delta y - dy| \approx 0.0002 \), cioè solo lo 0.8%!

Il differenziale fornisce quindi una stima molto accurata della variazione reale. L'approssimazione è tanto più precisa quanto più piccolo è l'incremento \( \Delta x \).

Conclusione geometrica: Il differenziale rappresenta la variazione lungo la retta tangente al grafico della funzione, mentre \( \Delta f \) rappresenta la variazione lungo la curva effettiva. Sostituire \( \Delta f \) con \( df \) equivale geometricamente a sostituire la curva con la sua tangente nell'intorno del punto considerato.

Significato geometrico del differenziale

Il differenziale di una funzione ha un'importante interpretazione geometrica che ci aiuta a comprendere meglio il suo significato e la sua utilità pratica.

Consideriamo una funzione \( y = f(x) \) derivabile in un punto \( x_0 \) e un incremento \( \Delta x \) della variabile indipendente.

Interpretazione geometrica del differenziale: dy è l'incremento lungo la tangente, mentre Δy è l'incremento lungo la curva

Analisi della figura

Gli elementi del grafico:
  • La curva nera rappresenta il grafico della funzione \( y = f(x) \)
  • La retta rossa (t) è la retta tangente al grafico nel punto \( P(x_0, f(x_0)) \)
  • Il punto \( P \) ha coordinate \( (x_0, f(x_0)) \) ed è il punto di tangenza
  • Il punto \( Q \) sulla curva ha ascissa \( x_0 + \Delta x \) e ordinata \( f(x_0 + \Delta x) \)
  • Il punto \( Q_1 \) sulla tangente ha ascissa \( x_0 + \Delta x \) e la stessa ordinata del punto sulla retta tangente
L'incremento della variabile indipendente:

Il segmento orizzontale \( \Delta x \) rappresenta l'incremento della variabile indipendente quando passiamo da \( x_0 \) a \( x_0 + \Delta x \).

\[ \Delta x = (x_0 + \Delta x) - x_0 \]

Questo incremento è rappresentato dal segmento orizzontale tra i punti \( D \) ed \( E \).

L'incremento effettivo della funzione \( \Delta y \):

Il segmento verticale \(QA\) verde \( \Delta y \) rappresenta la variazione reale della funzione quando \( x \) passa da \( x_0 \) a \( x_0 + \Delta x \), cioè la variazione lungo la curva.

\[ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \]

Questo è il segmento verticale che va dal punto \(A\) con la stessa ordinata del punto \(P\) sulla tangente al punto \( Q \) sulla curva.

Il differenziale \( dy \):

Il segmento verticale \( dy \) (indicato sulla destra del grafico) rappresenta la variazione lungo la retta tangente quando \( x \) passa da \( x_0 \) a \( x_0 + \Delta x \).

\[ dy = f'(x_0) \cdot \Delta x \]

Geometricamente, \( dy \) è l'ordinata del punto \( Q_1 \) sulla tangente meno l'ordinata del punto \( P \).

Poiché la retta tangente ha coefficiente angolare \( m = f'(x_0) = \tan(\alpha) \), dove \( \alpha \) è l'angolo formato dalla tangente con l'asse delle \( x \), possiamo dire che:

\[ dy = \tan(\alpha) \cdot \Delta x = f'(x_0) \cdot \Delta x \]

Confronto tra \( \Delta y \) e \( dy \)

Dalla figura emerge chiaramente che:

  • \( \Delta y \) è la variazione effettiva della funzione (lungo la curva)
  • \( dy \) è la variazione approssimata (lungo la tangente)
  • La differenza \( |\Delta y - dy| \) rappresenta l'errore di approssimazione

Si osserva che:

\[ \Delta y \approx dy \quad \text{quando } \Delta x \text{ è piccolo} \]

Più \( \Delta x \) è piccolo, più la curva e la sua tangente sono vicine nell'intorno del punto \( P \), e quindi più accurata è l'approssimazione.

Conclusione geometrica:

Il differenziale \( dy \) rappresenta l'incremento che subirebbe la funzione se, anziché seguire la curva effettiva, seguisse la retta tangente al grafico nel punto \( (x_0, f(x_0)) \).

In altre parole: sostituire \( \Delta y \) con \( dy \) equivale geometricamente a sostituire localmente la curva con la sua retta tangente.

Questa approssimazione lineare è alla base di molte applicazioni pratiche del calcolo differenziale in fisica, ingegneria ed economia.

Formula fondamentale dell'approssimazione: \[ f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x \]
ovvero: \[ f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + dy \]

Il differenziale come strumento di approssimazione

Una delle applicazioni più utili del differenziale è la possibilità di approssimare valori numerici di funzioni senza l'uso della calcolatrice, utilizzando solo valori "facili" e la derivata.

Formula fondamentale per l'approssimazione: \[ f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x \]

Il metodo prevede queste fasi:

  • Scegliere un punto \( x_0 \) vicino al valore che vogliamo calcolare, ma per cui conosciamo facilmente \( f(x_0) \)
  • Calcolare l'incremento \( \Delta x = x - x_0 \) (deve essere piccolo!)
  • Calcolare la derivata \( f'(x_0) \)
  • Applicare la formula: \( f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x \)

Esempi numerici

Utilizzando il concetto di differenziale, troviamo valori approssimati delle seguenti espressioni e confrontiamoli con i valori ottenuti con una calcolatrice.

Esempio a) Calcolare \( \ln(2.8) \)

Impostazione:

Consideriamo la funzione \( f(x) = \ln(x) \)

Scegliamo \( x_0 = e \approx 2.718 \) (valore vicino a 2.8 e per cui conosciamo \( \ln(e) = 1 \))

Incremento: \( \Delta x = 2.8 - e \approx 2.8 - 2.718 = 0.082 \)

Calcolo della derivata:
\[ f'(x) = \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad f'(e) = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2.718} \approx 0.368 \]
Applicazione della formula:
\[ \ln(2.8) \approx \ln(e) + f'(e) \cdot \Delta x \] \[ \ln(2.8) \approx 1 + 0.368 \cdot 0.082 \] \[ \ln(2.8) \approx 1 + 0.030 \] \[ \ln(2.8) \approx 1.030 \]
Confronto con la calcolatrice:

Valore esatto: \( \ln(2.8) \approx 1.0296 \)

Valore approssimato: \( 1.030 \)

Errore: circa 0.0004 (eccellente approssimazione!)

Esempio b) Calcolare \( \sqrt{4.2} \)

Impostazione:

Consideriamo la funzione \( f(x) = \sqrt{x} \)

Scegliamo \( x_0 = 4 \) (valore vicino e per cui \( \sqrt{4} = 2 \))

Incremento: \( \Delta x = 4.2 - 4 = 0.2 \)

Calcolo della derivata:
\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad \Rightarrow \quad f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} = 0.25 \]
Applicazione della formula:
\[ \sqrt{4.2} \approx \sqrt{4} + f'(4) \cdot \Delta x \] \[ \sqrt{4.2} \approx 2 + 0.25 \cdot 0.2 \] \[ \sqrt{4.2} \approx 2 + 0.05 \] \[ \sqrt{4.2} \approx 2.05 \]
Confronto con la calcolatrice:

Valore esatto: \( \sqrt{4.2} \approx 2.0494 \)

Valore approssimato: \( 2.05 \)

Errore: circa 0.0006 (ottima approssimazione!)

Esempio c) Calcolare \( \sqrt[3]{8.3} \)

Impostazione:

Consideriamo la funzione \( f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \)

Scegliamo \( x_0 = 8 \) (valore vicino e per cui \( \sqrt[3]{8} = 2 \))

Incremento: \( \Delta x = 8.3 - 8 = 0.3 \)

Calcolo della derivata:
\[ f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \quad \Rightarrow \quad f'(8) = \frac{1}{3\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12} \approx 0.0833 \]
Applicazione della formula:
\[ \sqrt[3]{8.3} \approx \sqrt[3]{8} + f'(8) \cdot \Delta x \] \[ \sqrt[3]{8.3} \approx 2 + 0.0833 \cdot 0.3 \] \[ \sqrt[3]{8.3} \approx 2 + 0.025 \] \[ \sqrt[3]{8.3} \approx 2.025 \]
Confronto con la calcolatrice:

Valore esatto: \( \sqrt[3]{8.3} \approx 2.0246 \)

Valore approssimato: \( 2.025 \)

Errore: circa 0.0004 (eccellente approssimazione!)

Esempio d) Calcolare \( (3.024)^2 \)

Impostazione:

Consideriamo la funzione \( f(x) = x^2 \)

Scegliamo \( x_0 = 3 \) (valore vicino e per cui \( 3^2 = 9 \))

Incremento: \( \Delta x = 3.024 - 3 = 0.024 \)

Calcolo della derivata:
\[ f'(x) = 2x \quad \Rightarrow \quad f'(3) = 2 \cdot 3 = 6 \]
Applicazione della formula:
\[ (3.024)^2 \approx 3^2 + f'(3) \cdot \Delta x \] \[ (3.024)^2 \approx 9 + 6 \cdot 0.024 \] \[ (3.024)^2 \approx 9 + 0.144 \] \[ (3.024)^2 \approx 9.144 \]
Confronto con la calcolatrice:

Valore esatto: \( (3.024)^2 = 9.144576 \)

Valore approssimato: \( 9.144 \)

Errore: circa 0.0006 (ottima approssimazione!)

Esempio e) Calcolare \( e^{0.06} \)

Impostazione:

Consideriamo la funzione \( f(x) = e^x \)

Scegliamo \( x_0 = 0 \) (valore vicino e per cui \( e^0 = 1 \))

Incremento: \( \Delta x = 0.06 - 0 = 0.06 \)

Calcolo della derivata:
\[ f'(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad f'(0) = e^0 = 1 \]
Applicazione della formula:
\[ e^{0.06} \approx e^0 + f'(0) \cdot \Delta x \] \[ e^{0.06} \approx 1 + 1 \cdot 0.06 \] \[ e^{0.06} \approx 1.06 \]
Confronto con la calcolatrice:

Valore esatto: \( e^{0.06} \approx 1.0618 \)

Valore approssimato: \( 1.06 \)

Errore: circa 0.0018 (buona approssimazione!)

Esempio f) Calcolare \( \sin(31°) \)

Impostazione:

Consideriamo la funzione \( f(x) = \sin(x) \) (con \( x \) in radianti)

Convertiamo: \( 31° = 31 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0.5411 \) radianti

Scegliamo \( x_0 = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236 \) radianti (30°, per cui \( \sin(30°) = 0.5 \))

Incremento: \( \Delta x \approx 0.5411 - 0.5236 = 0.0175 \) radianti

Calcolo della derivata:
\[ f'(x) = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad f'(\pi/6) = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \]
Applicazione della formula:
\[ \sin(31°) \approx \sin(30°) + \cos(30°) \cdot \Delta x \] \[ \sin(31°) \approx 0.5 + 0.866 \cdot 0.0175 \] \[ \sin(31°) \approx 0.5 + 0.0152 \] \[ \sin(31°) \approx 0.515 \]
Confronto con la calcolatrice:

Valore esatto: \( \sin(31°) \approx 0.5150 \)

Valore approssimato: \( 0.515 \)

Errore: praticamente nullo (approssimazione eccellente!)

Esempio g) Calcolare \( \frac{1}{2.98} \)

Impostazione:

Consideriamo la funzione \( f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \)

Scegliamo \( x_0 = 3 \) (valore vicino e per cui \( \frac{1}{3} \approx 0.3333 \))

Incremento: \( \Delta x = 2.98 - 3 = -0.02 \) (negativo!)

Calcolo della derivata:
\[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \quad \Rightarrow \quad f'(3) = -\frac{1}{9} \approx -0.1111 \]
Applicazione della formula:
\[ \frac{1}{2.98} \approx \frac{1}{3} + f'(3) \cdot \Delta x \] \[ \frac{1}{2.98} \approx 0.3333 + (-0.1111) \cdot (-0.02) \] \[ \frac{1}{2.98} \approx 0.3333 + 0.0022 \] \[ \frac{1}{2.98} \approx 0.3355 \]
Confronto con la calcolatrice:

Valore esatto: \( \frac{1}{2.98} \approx 0.3356 \)

Valore approssimato: \( 0.3355 \)

Errore: circa 0.0001 (ottima approssimazione!)

Osservazioni importanti:
  • L'approssimazione è tanto più accurata quanto più piccolo è \( \Delta x \)
  • È fondamentale scegliere un punto \( x_0 \) vicino al valore da calcolare
  • Il metodo funziona anche con \( \Delta x \) negativo (esempio g)
  • Questo metodo era fondamentale prima dell'era delle calcolatrici elettroniche!

Il differenziale per calcolare variazioni di grandezze geometriche

Il differenziale è uno strumento potente per stimare variazioni di grandezze geometriche (aree, volumi, superfici) quando una o più dimensioni subiscono piccole variazioni.

Il metodo prevede i seguenti passi:

  • Esprimere la grandezza geometrica come funzione della variabile che cambia (es. \( A = A(r) \), \( V = V(r) \), ecc.)
  • Calcolare il differenziale: \( dG = G'(x_0) \cdot dx \)
  • Interpretare \( dG \) come la variazione approssimata della grandezza
Formula generale: Se una grandezza \( G \) dipende da una variabile \( x \), la variazione di \( G \) quando \( x \) varia di \( \Delta x \) è: \[ \Delta G \approx dG = G'(x) \cdot dx \]

Esempi di applicazioni geometriche

Esempio a) Variazione dell'area di un cerchio

Problema: Calcolare di quanto aumenta l'area di un cerchio di raggio \( R = 3 \) m quando il raggio aumenta di 1 mm.

Impostazione:

L'area del cerchio è: \( A(r) = \pi r^2 \)

Raggio iniziale: \( R = 3 \) m

Variazione del raggio: \( \Delta r = 1 \text{ mm} = 0.001 \text{ m} \)

Calcolo della derivata:
\[ A'(r) = 2\pi r \] \[ A'(3) = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \text{ m} \]
Calcolo del differenziale:
\[ dA = A'(3) \cdot dr = 6\pi \cdot 0.001 = 0.006\pi \text{ m}^2 \] \[ dA \approx 0.0188 \text{ m}^2 = 188 \text{ cm}^2 \]
Interpretazione:

L'area del cerchio aumenta di circa 0.0188 m² (ovvero 188 cm²) quando il raggio aumenta di 1 mm.

Nota geometrica: Il differenziale \( dA = 2\pi r \cdot dr \) rappresenta l'area di una "corona circolare" sottile di raggio interno \( r \) e spessore \( dr \).

Esempio b) Variazione del volume di un cilindro

Problema: Un cilindro ha area di base \( A_b = 5 \) m² e altezza \( h = 10 \) m. Calcolare come varia il volume se il raggio di base aumenta di 2 cm.

Impostazione:

Il volume del cilindro è: \( V = A_b \cdot h = \pi r^2 h \)

Dall'area di base: \( \pi r^2 = 5 \) m² \( \Rightarrow r = \sqrt{\frac{5}{\pi}} \approx 1.262 \) m

Altezza: \( h = 10 \) m

Variazione del raggio: \( \Delta r = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m} \)

Calcolo della derivata:

Considerando \( V(r) = \pi r^2 h \) con \( h \) costante:

\[ V'(r) = 2\pi r h \] \[ V'(1.262) = 2\pi \cdot 1.262 \cdot 10 \approx 79.3 \text{ m}^2 \]
Calcolo del differenziale:
\[ dV = V'(r) \cdot dr = 79.3 \cdot 0.02 \approx 1.586 \text{ m}^3 \]
Interpretazione:

Il volume del cilindro aumenta di circa 1.59 m³ quando il raggio aumenta di 2 cm.

Nota: Si può anche scrivere \( dV = 2\pi r h \cdot dr = 2 \cdot A_b \cdot \frac{dr}{r} \cdot h \), che rappresenta il volume di un "guscio cilindrico" sottile.

Esempio c) Variazione del volume di una sfera

Problema: Una sfera ha raggio \( R = 5 \) m. Calcolare di quanto varia il volume se il raggio aumenta di 5 mm.

Impostazione:

Il volume della sfera è: \( V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \)

Raggio iniziale: \( R = 5 \) m

Variazione del raggio: \( \Delta r = 5 \text{ mm} = 0.005 \text{ m} \)

Calcolo della derivata:
\[ V'(r) = 4\pi r^2 \] \[ V'(5) = 4\pi \cdot 25 = 100\pi \text{ m}^2 \]

Osservazione importante: La derivata del volume è proprio la superficie della sfera: \( V'(r) = 4\pi r^2 = S(r) \)!

Calcolo del differenziale:
\[ dV = V'(5) \cdot dr = 100\pi \cdot 0.005 = 0.5\pi \text{ m}^3 \] \[ dV \approx 1.571 \text{ m}^3 \]
Interpretazione:

Il volume della sfera aumenta di circa 1.57 m³ quando il raggio aumenta di 5 mm.

Significato geometrico: \( dV = 4\pi r^2 \cdot dr \) rappresenta il volume di un "guscio sferico" sottile di raggio \( r \) e spessore \( dr \), la cui superficie esterna è \( 4\pi r^2 \).

Esempio d) Variazione del volume di un cubo

Problema: Un cubo ha lato \( l = 2 \) m. Calcolare di quanto varia il volume se il lato aumenta di 3 mm.

Impostazione:

Il volume del cubo è: \( V(l) = l^3 \)

Lato iniziale: \( l = 2 \) m

Variazione del lato: \( \Delta l = 3 \text{ mm} = 0.003 \text{ m} \)

Calcolo della derivata:
\[ V'(l) = 3l^2 \] \[ V'(2) = 3 \cdot 4 = 12 \text{ m}^2 \]
Calcolo del differenziale:
\[ dV = V'(2) \cdot dl = 12 \cdot 0.003 = 0.036 \text{ m}^3 = 36 \text{ dm}^3 \]
Interpretazione:

Il volume del cubo aumenta di circa 0.036 m³ (36 litri) quando il lato aumenta di 3 mm.

Verifica: Il volume esatto passa da \( 2^3 = 8 \) m³ a \( 2.003^3 \approx 8.0361 \) m³, quindi \( \Delta V \approx 0.0361 \) m³, molto vicino alla nostra approssimazione!

Esempio e) Variazione della superficie laterale di un cono

Problema: Un cono ha area di base \( A_b = 9\pi \) m² e altezza \( h = 4 \) m. Calcolare come varia la superficie laterale se il raggio diminuisce di 1 mm.

Impostazione:

Dall'area di base: \( \pi r^2 = 9\pi \) \( \Rightarrow r = 3 \) m

L'apotema è: \( a = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \) m

La superficie laterale è: \( S_l(r) = \pi r a = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} \)

Con \( h = 4 \) m costante: \( S_l(r) = \pi r \sqrt{r^2 + 16} \)

Variazione del raggio: \( \Delta r = -1 \text{ mm} = -0.001 \text{ m} \) (negativo perché diminuisce!)

Calcolo della derivata:

Usando la regola del prodotto e della catena:

\[ S_l'(r) = \pi \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}} \] \[ S_l'(r) = \pi \sqrt{r^2 + h^2} + \frac{\pi r^2}{\sqrt{r^2 + h^2}} \] \[ S_l'(r) = \frac{\pi(r^2 + h^2) + \pi r^2}{\sqrt{r^2 + h^2}} = \frac{\pi(2r^2 + h^2)}{\sqrt{r^2 + h^2}} \]

Per \( r = 3 \) m e \( h = 4 \) m:

\[ S_l'(3) = \frac{\pi(18 + 16)}{5} = \frac{34\pi}{5} \approx 21.36 \text{ m} \]
Calcolo del differenziale:
\[ dS_l = S_l'(3) \cdot dr = 21.36 \cdot (-0.001) = -0.0214 \text{ m}^2 \]
Interpretazione:

La superficie laterale del cono diminuisce di circa 0.0214 m² (214 cm²) quando il raggio diminuisce di 1 mm.

Il segno negativo indica che la superficie diminuisce, coerentemente con la diminuzione del raggio.

Esempio f) Variazione del perimetro di un rettangolo

Problema: Un rettangolo ha base \( b = 8 \) m e altezza \( h = 5 \) m. Calcolare come varia il perimetro se la base aumenta di 2 cm mentre l'altezza rimane costante.

Impostazione:

Il perimetro del rettangolo è: \( P(b) = 2b + 2h \) (con \( h \) costante)

Base iniziale: \( b = 8 \) m

Variazione della base: \( \Delta b = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m} \)

Calcolo della derivata:
\[ P'(b) = 2 \]

Interessante! La derivata è costante: ogni variazione della base produce una variazione doppia del perimetro.

Calcolo del differenziale:
\[ dP = P'(b) \cdot db = 2 \cdot 0.02 = 0.04 \text{ m} = 4 \text{ cm} \]
Interpretazione:

Il perimetro aumenta di 4 cm quando la base aumenta di 2 cm.

In questo caso, essendo la funzione lineare, il differenziale coincide esattamente con la variazione reale: \( dP = \Delta P \)!

Esempio g) Variazione dell'area di un triangolo equilatero

Problema: Un triangolo equilatero ha lato \( l = 6 \) m. Calcolare di quanto varia l'area se il lato diminuisce di 5 mm.

Impostazione:

L'area del triangolo equilatero è: \( A(l) = \frac{l^2\sqrt{3}}{4} \)

Lato iniziale: \( l = 6 \) m

Variazione del lato: \( \Delta l = -5 \text{ mm} = -0.005 \text{ m} \)

Calcolo della derivata:
\[ A'(l) = \frac{2l\sqrt{3}}{4} = \frac{l\sqrt{3}}{2} \] \[ A'(6) = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.196 \text{ m} \]
Calcolo del differenziale:
\[ dA = A'(6) \cdot dl = 5.196 \cdot (-0.005) = -0.026 \text{ m}^2 \]
Interpretazione:

L'area del triangolo diminuisce di circa 0.026 m² (260 cm²) quando il lato diminuisce di 5 mm.

Osservazioni finali:
  • Il differenziale permette di calcolare rapidamente variazioni di grandezze geometriche senza dover calcolare la differenza esatta
  • È particolarmente utile quando le variazioni sono piccole rispetto alle dimensioni originali
  • In molti casi, la derivata ha un significato geometrico diretto (es. \( V'_{sfera} = S_{sfera} \))
  • Il metodo si applica a qualsiasi grandezza che dipende da parametri geometrici
  • Le variazioni negative indicano diminuzioni della grandezza

Il differenziale nelle scienze applicate

Il concetto di differenziale trova numerose applicazioni pratiche in fisica, ingegneria ed economia, dove è fondamentale per analizzare come piccole variazioni di una grandezza influenzano altre grandezze da essa dipendenti.

In queste discipline, il differenziale viene utilizzato per:

  • Stimare l'effetto di piccoli errori di misura
  • Calcolare variazioni di grandezze fisiche ed economiche
  • Determinare la sensibilità di un sistema a variazioni dei parametri
  • Propagare incertezze nelle misure sperimentali

Applicazioni alla Fisica

Esempio a) Legge di Coulomb: variazione della forza elettrostatica

Problema: Due cariche elettriche puntiformi \( q_1 = 2 \times 10^{-6} \) C e \( q_2 = 3 \times 10^{-6} \) C sono poste a una distanza \( r = 0.5 \) m. Calcolare di quanto varia la forza elettrostatica se la distanza aumenta di 2 mm.

Richiami teorici:

La Legge di Coulomb esprime la forza elettrostatica tra due cariche:

\[ F(r) = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \]

dove \( k = 8.99 \times 10^9 \) N·m²/C² è la costante di Coulomb.

Impostazione:

Calcoliamo prima la forza iniziale:

\[ F(0.5) = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6} \cdot 3 \times 10^{-6}}{(0.5)^2} \] \[ F(0.5) = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{6 \times 10^{-12}}{0.25} = 8.99 \times 10^9 \cdot 24 \times 10^{-12} \] \[ F(0.5) \approx 0.216 \text{ N} \]

Variazione della distanza: \( \Delta r = 2 \text{ mm} = 0.002 \text{ m} \)

Calcolo della derivata:
\[ F'(r) = k q_1 q_2 \cdot \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r^2}\right) = k q_1 q_2 \cdot \left(-\frac{2}{r^3}\right) = -\frac{2k q_1 q_2}{r^3} \]

Per \( r = 0.5 \) m:

\[ F'(0.5) = -\frac{2 \cdot 8.99 \times 10^9 \cdot 6 \times 10^{-12}}{(0.5)^3} \] \[ F'(0.5) = -\frac{107.88 \times 10^{-3}}{0.125} \approx -0.863 \text{ N/m} \]
Calcolo del differenziale:
\[ dF = F'(0.5) \cdot dr = -0.863 \cdot 0.002 \approx -0.00173 \text{ N} \]
Interpretazione fisica:

La forza elettrostatica diminuisce di circa 0.00173 N (ovvero di circa lo 0.8%) quando la distanza aumenta di 2 mm.

Il segno negativo indica che la forza diminuisce all'aumentare della distanza, coerentemente con la legge dell'inverso del quadrato.

Significato fisico: La derivata \( F'(r) = -\frac{2F}{r} \) ci dice che la sensibilità della forza rispetto alla distanza è inversamente proporzionale alla distanza stessa e direttamente proporzionale alla forza.

Esempio b) Capacità di un condensatore a facce piane parallele

Problema: Un condensatore a facce piane parallele ha area delle armature \( A = 0.01 \) m² e distanza tra le armature \( d = 2 \) mm. Calcolare di quanto varia la capacità se la distanza aumenta di 0.1 mm. (Dielettrico: aria, \( \varepsilon_r = 1 \))

Richiami teorici:

La capacità di un condensatore piano è data da:

\[ C(d) = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \]

dove \( \varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \) F/m è la permettività del vuoto.

Impostazione:

Calcoliamo la capacità iniziale:

\[ C(0.002) = \frac{8.854 \times 10^{-12} \cdot 0.01}{0.002} \] \[ C(0.002) = \frac{8.854 \times 10^{-14}}{0.002} = 4.427 \times 10^{-11} \text{ F} = 44.27 \text{ pF} \]

Variazione della distanza: \( \Delta d = 0.1 \text{ mm} = 0.0001 \text{ m} \)

Calcolo della derivata:
\[ C'(d) = \varepsilon_0 A \cdot \frac{d}{dd}\left(\frac{1}{d}\right) = \varepsilon_0 A \cdot \left(-\frac{1}{d^2}\right) = -\frac{\varepsilon_0 A}{d^2} \]

Per \( d = 0.002 \) m:

\[ C'(0.002) = -\frac{8.854 \times 10^{-12} \cdot 0.01}{(0.002)^2} \] \[ C'(0.002) = -\frac{8.854 \times 10^{-14}}{4 \times 10^{-6}} = -2.214 \times 10^{-8} \text{ F/m} \]
Calcolo del differenziale:
\[ dC = C'(0.002) \cdot dd = -2.214 \times 10^{-8} \cdot 0.0001 \] \[ dC = -2.214 \times 10^{-12} \text{ F} = -2.21 \text{ pF} \]
Interpretazione fisica:

La capacità del condensatore diminuisce di circa 2.21 pF (circa il 5%) quando la distanza tra le armature aumenta di 0.1 mm.

Il segno negativo indica che la capacità diminuisce all'aumentare della distanza, come atteso dalla relazione \( C \propto \frac{1}{d} \).

Applicazione pratica: Questo calcolo è importante nei condensatori variabili (trimmer) e nella stima degli errori dovuti a imperfezioni meccaniche o dilatazioni termiche.

Nota: La derivata \( C'(d) = -\frac{C}{d} \) mostra che la sensibilità della capacità è inversamente proporzionale alla distanza.

Applicazioni all'Economia

Esempio c) Variazione del ricavo in funzione del prezzo

Problema: Un'azienda vende un prodotto a \( p = 50 \) €/unità e la domanda è data dalla funzione \( q(p) = 1000 - 10p \) unità. Calcolare di quanto varia il ricavo totale se il prezzo aumenta di 2 €.

Richiami teorici:

Il ricavo totale è dato dal prodotto tra il prezzo e la quantità venduta:

\[ R(p) = p \cdot q(p) = p(1000 - 10p) = 1000p - 10p^2 \]

Questa è una funzione quadratica concava verso il basso: il ricavo cresce inizialmente con il prezzo, ma oltre un certo punto diminuisce perché la domanda si riduce troppo.

Impostazione:

Calcoliamo il ricavo iniziale per \( p = 50 \) €:

\[ R(50) = 1000 \cdot 50 - 10 \cdot 2500 = 50000 - 25000 = 25000 \text{ €} \]

Quantità venduta: \( q(50) = 1000 - 500 = 500 \) unità

Variazione del prezzo: \( \Delta p = 2 \) €


Grafico del ricavo \(R\) in funzione del prezzo unitario in euro \(p\):
Grafico del ricavo R in funzione del prezzo unitario p in euro

Calcolo della derivata (ricavo marginale):
\[ R'(p) = 1000 - 20p \] \[ R'(50) = 1000 - 1000 = 0 \text{ €/unità} \]

Interpretazione importante: \( R'(50) = 0 \) indica che \( p = 50 \) € è un punto di massimo del ricavo. Il ricavo marginale nullo significa che un piccolo aumento o riduzione del prezzo non cambia il ricavo totale: siamo nel punto ottimale per massimizzare il fatturato.

Calcolo del differenziale:
\[ dR = R'(50) \cdot dp = 0 \cdot 2 = 0 \text{ €} \]
Interpretazione economica:

Al prezzo di 50 €, una piccola variazione del prezzo non modifica sensibilmente il ricavo.

Questo accade perché l’effetto positivo dell’aumento di prezzo è esattamente compensato dalla riduzione della quantità venduta.

Verifica numerica: \( R(52) = 52(1000 - 520) = 24960 \) €, leggermente inferiore a 25000 €.

Strategia aziendale: L'azienda si trova al prezzo ottimale per massimizzare il ricavo: variazioni di prezzo non porteranno miglioramenti significativi.

Dopo aver individuato il punto di massimo del ricavo nell’esempio precedente, vediamo ora come il ricavo varia localmente al cambiare del prezzo. In particolare, analizziamo cosa accade se il prezzo aumenta di un solo euro rispetto al valore iniziale.

Esempio d) Variazione del ricavo al variare del prezzo

Problema: Un'azienda vende un prodotto a \( p = 20 \) € con una domanda \( q(p) = 800 - 15p \) unità. Calcolare di quanto varia il ricavo se il prezzo aumenta di 1 €.

Impostazione:

Il ricavo totale è dato da:

\[ R(p) = p \cdot q(p) = p(800 - 15p) = 800p - 15p^2 \]

Ricavo iniziale per \( p = 20 \) €:

\[ R(20) = 800 \cdot 20 - 15 \cdot 400 = 16000 - 6000 = 10000 \text{ €} \]

Variazione del prezzo: \( \Delta p = 1 \) €


Grafico del ricavo \(R\) in funzione del prezzo unitario in euro \(p\):
Grafico del ricavo R in funzione del prezzo unitario p in euro

Calcolo della derivata (ricavo marginale):

La derivata del ricavo rispetto al prezzo misura di quanto cambia il ricavo se il prezzo aumenta di 1 €:

\[ R'(p) = 800 - 30p \] \[ R'(20) = 800 - 600 = 200 \text{ €/€} \]
Calcolo della variazione approssimata del ricavo:
\[ dR = R'(20) \cdot \Delta p = 200 \cdot 1 = 200 \text{ €} \]
Interpretazione economica:

Il ricavo aumenta di circa 200 € se il prezzo sale da 20 € a 21 €.

Questo significa che, a 20 €, l’aumento di prezzo compensa la leggera riduzione della quantità venduta.

Il ricavo continuerà ad aumentare finché la crescita del prezzo non sarà più compensata dalla diminuzione delle vendite (cioè fino al punto di massimo).

Verifica diretta:

Calcoliamo il ricavo esatto per \( p = 21 \) €:

\[ R(21) = 21(800 - 315) = 21 \cdot 485 = 10185 \text{ €} \]

La variazione reale è \( 10185 - 10000 = 185 \text{ €} \), molto vicina alla stima differenziale di 200 €.

Esempio e) Costo medio di produzione

Problema: Il costo totale è \( C(q) = 5000 + 30q + 0.02q^2 \) €. L’azienda produce \( q = 500 \) unità. Calcolare di quanto varia il costo medio se la produzione aumenta di 10 unità.

Richiami teorici:

Il costo medio indica quanto costa, in media, produrre una singola unità:

\[ CM(q) = \frac{C(q)}{q} = \frac{5000}{q} + 30 + 0.02q \]

Contiene due parti:

  • Costi fissi medi: \(\frac{5000}{q}\), decrescenti con la produzione;
  • Costi variabili medi: \(30 + 0.02q\), crescenti con la produzione.
Calcolo della derivata:
\[ CM'(q) = -\frac{5000}{q^2} + 0.02 \] \[ CM'(500) = -\frac{5000}{250000} + 0.02 = 0 \]

Questo risultato indica che a \( q = 500 \) il costo medio è minimo. I risparmi dovuti alla diluizione dei costi fissi si bilanciano con l’aumento dei costi variabili.

Interpretazione economica:

In \( q = 500 \), l’impresa è nel punto di massima efficienza produttiva. Piccole variazioni nella produzione non cambiano significativamente il costo medio.

Verifica: Per \( q = 510 \), \( CM(510) \approx 50.02 \) €/unità, praticamente invariato.

Esempio f) Variazione del profitto

Problema: Un’azienda ha ricavo \( R(q) = 100q - 0.5q^2 \) e costo \( C(q) = 2000 + 20q \). Attualmente produce \( q = 60 \) unità. Calcolare di quanto varia il profitto se aumenta la produzione di 5 unità.

Impostazione:

Il profitto è dato da:

\[ P(q) = R(q) - C(q) = 80q - 0.5q^2 - 2000 \]

Profitto iniziale per \( q = 60 \):

\[ P(60) = 4800 - 1800 - 2000 = 1000 \text{ €} \]

Variazione della quantità: \( \Delta q = 5 \) unità

Calcolo della derivata (profitto marginale):
\[ P'(q) = 80 - q \] \[ P'(60) = 20 \text{ €/unità} \]

Il profitto marginale è positivo, quindi ogni unità aggiuntiva prodotta genera ancora un guadagno.

Interpretazione economica:

Il profitto aumenta di circa 100 € se la produzione cresce di 5 unità.

Finché \( P'(q) > 0 \), conviene aumentare la produzione. Il massimo del profitto si raggiunge quando \( P'(q) = 0 \Rightarrow q^* = 80 \).

In corrispondenza di questa quantità, il profitto è massimo: produrre oltre ridurrebbe i margini a causa dell’aumento dei costi.

Verifica: \( P(65) = 1087.5 \) €, coerente con la previsione di +100 € circa.

Considerazioni finali:
  • Interpretazione fisica:
    • Il differenziale descrive come una grandezza varia al variare di un’altra, fornendo una misura della sensibilità del sistema.
    • In fisica, è alla base di concetti come la velocità istantanea (\(v = s'(t)\)), l’accelerazione (\(a = v'(t)\)), e la forza come derivata del momento (\(F = p'(t)\)).
    • La propagazione degli errori si fonda sul differenziale: \[ \delta f \approx |f'(x)| \cdot \delta x \] cioè un piccolo errore sulla variabile indipendente produce una variazione proporzionale sulla funzione.
  • Interpretazione economica:
    • Le derivate rappresentano le grandezze marginali:
      • Ricavo marginale (\(R'\)): variazione del ricavo totale al variare del prezzo o della quantità;
      • Costo marginale (\(C'\)): variazione del costo totale per un’unità in più prodotta;
      • Profitto marginale (\(P'\)): differenza tra ricavo marginale e costo marginale.
    • Il differenziale è lo strumento principale per:
      • l’ottimizzazione (ricerca di massimi e minimi);
      • l’analisi marginale nelle decisioni di prezzo e produzione;
      • la valutazione della sensibilità economica a piccole variazioni dei parametri.
  • Conclusione generale:

    Il calcolo differenziale fornisce un linguaggio universale per descrivere variazioni e ottimizzare sistemi, sia in fisica che in economia. Permette di passare dal comportamento locale (piccole variazioni) alla comprensione globale dei fenomeni.

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