Test sulle Equazioni Differenziali

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Svolgi l'esercizio su equazioni differenziali a variabili separabili o lineari, scegli la risposta fra le quattro proposte e controlla la soluzione guidata premendo "Spiegazione". Se vuoi un suggerimento premi il bottone "Aiuto".
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Progresso:

Domanda 1

Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y} \).

📌 Suggerimento: Si tratta di un'equazione a variabili separabili. Prova a portare tutto ciò che contiene \(y\) a sinistra e tutto ciò che contiene \(x\) a destra, poi integra entrambi i lati.

Soluzione:

L'equazione differenziale è a variabili separabili:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \] Separare le variabili:
\[ y \, dy = x \, dx \] Integrare entrambi i membri:
\[ \int y \, dy = \int x \, dx \] \[ \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C' \] Moltiplicare per 2 e ridefinire la costante \( C = 2C' \):
\[ y^2 = x^2 + C \] Questa rappresenta una famiglia di iperboli equilatere se \(C \neq 0\), portando \(x^2\) a sinistra, o rette \(y = \pm x\) se \(C=0\).

Risposta corretta: b)

🎬 Grafico animato — soluzione generale

Grafico soluzione y² = x² + C (famiglia di iperboli)

Domanda 2

Qual è la soluzione particolare della seguente equazione differenziale \( \dfrac{dy}{dx} = (x+1)e^y \) il cui grafico passa per l'origine degli assi cartesiani?

📌 Suggerimento: Separa le variabili portando \(e^{-y}\,dy\) a sinistra e \((x+1)\,dx\) a destra. Dopo l'integrazione, usa la condizione \(y(0)=0\) per trovare la costante.

Soluzione:

L'equazione differenziale è a variabili separabili:
\[ \frac{dy}{dx} = (x+1)e^y \] Separare le variabili (con \(e^y \neq 0\)):
\[ e^{-y} \, dy = (x+1) \, dx \] Integrare entrambi i membri:
\[ \int e^{-y} \, dy = \int (x+1) \, dx \] \[ -e^{-y} = \frac{x^2}{2} + x + C \] Risolvere per \(y\):
\[ e^{-y} = -\frac{x^2}{2} - x - C \] \[ -y = \ln\!\left(-\frac{x^2}{2} - x - C\right) \] \[ y = -\ln\!\left(-\frac{x^2}{2} - x - C\right) \] Applicare la condizione iniziale \(y(0) = 0\):
\[ 0 = -\ln(-C) \implies \ln(-C) = 0 \implies -C = 1 \implies C = -1 \] Quindi la soluzione particolare è:
\[ y = -\ln\!\left(-\frac{x^2}{2} - x + 1\right) \] Il dominio è \( -1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3} \).

Risposta corretta: a)

📈 Grafico della soluzione

Grafico soluzione particolare y = -ln(-x²/2 - x + 1)

Domanda 3

Trova la soluzione del problema di Cauchy: \( y' = 2xy^2 \) con \( y(0) = -1 \).

📌 Suggerimento: Separa le variabili dividendo per \(y^2\) (con \(y \neq 0\)) e integrando. Poi applica la condizione iniziale \(y(0) = -1\) per trovare la costante.

Soluzione:

L'equazione differenziale è a variabili separabili:
\[ \frac{dy}{dx} = 2xy^2 \] Separare le variabili (con \(y \neq 0\)):
\[ \frac{1}{y^2} \, dy = 2x \, dx \] Integrare entrambi i lati:
\[ \int \frac{1}{y^2} \, dy = \int 2x \, dx \] \[ -\frac{1}{y} = x^2 + C \] Risolvere per \(y\):
\[ y = -\frac{1}{x^2 + C} \] Applicare la condizione iniziale \(y(0) = -1\):
\[ -1 = -\frac{1}{C} \implies C = 1 \] Quindi la soluzione particolare è:
\[ y = -\frac{1}{x^2 + 1} \] Nota: \(y=0\) è anche una soluzione dell'equazione differenziale, ma non soddisfa la condizione iniziale.

Risposta corretta: c)

📈 Grafico — soluzione particolare

🎬 Grafico animato — soluzione generale

Grafico soluzione generale y = -1/(x² + C)

Domanda 4

Sia \(P(t)\) la percentuale di persone che hanno visualizzato un video su una piattaforma social al tempo \(t\) (misurato in giorni). Supponendo che la velocità con cui si diffonde la notizia sia proporzionale alla percentuale di persone che NON hanno ancora visto il video, con \(P(0) = 0\) e \(P(2) = 10\), qual è la percentuale di persone che avranno visualizzato il video dopo 5 giorni?

📌 Suggerimento: La velocità di diffusione è proporzionale a \(100 - P\), quindi \(\frac{dP}{dt} = k(100-P)\). Si tratta di un'equazione a variabili separabili. Dopo aver trovato la soluzione generale, usa le due condizioni iniziali per determinare \(C\) e \(k\).

Soluzione:

Il modello è:
\[ \frac{dP}{dt} = k(100 - P) \]S Separando le variabili (assumendo \( P < 100 \)):
\[ \frac{dP}{100 - P} = k \, dt \implies -\ln|100 - P| = kt + C_1 \]

Dato che \( P \) è una percentuale in crescita verso 100, \( 100 - P \) è sempre positivo, quindi possiamo omettere il valore assoluto:

\[ \ln(100 - P) = -kt - C_1 \]

Passando alle esponenziali:

\[ 100 - P = e^{-kt - C_1} = e^{-C_1}e^{-kt} \]

Definiamo \( C = e^{-C_1} \) (una costante positiva):

\[ 100 - P = Ce^{-kt} \]

Ricaviamo \( P(t) \):

\[ P(t) = 100 - Ce^{-kt} \]

Condizione 1: \(P(0) = 0 \implies C = 100\)
\[ P(t) = 100 - 100e^{-kt} \] Condizione 2: \(P(2) = 10\):
\[ 10 = 100 - 100e^{-2k} \implies e^{-2k} = 0.9 \implies k = -\frac{\ln(0.9)}{2} \approx 0.05268 \] Calcolo \(P(5)\):
\[ P(5) = 100 - 100e^{-0.05268 \times 5} \approx 100 - 76.84 \approx 23.2\% \] Risposta corretta: b)

📈 Grafico di \(P(t) = 100 - 100e^{-kt}\)

Domanda 5

Qual è la soluzione generale di \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x(y+1)} \)?

📌 Suggerimento: Porta \((y+1)\,dy\) a sinistra e \(\frac{1}{x}\,dx\) a destra, poi integra entrambi i lati. Attenzione: \(\int(y+1)\,dy \neq \ln(y+1)\).

Soluzione:

L'equazione differenziale è a variabili separabili:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x(y+1)} \] Separare le variabili:
\[ (y+1) \, dy = \frac{1}{x} \, dx \] Integrare entrambi i membri:
\[ \int (y+1) \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx \] \[ \frac{(y+1)^2}{2} = \ln|x| + C \] Osservazione sulla soluzione generale: La soluzione generale può essere riscritta per esplicitare \( y \). Moltiplicando per 2 e ponendo \( K = 2C \) (dato che il doppio di una costante arbitraria è ancora una costante arbitraria), otteniamo:
\[ y = -1 \pm \sqrt{2\ln|x| + K} \]

Quindi, la soluzione generale è costituita dalle due famiglie di curve: \( y = -1 + \sqrt{2\ln|x| + K} \) e \( y = -1 - \sqrt{2\ln|x| + K} \).

Risposta corretta: d)

🎬 Grafico animato — soluzione generale

Grafico soluzione generale y = -1 ± sqrt(2·ln|x| + K), due famiglie di curve

Domanda 6

Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale \( y' = \dfrac{y}{x} \).

📌 Suggerimento: Separa le variabili: porta \(\frac{1}{y}\,dy\) a sinistra e \(\frac{1}{x}\,dx\) a destra. Dopo l'integrazione, esponenzia entrambi i lati.

Soluzione:

L'equazione differenziale è a variabili separabili:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \] Separare le variabili (con \(y \neq 0\)):
\[ \frac{1}{y} \, dy = \frac{1}{x} \, dx \] Integrare entrambi i membri:
\[ \ln|y| = \ln|x| + C' \] Applicare l'esponenziale:
\[ |y| = e^{\ln|x| + C'} =e^{\ln|x|}e^{C'} = |x| \cdot e^{C'} \] Riscrivendo \(A = \pm e^{C'}\) (con \(A \neq 0\)):
\[ y = Ax \] \(y = 0\) è una soluzione banale (ottenibile con \(A = 0\)). La soluzione generale è \(y = Cx\).

Risposta corretta: c)

🎬 Grafico animato — soluzione generale

Grafico soluzione generale y = Cx, famiglia di rette passanti per l'origine

Domanda 7

La soluzione dell'equazione differenziale \( y' = \dfrac{3x^2}{2y} \) con condizione iniziale \( y(1) = 2 \) è:

📌 Suggerimento: Porta \(2y\,dy\) a sinistra e \(3x^2\,dx\) a destra. Dopo aver integrato, usa la condizione \(y(1)=2\) per trovare la costante.

Soluzione:

L'equazione differenziale è a variabili separabili:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2y} \] Separare le variabili:
\[ 2y \, dy = 3x^2 \, dx \] Integrare entrambi i membri:
\[ \int 2y \, dy = \int 3x^2 \, dx \] \[ y^2 = x^3 + C \] Applicare la condizione iniziale \(y(1) = 2\):
\[ 4 = 1 + C \implies C = 3 \] Quindi la soluzione particolare è:
\[ y^2 = x^3 + 3 \] Risposta corretta: a)

📈 Grafico della soluzione particolare

Grafico soluzione particolare y² = x³ + 3, con condizione iniziale y(1) = 2

Domanda 8

Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale lineare del primo ordine \( y' + 2y = e^{-x} \).

📌 Suggerimento: Questa è un'equazione lineare del primo ordine \(y' + p(x)y = q(x)\). Calcola il fattore integrante \(I(x) = e^{\int p(x)\,dx}\), moltiplica entrambi i lati per esso e integra.

Soluzione:

L'equazione è della forma \(y' + p(x)y = q(x)\), con \(p(x) = 2\) e \(q(x) = e^{-x}\).

Fattore integrante:
\[ I(x) = e^{\int 2\,dx} = e^{2x} \] Moltiplichiamo per il fattore integrante:
\[ e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x} \] \[ \frac{d}{dx}(y e^{2x}) = e^x \] Integriamo entrambi i membri:
\[ y e^{2x} = e^x + C \] Ricaviamo \(y\):
\[ y = \frac{e^x + C}{e^{2x}} = e^{-x} + Ce^{-2x} \] Risposta corretta: a)

🎬 Grafico animato — soluzione generale

Grafico soluzione generale y = e^(-x) + C·e^(-2x), famiglia di curve

Domanda 9

Determina la soluzione generale di \( xy' - y = x^2 \) per \( x > 0 \).

📌 Suggerimento: Riscrivere in forma standard \(y' + p(x)y = q(x)\) dividendo per \(x\). Poi calcola il fattore integrante \(I(x) = e^{\int p(x)\,dx}\).

Soluzione:

Riscriviamo in forma standard dividendo per \(x\):
\[ y' - \frac{1}{x}y = x \] Con \(p(x) = -\frac{1}{x}\) e \(q(x) = x\).

Fattore integrante (per \(x > 0\)):
\[ I(x) = e^{\int -\frac{1}{x}\,dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x} \] Moltiplichiamo per il fattore integrante:
\[ \frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y = 1 \] \[ \frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right) = 1 \] Integriamo entrambi i membri:
\[ \frac{y}{x} = x + C \] Risolviamo per \(y\):
\[ y = x(x + C) = x^2 + Cx \] Risposta corretta: a)

🎬 Grafico animato — soluzione generale

Grafico soluzione generale y = x² + Cx, famiglia di parabole per x > 0

Domanda 10

Data l'equazione differenziale \( y' + y\cos x = \sin x\cos x \), con \( y(0) = 1 \), trova la soluzione particolare.

📌 Suggerimento: Con \(p(x) = \cos x\), il fattore integrante è \(I(x) = e^{\sin x}\). Per il lato destro dopo la moltiplicazione, usa la sostituzione \(u = \sin x\) e l'integrazione per parti.

Soluzione:

L'equazione è della forma \(y' + p(x)y = q(x)\), con \(p(x) = \cos x\) e \(q(x) = \sin x\cos x\).

Fattore integrante:
\[ I(x) = e^{\int \cos x\,dx} = e^{\sin x} \] Moltiplichiamo per il fattore integrante:
\[ e^{\sin x}y' + e^{\sin x}y \cos x = e^{\sin x}\sin x \cos x \] \[ \frac{d}{dx}(y e^{\sin x}) = e^{\sin x}\sin x\cos x \]

Integriamo entrambi i lati. Per il lato destro, usiamo una sostituzione: \( u = \sin x \implies du = \cos x \, dx \):

\[ \int \frac{d}{dx}(y e^{\sin x}) \, dx = \int u e^u \, du \]

L'integrale \( \int u e^u \, du \) si risolve per parti: \( \int f'g = fg - \int fg' \). Sia \( f' = e^u \implies f = e^u \) e \( g = u \implies g' = 1 \).

\[ \int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du = u e^u - e^u = e^u(u - 1) \]

Sostituendo nuovamente \( u = \sin x \):

\[ y e^{\sin x} = e^{\sin x}(\sin x - 1) + C \]

Risolviamo per \( y \):

\[ y = \frac{e^{\sin x}(\sin x - 1) + C}{e^{\sin x}} \] \[ y = \sin x - 1 + Ce^{-\sin x} \] Applicare la condizione iniziale \(y(0) = 1\):
\[ 1 = 0 - 1 + Ce^0 \implies C = 2 \] Soluzione particolare:
\[ y = \sin x - 1 + 2e^{-\sin x} \] N.B. La soluzione è una funzione periodica con periodo \(T = 2\pi\).

Risposta corretta: b)

📈 Grafico — soluzione particolare

🎬 Grafico animato — soluzione generale

Grafico soluzione generale y = sin(x) - 1 + C·e^(-sin(x)), famiglia di curve periodiche